2023版人教版初中數(shù)學(xué)同步講義練習(xí)8年級下冊第十六章 二次根式 專題16.2 二次根式的乘除（教師版）

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專題16.2二次根式的乘除1.掌握二次根式的乘法（除法）法則，能利用其進(jìn)行計(jì)算，并能逆用法則進(jìn)行化簡；2.理解最簡二次根式的概念，會進(jìn)行二次根式的乘除法混合運(yùn)算，并能將二次根式化為最簡形式。知識點(diǎn)01二次根式的乘除法【知識點(diǎn)】二次根式的乘法法則及逆用：；二次根式的除法法則及逆用：；二次根式的乘法法則的推廣：，即當(dāng)二次根式前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則進(jìn)行計(jì)算，即將系數(shù)之積作為系數(shù)，被開方數(shù)之積作為被開方數(shù)?！局R拓展1】二次根式乘除的運(yùn)算例1．（1）（2022·浙江杭州·八年級期中）（1）_____；（2）_____．【答案】

【分析】（1）利用二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）利用二次根式的除法進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）；（2）；故答案為：（1）；（2）；【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法則是關(guān)鍵．（2）（2022·河南周口·八年級期中）計(jì)算：(1)(2)．【答案】(1)(2)7【分析】（1）先根據(jù)乘法分配律和二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算，再化為最簡二次根式，最后合并同類二次根式即可；（2）先根據(jù)二次根式的除法運(yùn)算法則和逆用積的乘方運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，再利用平方差公式計(jì)算乘法，化簡后合并同類項(xiàng)即可．（1）解：原式==；（2）解：原式===8-1=7．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的運(yùn)算法則．【即學(xué)即練1】1．（2022·湖北武漢·八年級期中）下列各式計(jì)算正確的是（）A．8 B．3 C．（）2＝10 D．（）2＝﹣3【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則，乘方法則依次計(jì)算判斷．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、3，故該選項(xiàng)正確；C、（）2＝5，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、（）2＝3，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的計(jì)算，正確掌握二次根式乘除法計(jì)算法則，乘方法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·全國·八年級期末）計(jì)算:(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用二次根式的性質(zhì)計(jì)算得出答案；（2）利用二次根式的乘除運(yùn)算法則及分母有理化計(jì)算得出答案．（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的混合運(yùn)算，涉及到二次根式的性質(zhì)、加減乘除相關(guān)運(yùn)算及分母有理化，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．【知識拓展2】二次根式的化簡例2．（2022·河南信陽·八年級期中）化簡=_____________________．【答案】【分析】利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【詳解】解：根據(jù)題意得b≥0，所以=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡，熟知二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2021·上海市劉行新華實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級階段練習(xí)）化簡二次根式：______（）．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件判斷得出，然后利用二次根式的性質(zhì)化簡即可得出答案．【詳解】解：，，，原式；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)以及化簡，理解二次根式有意義的條件和二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【知識拓展3】分母有理化例3．（2022·河北保定·八年級期中）化簡的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將分子分母同時(shí)乘以，將分母有理化，即可得到答案．【詳解】原式==故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查分母有理化，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練3】3．（2022·四川·成都實(shí)外八年級期中）材料閱讀：在二次根式的運(yùn)算中，經(jīng)常會出現(xiàn)諸如，的計(jì)算，需要運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，將分母轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，這就是“分母有理化”，例如：；．類似地，將分子轉(zhuǎn)化為有理數(shù)，就稱為“分子有理化”，例如：；．根據(jù)上述知識，請你完成下列問題：（1）運(yùn)用分母有理化，化簡：=；（2）運(yùn)用分子有理化，比較大?。?；（3）計(jì)算：的值．【答案】（1）2；（2）＜；（3）9【分析】（1）先分母有理化，然后合并即可；（2）先利用分母有理化比較它們的倒數(shù)的大小，從而得到它們的大小關(guān)系；（3）先分母有理化，然后合并即可．【詳解】解：（1）原式＝﹣＝+2﹣＝2；（2）﹣＜﹣．理由：，∵>∴＜∴﹣＜﹣．（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算和比較大小，解答關(guān)鍵是按照相關(guān)法則進(jìn)行計(jì)算．【知識拓展4】二次根式的乘除的實(shí)際應(yīng)用例4．（2022·江蘇江蘇·八年級期中）“欲窮千里目，更上一層樓”，說的是登得高看得遠(yuǎn)．如圖，若觀測點(diǎn)的高度為，觀測者視線能達(dá)到的最遠(yuǎn)距離為，則，其中是地球半徑，約等于．小麗站在海邊的一塊巖石上，眼睛離海平面的高度為，她觀測到遠(yuǎn)處一艘船剛露出海平面，求的值為_____km．【答案】【分析】根據(jù)，，，由此即求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，∴，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是代數(shù)式的求值計(jì)算，理解代數(shù)式中相應(yīng)字母的值是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2022·四川省綿陽南山中學(xué)雙語學(xué)校八年級階段練習(xí)）某直角三角形的面積為，其中一條直角邊長為，則其中另一直角邊長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的面積公式列式計(jì)算即可．【詳解】解：由題意得，其中另一直角邊長為：，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的除法，掌握三角形的面積公式是解決問題的關(guān)鍵．【知識拓展5】二次根式中的探究規(guī)律問題例5．（2022·河南·安陽縣八年級階段練習(xí)）已知數(shù)列，…，則是它的（

）A．第23項(xiàng) B．第24項(xiàng) C．第19項(xiàng) D．第25項(xiàng)【答案】D【分析】通過觀察，得出第項(xiàng)：，再根據(jù)，得出方程，解出即可得出答案．【詳解】解：∵數(shù)列，…，∴通過觀察，可得：第項(xiàng)為：，∵，∴，解得：，∴是它的第項(xiàng)．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律問題、二次根式的乘法，解本題的關(guān)鍵在正確找出已知數(shù)列的規(guī)律．【即學(xué)即練5】5．（1）（2022·浙江衢州·七年級期中）如圖，將，三個(gè)數(shù)按圖中方式排列，若規(guī)定表示第排第列的數(shù)，為第3排第2列的數(shù)為，則與表示的兩個(gè)數(shù)的積是_____．【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形中的數(shù)據(jù)，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，從而可以得到與表示的兩個(gè)數(shù)，進(jìn)而與表示的兩個(gè)數(shù)的積，本題得以解決．【詳解】解：由題意可得：每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，，在數(shù)列中是第個(gè)，，表示的數(shù)正好是第輪的最后一個(gè)，即表示的數(shù)是，由題意可得：每三個(gè)數(shù)一循環(huán)，，在數(shù)列中是第個(gè)，，表示的數(shù)正好是第輪的第一個(gè)，即表示的數(shù)是1，故（與表示的兩個(gè)數(shù)的積是：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)題目中數(shù)字的變化規(guī)律，求出相應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積．（2）（2022·北京昌平·八年級期中）觀察下面的規(guī)律：．（1）______；（2）若則______．【答案】

【分析】（1）根據(jù)二次根式的乘法進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)二次根式的除法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：（1），，故答案為：，（2），，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法運(yùn)算，掌握二次根式的乘除運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．知識點(diǎn)02最簡二次根式【知識點(diǎn)】我們把滿足①被開方數(shù)不含分母且分母中不含根式；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．這兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式．【知識拓展1】最簡二次根式的概念例1．（2022·湖北襄陽·八年級期中）下列二次根式是最簡二次根式的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡，再根據(jù)最簡二次根式的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解∶A、，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；B、，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；C、，不是最簡二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；D、是最簡二次根式，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及最簡二次根式的定義，滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的每個(gè)因數(shù)都是整數(shù)，因式都是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)或因式．【即學(xué)即練1】1．（2022·河北保定·八年級期中）下列二次根式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡二次根式，不符合題意.B、是最簡二次根式，符合題意.C、，不是最簡二次根式，不符合題意.D、不是最簡二次根式，不符合題意.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，注意：滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)或因式．【知識拓展2】化簡最簡二次根式例2．（2022·山東濱州·八年級期末）與化為最簡二次根式后結(jié)果相同的是（

）A． B． C．邊長為3的等邊三角形的高D．【答案】C【分析】利用求算術(shù)平方根化簡二次根式即可，利用勾股定理求三角形的高并化簡．【詳解】，A.，B.，C.，D.，∴只有C選項(xiàng)符合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】考查了二次根式的化簡，求等邊三角形一邊上的高，關(guān)鍵要掌握二次根式的性質(zhì)和利用勾股定理求三角形的高．【即學(xué)即練2】2．（2022·四川廣安·八年級期中）化簡：_______．【答案】##【分析】現(xiàn)將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，在進(jìn)行分母有理化即可得出結(jié)果．【詳解】解：原式故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的化簡，熟練掌握分母有理化的法則是解題的關(guān)鍵．【知識拓展3】已知最簡二次根式求參數(shù)例3．（2022·河南·信陽八年級期末）若二次根式是最簡二次根式，則最小的正整數(shù)a為__________．【答案】2【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，不是最簡二次根式，當(dāng)時(shí)，，是最簡二次根式，∴二次根式是最簡二次根式，最小的正整數(shù)a為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個(gè)條件：被開方數(shù)不含分母；被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．【即學(xué)即練3】3．（2022·遼寧·八年級期中）已知：最簡二次根式與的被開方數(shù)相同，則_______．【答案】12【分析】由題意列出方程組求解即可得到答案.【詳解】由題意得，解得，∴7+5=12，故答案為：12.【點(diǎn)睛】此題考查最簡二次根式的定義，解二元一次方程組，正確理解題意列出方程組是解題的關(guān)鍵.【知識拓展4】二次根式的符號化簡例4．（2022·山東菏澤·八年級期中）把中根號外面的因式移到根號內(nèi)的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用二次根式的性質(zhì)直接化簡得出即可．【詳解】解：由題意可知a<0，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式的化簡，正確確定二次根式的符號是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2022·黑龍江·八年級期末）把中根號前的（m－1）移到根號內(nèi)得（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先判斷出m-1的符號，然后解答即可．【詳解】∵被開方數(shù)，分母.∴，∴.∴原式．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡：|a|．考查二次根式的成立的條件以及二次根式的乘法．5．（2022·山東泰安·八年級期中）已知，化簡二次根式的正確結(jié)果________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出-≥0，求出x、y的范圍，再根據(jù)二根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：要使有意義，必須≥0，解得：，∵，即，∴故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡和二次根式有意義的條件，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·四川蒲江縣八年級期中）設(shè)，則可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的乘法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·廣東·豐順縣八年級階段練習(xí)）已知的積是一個(gè)整數(shù)，則正整數(shù)的最小值是（）A．7 B．2 C．1 D．5【答案】A【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則計(jì)算得到，再根據(jù)條件確定正整數(shù)a的最小值即可．【詳解】解：∵的積是一個(gè)整數(shù)，且，∴正整數(shù)的最小值是7．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘除法，二次根式的化簡等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活應(yīng)用二次根式的乘法法則化簡．3．（2022·河南駐馬店·八年級期中）的倒數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用倒數(shù)的概念計(jì)算二次根式除法即可．【詳解】解：的倒數(shù)是：．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的除法，能夠熟練運(yùn)用公式計(jì)算是解題關(guān)鍵．4．（2022·云南楚雄·八年級期末）下列式子中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、是最簡二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；B、，故此選項(xiàng)不符合題意；C、，故此選項(xiàng)不符合題意；D、，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查最簡二次根式的定義．根據(jù)最簡二次根式的定義，最簡二次根式必須滿足兩個(gè)條件：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式．5．（2022·河南·鶴壁市外國語中學(xué)九年級期中）將化為最簡二次根式，其結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次根式的化簡方法即可得．【詳解】解：原式，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡，熟練掌握化簡方法是解題關(guān)鍵．6．（2022·河北廊坊·八年級階段練習(xí)）若，則化簡（

）A．m B．-m C．n D．-n【答案】B【分析】先由已知條件得到m、n的符號，再根據(jù)二次根式的乘除法則化簡計(jì)算即可．【詳解】解：由已知條件可得：m<0，n<0，∴原式====|m|=-m，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的應(yīng)用，熟練掌握二次根式的乘除法是解題關(guān)鍵．7．（2022·山東煙臺·八年級期中）如果，，那么下列各式：①；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】先根據(jù)，得到a＜0，b＜0，然后利用二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘除運(yùn)算法則逐個(gè)作出判斷即可．【詳解】解：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0．∴，無意義，①錯(cuò)誤；，②正確；，③正確；，④錯(cuò)誤；正確的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和二次根式的乘除法，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2021·山東泰安·八年級期中）下列各式中，是最簡二次根式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、是最簡二次根式，故C符合題意；D、，故D不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式的定義，能熟記最簡二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵，滿足以下兩個(gè)條件的二次根式，叫最簡二次根式：①被開方數(shù)中的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式，②被開方數(shù)中不含有能開得盡方的因數(shù)和因式．9．（2022·山東青島·八年級期中）下列運(yùn)算中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次根式的乘除法法則逐一計(jì)算即可得答案．【詳解】解：A、，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；C、，故該選項(xiàng)計(jì)算正確，符合題意；D、，故該選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．10．（2022·湖北恩施·八年級期中）計(jì)算：______．【答案】-4【分析】根據(jù)二次根式的乘法計(jì)算即可．【詳解】故答案為：-4【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的乘法．掌握其運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．11．（2022·遼寧撫順·八年級期末）計(jì)算：(1)(2)【答案】(1)2﹣2(2)【分析】（1）先進(jìn)行二次根式的乘法與除法運(yùn)算，再化簡運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可；（2）先進(jìn)行二次根式的乘法，再化簡運(yùn)算，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．（1）（2）===【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，對相應(yīng)的運(yùn)算法則熟練掌握是關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022·廣東佛山·八年級期中）在如圖的方格中，若要使橫，豎，斜對角的3個(gè)實(shí)數(shù)相乘都得到同樣的結(jié)果，則空格中代表的實(shí)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)第一行和第三行列式進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：由題意得：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法與除法的應(yīng)用，理解題意，正確列出運(yùn)算式子是解題關(guān)鍵．2．（2021·山東泰安·八年級期中）已知xy＞0，化簡二次根式的正確結(jié)果（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二沉池根式有意義的條件求出≥0，求出x、y的范圍，再根據(jù)二根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：由二次根式有意義的條件可得，∵xy＞0，∴x＜0，y＜0，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡和二次根式有意義的條件，能熟記二次根式的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．3．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）若二次根式是最簡二次根式，則最小的整數(shù)______.【答案】－1.【分析】先確定a的范圍，再根據(jù)最簡二次根式的概念即可得出答案.【詳解】解：∵，∴.當(dāng)a取最小整數(shù)－1時(shí)，，是最簡二次根式，所以最小的整數(shù)－1.故答案為－1.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件和最簡二次根式的定義，熟知概念是解題的關(guān)鍵.4．（2022·遼寧·沈陽市八年級階段練習(xí)）已知，，聰明的同學(xué)你能不用計(jì)算器得出：______；【答案】12.60【分析】根據(jù)二次根式的乘法法則解決此題．【詳解】解：．故答案為：12.60．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．5.（2022·山東泰安·八年級期中）化簡：________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡即可求解．【詳解】】解：∵x＞0，y＞0，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．6．（2022·重慶市九年級期中）已知，則有（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將m進(jìn)行化簡得到，再確定的取值范圍，即可求出答案．【詳解】∵∴∴故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的乘法以及二次根式取值估算，解題關(guān)鍵是掌握二次根式乘法運(yùn)算法則以及利用平方數(shù)確定二次根式范圍取值范圍．7．（2022·遼寧沈陽·八年級期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)1(3)(4)1【分析】（1）先用乘法分配律，再利用二次根式的乘法法則，最后合并同類二次根式即可；（2）利用平方差公式計(jì)算即可；（3）先算二次根式的乘除法，再算加減法即可；（4）先算乘方和絕對值，再化簡各個(gè)二次根式最后算加減法即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的混合運(yùn)算以及二次根式的性質(zhì)，掌握二次根式混合運(yùn)算法則是關(guān)鍵．8．（2022·山東煙臺·八年級期中）已知與滿足，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出，進(jìn)一步求出，再將其代入代數(shù)式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得：，解得：，，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值、二次根式有意義的條件，分母有理化，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次根式有意義的條件求出．9．（2022·山東煙臺·八年級期中）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先計(jì)算二次根式的除法，再將每個(gè)二次根式化為最簡二次根式，最后合并同類二次根式；（2）利用二次根式的性質(zhì)化簡，再計(jì)算乘除法，最后合并同類二次根式；（3）先化為最簡二次根式，分母有理化，再計(jì)算二次根式的加減法．（1）解：原式===；（2）原式===；（3）原式==．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，涉及分母有理化、最簡二次根式等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．10．（2022·全國·八年級課時(shí)練習(xí)）先閱讀，后解答：，；像上述解題過程中，與、與相乘，積不含有二次根式，我們可將這兩個(gè)式子稱為互為有理化因式，上述解題過程也稱為分母有理化．(1)的有理化因式是______；的有理化因式是______．(2)（4）分將下列式子進(jìn)行分母有理化：①______；

②______．(3)類比（2）中②的計(jì)算結(jié)果，計(jì)算：．【答案】(1)，；(2)，；(3)【分析】（1）根據(jù)有理化因式的定義，仿照閱讀中例子，得到、的有理化因式；（2）分子和分母都乘以各自分母的有理化因式，化去分母中的根號即可；（3）先分母有理化，然后合并同類二次根式即可．（1）解：（1）的有理化因式是，的有理化因式是；故答案為：，；（2）①，②；故答案為：，；（3．【點(diǎn)睛】此題考查了分母有理化，掌握分母有理化的概念及準(zhǔn)確找出二次根式的有理化因式是解答問題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·山東臨沂·八年級期末）化簡二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件及二次根式的性質(zhì)與化簡進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：由題意得，，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和化簡，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)和化簡．2．（2022·山東威?！ぐ四昙壠谥校┯^察下列式子：①；②；③；④；…．請你按照規(guī)律寫出第n（）個(gè)式子是(

)A．B．C．D．【答案】C【分析】觀察等式，找出規(guī)律，寫出第n個(gè)式子即可．【詳解】解：由規(guī)律可得，第n個(gè)式子為：．故選項(xiàng)A、B、D錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式，解題的關(guān)鍵是觀察等式，找出規(guī)律．3．（2022·山東濟(jì)寧·八年級期中）觀察下列等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，按照上述規(guī)律，計(jì)算：（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意，可得，，，??，再相加即可得解．【詳解】解：第個(gè)等式：，

第個(gè)等式：，第個(gè)等式：，

第個(gè)等式：，……第n個(gè)等式：，∴=，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律以及分母有理化，首先要理解題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得到答案．4．（2022·浙江杭州·八年級期中）設(shè)，求不超過的最大整數(shù)______．【答案】【分析】首先將化簡，可得，然后再代入原式求出，即可得出答案．【詳解】解：，，不超過的最大整數(shù)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式、二次根式的化簡，能正確化簡是解題的關(guān)鍵．5．（2022·河南·九年級階段練習(xí)）已知的面積為，底邊為，則底邊上的高為

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的面積公式列出運(yùn)算式子，再根據(jù)二次根式的除法法則即可得．【詳解】解：的面積為，底邊為，底邊上的高為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式除法的應(yīng)用，熟練掌握二次根式除法的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．6．（2022·河南·方城