中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題培優(yōu)專練專題06 幾何圖形的翻折變換問題（原卷版）

專題06幾何圖形的翻折變換問題幾何圖形中的翻折變換在中考?jí)狠S題中考查比例較高，翻折變換本質(zhì)上是考查軸對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)知識(shí)，在解決有關(guān)翻折問題的壓軸題時(shí)，需要注意三點(diǎn)：（1）掌握軸對(duì)稱的有關(guān)性質(zhì)：①關(guān)于直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形.

②如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.

③兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，如果它們對(duì)應(yīng)線段或延長線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.

④如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱.

（2）掌握折疊圖形的性質(zhì)，例如折疊圖形是矩形，那么在解決折疊問題時(shí)，就需要結(jié)合矩形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)。（3）折疊問題中求解線段的長度，一般要借助勾股定理，列出方程進(jìn)行求解。 （2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)軸對(duì)稱的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)線段之間、角之間的關(guān)系進(jìn)行了拓展探究．如圖，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，且SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折得SKIPIF1<0．(1)問題解決：如圖①，當(dāng)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，使點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合，則SKIPIF1<0______；(2)問題探究：如圖②，當(dāng)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，使SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度數(shù)，并求出此時(shí)SKIPIF1<0的最小值；(3)拓展延伸：當(dāng)SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0翻折后，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出SKIPIF1<0的值．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得SKIPIF1<0，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得SKIPIF1<0，由三角形內(nèi)角和定理可得SKIPIF1<0，根據(jù)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0；（3）連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，進(jìn)而根據(jù)SKIPIF1<0，即可求解．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0；(3)作圖見解析，SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊上的高，SKIPIF1<0，（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0為底邊上的高，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0邊上，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值，最小值為SKIPIF1<0；（3）如圖，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折疊，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過面積運(yùn)算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點(diǎn)到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關(guān)系，并利用這個(gè)關(guān)系解決相關(guān)問題．(1)如圖一，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作SKIPIF1<0于E，SKIPIF1<0于F，過點(diǎn)C作SKIPIF1<0于G.利用面積證明：SKIPIF1<0．(2)如圖二，將矩形SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，點(diǎn)B落在SKIPIF1<0處，點(diǎn)G為折痕SKIPIF1<0上一點(diǎn)，過點(diǎn)G作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．(3)如圖三，在四邊形SKIPIF1<0中，E為線段SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的長．（1）根據(jù)題意，利用等面積法SKIPIF1<0，根據(jù)等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到SKIPIF1<0，結(jié)合矩形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，從而有SKIPIF1<0，從而確定SKIPIF1<0是等腰三角形，從而利用（1）中的結(jié)論得到SKIPIF1<0，結(jié)合勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）延長SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根據(jù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0是等腰三角形，從而由（1）知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯(lián)立方程SKIPIF1<0求解得SKIPIF1<0，從而得到結(jié)論．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0；(3)SKIPIF1<0【詳解】（1）證明：連接SKIPIF1<0，如圖所示：SKIPIF1<0在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上有一點(diǎn)D，過點(diǎn)D作SKIPIF1<0于E，SKIPIF1<0于F，過點(diǎn)C作SKIPIF1<0于G，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；（2）解：連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，如圖所示：根據(jù)折疊可知SKIPIF1<0，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等腰三角形，在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上有一點(diǎn)G，過點(diǎn)G作SKIPIF1<0于M，SKIPIF1<0于N，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（3）解：延長SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，過點(diǎn)SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，在四邊形SKIPIF1<0中，E為線段SKIPIF1<0上的一點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是等腰三角形，SKIPIF1<0由（1）可得SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，經(jīng)檢驗(yàn)，x=1是方程的解用符合題意，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關(guān)系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意，掌握（1）中的證明過程與結(jié)論并運(yùn)用到其他情境中是解決問題的關(guān)鍵．1．（2022·湖北武漢·?？既＃?）如圖SKIPIF1<0，在正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著SKIPIF1<0折疊，點(diǎn)SKIPIF1<0落在點(diǎn)SKIPIF1<0處，連接SKIPIF1<0，并延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0求證：SKIPIF1<0；（2）在（1）的條件下，如圖SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0交SKIPIF1<0邊于點(diǎn)SKIPIF1<0若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（3）如圖SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，同樣沿著SKIPIF1<0折疊，連接SKIPIF1<0，延長SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為___________SKIPIF1<0（直接寫出結(jié)果）2．（2022·福建寧德·統(tǒng)考二模）在SKIPIF1<0中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在AD上．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形SKIPIF1<0．(1)利用圖1，求證：SKIPIF1<0；(2)如圖2，連接BD，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0落在BD上時(shí)，求EF的長；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0恰好落在線段CD上時(shí)，求證：直線SKIPIF1<0與直線CD重合．3．（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，CD是斜邊AB上的中線，點(diǎn)E為射線BC上一點(diǎn)，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F．(1)如圖1，若SKIPIF1<0，請(qǐng)直接寫出CD的長（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，若SKIPIF1<0，垂足為點(diǎn)G，點(diǎn)F與點(diǎn)D在直線CE的異側(cè)，連接CF．判斷四邊形ADFC的形狀，并說明理由；(3)若SKIPIF1<0，直接寫出SKIPIF1<0的度數(shù)．4．（2022·四川樂山·統(tǒng)考一模）模型探究：如圖1，D、E、F分別為SKIPIF1<0三邊BC、AB、AC上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0與SKIPIF1<0