廣東省佛山市禪城區(qū)2023屆高三上學期調(diào)研（一） 數(shù)學試題（解析版）

第1頁/共1頁禪城區(qū)2023屆高三統(tǒng)一調(diào)研測試（一）數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生要務必填涂答題卷上的有關項目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應的位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4．請考生保持答題卷的整潔．考試結束后，將答題卷交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先解出集合中的不等式，再根據(jù)補集運算即可得到答案.【詳解】因為，所以或.故選：D.2.已知復數(shù)z滿足，則（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的運算先求z，再利用復數(shù)的模長公式即得.【詳解】因為，所以，所以.故選：C.3.設函數(shù)的定義域為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結論中正確的是（）A.是偶函數(shù) B.是奇函數(shù)C.是奇函數(shù) D.是奇函數(shù)【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性對選項逐一說明即可.【詳解】易知選項ABCD中的函數(shù)定義域即為；因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，對于A，，故是奇函數(shù)，即A錯誤；對于B，，故是偶函數(shù)，即B錯誤；對于C，，故是奇函數(shù)，即C正確；對于D，，故是偶函數(shù)，即D錯誤；故選：C.4.已知中，，且，則（）A. B. C.8 D.9【答案】B【解析】【分析】利用向量的運算以及模長公式求解.【詳解】因為，所以因為中，，所以.故A，C，D錯誤.故選：B.5.己知函數(shù)，則對任意實數(shù)x，有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件直接計算，進而即得．【詳解】因為，所以，故A正確，C錯誤；，不是常數(shù)，故BD錯誤.故選：A．6.若是等差數(shù)列，且是方程的兩個根，則（）A.4046 B.4044 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題可得，然后利用等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式即得.【詳解】因為是方程的兩個根，所以，所以，所以.故選：C.7.《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個全等的直角三角形和中間一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，直角三角形中最小的一個角為，且小正方形與大正方形的面積之比為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設大正方形的邊長為a，則小正方形的邊長為，根據(jù)已知可得，由同角三角函數(shù)關系化簡得，結合角的范圍求.【詳解】設大正方形的邊長為a，則小正方形的邊長為，故，故，即，解得或.因，則，故.故選：A8.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差是2，則由這5個數(shù)據(jù)組成的新的一組數(shù)據(jù)的方差是（）A4 B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件利用方差公式求解即可【詳解】因為一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差是2，所以，，所以，，所以的平均數(shù)為，所以的方差為，故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．9.已知函數(shù)，則（）A.B.在處的切線是C.在上單調(diào)遞減D.當時，函數(shù)有兩個零點【答案】BD【解析】【分析】求出函數(shù)值驗證選項A，利用導數(shù)求出切線方程驗證選項B，圖像或特殊值法驗證選項C，數(shù)形結合驗證選項D【詳解】∵∴，A選項錯誤；時，，，，，在處的切點坐標為(-1,0)，切線斜率為-1，切線方程為，B選項正確；做了函數(shù)圖像，如圖所示：由圖像可知，在R上不是單調(diào)遞減的，C選項錯誤；函數(shù)有兩個零點，等價于函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像有兩個交點，由圖像可知，直線在y軸上截距小于等于2時，與的圖像有2個交點，∴當時，函數(shù)有兩個零點，D選項正確.故選：BD10.若，且，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式、對數(shù)的運算、特值法以及根據(jù)式子的幾何意義進行求解判斷.【詳解】對于A，因為，所以，當且僅當時取等，故A錯誤；對于B，因為，即，可看作部分圓上的點到直線的距離不大于2，因為圓心在直線上，半徑為2，故恒成立，故B正確；對于C，因為，所以，故C正確；對于D，因為，且，令，此時，故D錯誤.故選：BC.11.九月伊始，佛山市某中學社團招新活動開展得如火如荼，小王、小李、小張三位同學計劃從籃球社、足球社、羽毛球社三個社團中各自任選一個，每人選擇各社團的概率均為，且每人選擇相互獨立，則（）A.三人選擇社團一樣的概率為B.三人選擇社團各不相同的概率為C.至少有兩人選擇籃球社的概率為D.在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為【答案】ACD【解析】分析】利用互斥事件、相互獨立事件概率公式計算判斷A，B，C；利用條件概率公式計算判斷D作答.【詳解】對于A，三人選擇社團一樣的事件是都選籃球社的事件、都選足球社的事件、都選羽毛球社的事件的和，它們互斥，三人選擇社團一樣的概率為，A正確；對于B，三人選擇社團各不相同的事件，是小王從3個社團中任選1個，小李從余下兩個中任選1個，最后1個社團給小張的事件，共6個不同結果，因此三人選擇社團各不相同的概率為，B不正確；對于C，至少有兩人選擇籃球社的事件是恰有2人選籃球社與3人都選籃球社的事件和，其概率為，C正確；對于D，令至少有兩人選擇羽毛球社的事件為A，由選項C知，，小王選擇羽毛球社的事件為B，則事件AB是含小王只有2人擇羽毛球社的事件和3人都擇羽毛球社的事件和，其概率，所以在至少有兩人選擇羽毛球社的前提下，小王選擇羽毛球社的概率為，D正確.故選：ACD12.“提丟斯數(shù)列”是18世紀由德國物理學家提丟斯給出的，具體如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，這樣一組數(shù)，容易發(fā)現(xiàn)，這組數(shù)從第3項開始，每一項是前一項的2倍，將這組數(shù)的每一項加上4，再除以10，就得到“提丟斯數(shù)列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，則下列說法中正確的是（）A.“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列B.“提丟斯數(shù)列”的第99項為C.“提丟斯數(shù)列”的前31項和為D.“提丟斯數(shù)列”中，不超過300的有11項【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)已知，利用等比數(shù)列的概念、求和公式進行求解.【詳解】對于選項A，，所以“提丟斯數(shù)列”不是等比數(shù)列，故A錯誤；對于選項B，設“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列，當時，，所以，故B正確；對于選項C，“提丟斯數(shù)列”的前31項和為，故C正確；對于選項D，由有：，所以“提丟斯數(shù)列”中，不超過300的有11項，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.首屆國家最高科學技術獎得主，雜交水稻之父袁隆平院士為全世界糧食問題和農(nóng)業(yè)科學發(fā)展貢獻了中國力量，某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高時，發(fā)現(xiàn)株高（單位：）服從正態(tài)分布，若測量10000株水稻，株高在的約有______株．（若，，）【答案】1359【解析】【分析】先根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到株高在的概率，再求出株高在的株數(shù).【詳解】根據(jù)題意可知，，所以，，所以，所以株高在的約有株.故答案為：1359.14.已知函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，則___________．（寫出符合條件的一個答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因為函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，所以.故答案為：.15.已知數(shù)列滿足（且），且，則___________．【答案】【解析】【分析】利用項與前項和的關系可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義即得.詳解】當時，，即，當時，，，∴，∴，即又，∴數(shù)列是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，∴.故答案為：.16.設，則a，b，c大小關系是____________．【答案】##．【解析】【分析】通過構造函數(shù)，利用導數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較大小.【詳解】令，，則，令，得，即在上單調(diào)遞增，，∴，即，即，令，則，令得，即在單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以，即.所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角A的大??；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化、和角的正弦公式進行化簡求值.（2）利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式求解.【小問1詳解】由正弦定理可知：，得，因為，得，∵，∴，，∴，即．【小問2詳解】由，得，由余弦定理可得：，又，，則，即，解得，故的面積為．18.已知公差不為零的等差數(shù)列和等比數(shù)列，滿足，，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記數(shù)列的前n項和為．若表示不大于m的正整數(shù)的個數(shù)，求．【答案】（1）（2）26【解析】【分析】（1）根據(jù)已知，利用數(shù)列的性質(zhì)建立方程組求解.（2）利用錯位相減法以及式子的結構特征、進行求解.【小問1詳解】設的公差為d，的公比為，因為，，，所以，整理可得：，解得或（舍），所以．【小問2詳解】由（1）有：，則，，兩式相減得，整理得，顯然，且，故為遞增數(shù)列，又因為，，…所以，當時，，所以．19.已知函數(shù)．（1）若是的極大值點，求a的值；（2）若過點可以作曲線的三條切線，求a的取值范圍．【答案】（1）3；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的極值點，求出a值，再驗證即可作答.（2）設出切點坐標，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程，再構造函數(shù)，借助導數(shù)探討三次函數(shù)有3個零點作答.【小問1詳解】，由解得或，當時，，由得或，由得，即在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得極小值，不符合題意，舍去，當時，，由得或，由得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，所以.【小問2詳解】設過點作曲線的切線的切點為，則切線方程為，將點的坐標代入，整理得，令，依題意，有三個零點，，當時，在上單調(diào)遞增，則只有一個零點，當時，由得或，由得，即在上遞增，在上遞減，函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，而，則只有一個零點，當時，由得或，由得，即在上遞增，在上遞減，函數(shù)在處取極大值，在處取極小值，而，要使有三個零點，當且僅當，解得，所以a的取值范圍是．20.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）若，的面積為，D為邊的中點，求的長度；（2）若E為邊上一點，且，，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角形的面積公式、余弦定理以及向量的運算、模長公式進行求解.（2）利用向量的運算、模長公式以及基本不等式的常數(shù)代換法求解.【小問1詳解】因為，的面積為，所以，即，又，由余弦定理可得：，即，得，又∵D為邊的中點，∴，則，即，∴中線的長度為．【小問2詳解】∵E為邊上一點，，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，即，∴，當且僅當，即取等號，有最小值．21.2022年是中國共產(chǎn)主義青年團成立100周年，某市團委決定舉辦一次共青團史知識擂臺賽．該市A縣團委為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A縣參加市賽．已知A縣甲、乙、丙3位選手都參加初賽且通過初賽的概率均為，通過初賽后再通過決賽的概率依次為，，，假設他們之間通過與否互不影響．（1）求這3人中至少有1人通過初賽的概率；（2）設這3人中參加市賽的人數(shù)為，求的分布列；（3）某品牌商贊助了A縣的這次共青團史知識擂臺賽，提供了兩種獎勵方案：方案1：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎，每人抽獎1次，每次中獎的概率均為，且每次抽獎互不影響，中獎一次獎1000元；方案2：參加了選拔賽未進市賽的選手一律獎600元，進入了市賽的選手獎1200元．若品牌商希望給予選手更多的獎勵，試從三人獎金總額的數(shù)學期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．【答案】（1）（2）分布列見解析（3）品牌商選擇方案2更好【解析】【分析】（1）利用對立事件以及相互獨立事件的概率公式進行求解.（2）利用互斥事件、相互獨立事件的概率公式以及離散型隨機變量分布列的寫法求解.（3）利用二項分布以及離散型隨機變量分布列的期望計算進行比較.【小問1詳解】3人都沒通過初賽的概率為，所以這三人中至少有1人通過初賽的概率．【小問2詳解】依題意可能取值為0，1，2，3．設事件A表示“甲參加市賽”，事件B表示“乙參加市賽”，事件C表示“丙參加市賽”，則，則，，，，所以分布列為：0123P【小問3詳解】方案1：設三人中獎人數(shù)為X，所獲獎金總額為Y元，則，且，所以元，方案2：記甲、乙、丙三人獲得獎金之和為Z元，方法1：則Z的所有可能取值為1800，2400，3000，3600，由（2）知，Z的分布列為：Z1800240030003600P則，因為，所以從三人獎金總額的數(shù)學期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．方法2：由（2）知，，方案2等價于只要參加了選拔賽即獎勵600元，進入了市賽的選手再獎600元．則，因為，所以從三人獎金總額的數(shù)學期望的角度分析，品牌商選擇方案2更好．22.設．（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）當時，恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增（2）【解析】【分析】（1）先將參數(shù)的值代入函數(shù)解析式，然后求出導函數(shù)，再根據(jù)和分別得到函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間.（2）先令，然后對函數(shù)進行求導，再將參數(shù)分為和兩種情況分類討論即可