2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2024年9月）

第1頁（共1頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2024年9月）一．選擇題（共8小題）1．（2024?河南模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，若BC＝2AB＝4，AC=27，AB⊥BD，∠BCD=π4A．3 B．2 C．26-22 2．（2024?浙江開學(xué)）已知平面向量m→，n→滿足：|m→|=|n→|=2，且A．30° B．60° C．120° D．150°3．（2024秋?安徽月考）已知向量a→=(1，3)，若(A．(13，33C．(-23，4．（2024秋?靖遠(yuǎn)縣月考）已知向量a→，b→滿足|a→|=2|A．1 B．2 C．2 D．35．（2024秋?泉州月考）已知|b→|=2|a→|，若a→與bA．b→ B．-12b→ C．6．（2024?西城區(qū)校級(jí)開學(xué)）在△ABC中，已知a=2，A．當(dāng)b＝1時(shí)，△ABC是銳角三角形 B．當(dāng)b=433時(shí)，△C．當(dāng)b=73時(shí)，△ABCD．當(dāng)b=53時(shí)，△7．（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(1，2)，A．-55 B．-510 C．58．（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)OA．59 B．57 C．55 二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?西吉縣校級(jí)開學(xué)）下列命題正確的是（）A．若向量AB→，CD→共線，則A，B，CB．若A，B，C為平面內(nèi)任意三點(diǎn)，則AB→C．若點(diǎn)G為△ABC的重心，則GA→D．已知向量a→=(4+x，y-2)，b→=(x，y)，若（多選）10．（2024秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）已知e→1、A．e→1+B．2e→1C．e→1-2D．e→1（多選）11．（2024?湖南開學(xué)）設(shè)向量a→A．若a→與b→的夾角為鈍角，則k＞B．|a→|C．與b→共線的單位向量只有一個(gè)，為(D．若|a→|=3|b（多選）12．（2024?章貢區(qū)校級(jí)開學(xué)）在△ABC中，下列說法正確的是（）A．與AB→共線的單位向量為±B．AB→C．若AB→?AC→D．若△ABC是等邊三角形，則AB→，AC→的夾角為三．填空題（共4小題）13．（2024?河南模擬）已知a→=(-1，3)，b→=(t，2)，若(14．（2024?曹縣開學(xué)）已知圓O的半徑為4，BC，DE是圓O的兩條直徑，若BF→=3FO→，則FD15．（2024?鐵東區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知向量a→=(-1，1)，b→=(1，m)，若16．（2024?靖遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）已知正方形PQRS的邊長為22，兩個(gè)點(diǎn)A，B（兩點(diǎn)不重合）都在直線QS的同側(cè)（但A，B與P在直線SQ的異側(cè)），A，B關(guān)于直線PR對(duì)稱，若PA→?RB→=0，則△PAS四．解答題（共4小題）17．（2024?江西開學(xué)）已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中3asinBcosA=bsi（1）求A的值；（2）若△ABC的面積為3，周長為6，求△ABC的外接圓面積．18．（2024?安徽開學(xué)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，（1）求角C；（2）若△ABC的面積S=23，若AD→=2DB→19．（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a﹣2b+2ccosA＝0．（1）求角C；（2）若AB邊上的高為1，△ABC的面積為33，求△ABC20．（2024?峨眉山市校級(jí)模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足2csinBcosA＝b（sinAcosB+cosAsinB）．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面積為163，D為AC的中點(diǎn)，求BD

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之平面向量及其應(yīng)用（2024年9月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．（2024?河南模擬）如圖，在平面四邊形ABCD中，若BC＝2AB＝4，AC=27，AB⊥BD，∠BCD=π4A．3 B．2 C．26-22 【考點(diǎn)】正弦定理；余弦定理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】先由余弦定理得出∠ABC的余弦值，進(jìn)而可得∠ABC的大小，再由正弦定理求出BD的大小．【解答】解：在△ABC中，BC＝2AB＝4，AC=27由余弦定理可得：cos∠而∠ABC∈（0，π），所以∠ABC=因?yàn)锳B⊥BD，所以∠CBD=在△BCD中，∠BCD=π4，sin7π12=sin（π3+π4）＝sinπ3由正弦定理可得：BDsin∠BCD所以BD=BCsin∠BCD故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．2．（2024?浙江開學(xué)）已知平面向量m→，n→滿足：|m→|=|n→|=2，且A．30° B．60° C．120° D．150°【考點(diǎn)】平面向量的投影向量；數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由投影向量的定義可得m→【解答】解：因?yàn)閙→在n→上的投影向量為m→又m→|n所以cos?且0°≤?m→故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?安徽月考）已知向量a→=(1，3)，若(A．(13，33C．(-23，【考點(diǎn)】平面向量的投影向量．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】A【分析】由(a→-3【解答】解：因?yàn)?a→-3又因?yàn)閍→=(1，故b→在a→上的投影向量為a→故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024秋?靖遠(yuǎn)縣月考）已知向量a→，b→滿足|a→|=2|A．1 B．2 C．2 D．3【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算；數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直得到方程，求出a→?b【解答】解：因?yàn)閨a→|=2|所以|a→|=2即b→2-所以|b故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，屬于基礎(chǔ)題．5．（2024秋?泉州月考）已知|b→|=2|a→|，若a→與bA．b→ B．-12b→ C．【考點(diǎn)】平面向量的投影向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算律，算出a→?b→=|a→|2、（2【解答】解：根據(jù)題意，可得a→?b→=|a→|?|b→|cos60°＝|a→|?2|a→|所以（2a→-b→）?b→=2a→?b→可得2a→-b→故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)、投影向量的概念等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．6．（2024?西城區(qū)校級(jí)開學(xué)）在△ABC中，已知a=2，A．當(dāng)b＝1時(shí)，△ABC是銳角三角形 B．當(dāng)b=433時(shí)，△C．當(dāng)b=73時(shí)，△ABCD．當(dāng)b=53時(shí)，△【考點(diǎn)】三角形的形狀判斷．【專題】方程思想；綜合法；解三角形；邏輯推理．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：因?yàn)閍=2，A=π對(duì)于A，當(dāng)b＝1時(shí)，sinB=34，由b＜a且sinB=34＜所以△ABC為鈍角三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)b=433時(shí)，sinB＝1，即B對(duì)于C，當(dāng)b=73時(shí)，sinB=7312對(duì)于D，當(dāng)b=53時(shí)，sinB=7312＞12，又顯然△ABC不可能是等腰三角形，故D錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）已知向量a→=(1，2)，A．-55 B．-510 C．5【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】C【分析】根據(jù)向量的模的公式，算出|a→|=5．設(shè)＜a→，b→＞=θ，根據(jù)|a→+b→|=7，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)算出25|b→|cosθ+|b→|2＝2，根據(jù)b→【解答】解：設(shè)＜a→，b→＞=θ，由a→=（1，因?yàn)閨a→+b→|=7，所以（a→+b→）2＝|a→|2+2即5+25|b→|cosθ+|b→|2＝7，整理得25|b→|cosθ+|b→|因?yàn)閎→⊥(b→-2a→)，所以b→?（b→-2a→）＝0，即|b由①②組成方程組，解得|b→|＝1，cosθ=510，即cos＜故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的模的公式、平面向量數(shù)量積的定義與運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）設(shè)橢圓E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)OA．59 B．57 C．55 【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；解三角形；平面向量及應(yīng)用；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得AB⊥OC且BF⊥AC，且AF：FC＝2：3，因此設(shè)|AF→|＝2t、|FC→|＝3t（t＞0），利用垂直平分線的性質(zhì)與勾股定理求出BC＝5t，BF＝4t，AB=25t．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，連接F′A、F′B，可得四邊形AFBF′為平行四邊形，從而利用橢圓的定義求出橢圓的離心率【解答】解：設(shè)|AF→|＝2t（t＞0），則|FC→|＝3t，由AB→?OC→=0，AC因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱，所以O(shè)A＝OB，結(jié)合AB⊥OC可得CA＝CB，結(jié)合CA＝|AF→|+|FC→|＝5t，可得CB＝5Rt△BFC中，BF=CB2-FC2=25t2設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F′，連接F′A、F′B，則四邊形AFBF′為平行四邊形，所以FF′＝AB=25因?yàn)锳F′＝BF＝4t，AF＝2t，所以橢圓的離心率e=2c故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及其性質(zhì)、利用勾股定理解三角形、橢圓的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2024?西吉縣校級(jí)開學(xué)）下列命題正確的是（）A．若向量AB→，CD→共線，則A，B，CB．若A，B，C為平面內(nèi)任意三點(diǎn)，則AB→C．若點(diǎn)G為△ABC的重心，則GA→D．已知向量a→=(4+x，y-2)，b→=(x，y)，若【考點(diǎn)】平面向量的平行向量（共線向量）．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】根據(jù)向量共線的定義判斷出A項(xiàng)的正誤；平面向量的線性運(yùn)算法則判斷出B項(xiàng)的正誤；根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算性質(zhì)與三角形重心的性質(zhì)，可判斷出C項(xiàng)的正誤；根據(jù)平面向量共線的坐標(biāo)表示，判斷出D項(xiàng)的正誤．【解答】解：對(duì)于A，若向量AB→，CD不一定A、B、C、D在同一直線上，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，根據(jù)平面向量線的性運(yùn)算法則，可知AB→+BC對(duì)于C，若點(diǎn)G為△ABC的重心，設(shè)AB中點(diǎn)為M，則GA→由三角形重心的性質(zhì)，得CG→=2GM→，可得2GM對(duì)于D，因?yàn)橄蛄縜→=(4+x，y-2)，所以（4+x）?y＝x?（y﹣2），化簡得x+2y＝0，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算法則、三角形重心的性質(zhì)、兩個(gè)向量平行的條件等知識(shí)，考查概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2024秋?吳江區(qū)校級(jí)月考）已知e→1、A．e→1+B．2e→1C．e→1-2D．e→1【考點(diǎn)】用平面向量的基底表示平面向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】ACD【分析】根據(jù)基向量定義，利用待定系數(shù)法判斷每組向量是否共線，即可得到所求答案．【解答】解：對(duì)于A，設(shè)e1→+所以e1→+e2對(duì)于B，因?yàn)?e2→-4e1→對(duì)于C、D，類似于A的方法，可證出e1→-2e2→和因此，e1→-2e2→與e1→、故選：ACD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量共線的條件、基向量的概念等知識(shí)，考查概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2024?湖南開學(xué)）設(shè)向量a→A．若a→與b→的夾角為鈍角，則k＞B．|a→|C．與b→共線的單位向量只有一個(gè)，為(D．若|a→|=3|b【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，a→?b→＜0且a→，b→不反向共線，得到不等式，求出k＞6；B選項(xiàng)，利用模長公式得到|a→|的最小值為3【解答】解：A選項(xiàng)，a→與b→的夾角為鈍角，故a→則a→?b→=(3，k)?(2，-1)=6-k＜0且﹣3﹣綜上，k＞6，A正確；B選項(xiàng)，|a→|=9+k2≥3，當(dāng)且僅當(dāng)k＝0C選項(xiàng)，|b→|=4+1=為±(25D選項(xiàng)，若|a→|=3|b→|，則9+k故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量夾角、向量數(shù)量積公式、模長公式、單位向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2024?章貢區(qū)校級(jí)開學(xué)）在△ABC中，下列說法正確的是（）A．與AB→共線的單位向量為±B．AB→C．若AB→?AC→D．若△ABC是等邊三角形，則AB→，AC→的夾角為【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角；平面向量中的零向量與單位向量．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】AC【分析】根據(jù)單位向量與向量共線的定義判斷出A項(xiàng)的正誤；由向量的減法法則判斷出B項(xiàng)的正誤；由平面向量的夾角的定義與平面向量數(shù)量積的定義，判斷出C、D兩項(xiàng)的正誤．【解答】解：對(duì)于A，與AB→共線的單位向量為±AB→對(duì)于B，根據(jù)向量的減法法則，可得AB→-AC對(duì)于C，AB→?AC→=|AB→|?|AC→|cosA＜0，所以cosA＜對(duì)于D，若△ABC是等邊三角形，則AB→，AC→的夾角為∠BAC＝60°，故故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了單位向量的概念、平面向量的夾角與數(shù)量積的定義及其運(yùn)算，考查概念的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2024?河南模擬）已知a→=(-1，3)，b→=(t，2)，若(a→【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】﹣2或1．【分析】由(a→-【解答】解：由題意可得a→因?yàn)?a→-所以（﹣1﹣t）t+2＝0，解得t＝﹣2或t＝1．故答案為：﹣2或1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?曹縣開學(xué)）已知圓O的半徑為4，BC，DE是圓O的兩條直徑，若BF→=3FO→，則FD【考點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】﹣15．【分析】由題可得|FO→|=1【解答】解：由題意可得，|FOFD→故答案為：﹣15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?鐵東區(qū)校級(jí)開學(xué)）已知向量a→=(-1，1)，b→=(1，m)，若【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】13【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得ma【解答】解：因?yàn)閍→=(-1，1)，若a→⊥(ma→+故答案為：13【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．16．（2024?靖遠(yuǎn)縣校級(jí)模擬）已知正方形PQRS的邊長為22，兩個(gè)點(diǎn)A，B（兩點(diǎn)不重合）都在直線QS的同側(cè)（但A，B與P在直線SQ的異側(cè)），A，B關(guān)于直線PR對(duì)稱，若PA→?RB→=0，則△PAS面積的取值范圍是【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（2，+∞）．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，由PA→?RB→=0求出A點(diǎn)軌跡，由軌跡特征求A【解答】解：以PR為x軸，QS為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則P（﹣2，0），R（2，0），S（0，2），Q（0，﹣2），設(shè)A（x，y）（x＞0），B（x，﹣y），所以PA→=(x+2，因?yàn)镻A→?RB→=0，所以（x+2）（x﹣2）﹣即A位于雙曲線x2﹣y2＝4的右支上，漸近線方程為y＝x或y＝﹣x，直線y＝x與直線PS：x﹣y+2＝0的距離為2，即A點(diǎn)到直線PS的距離的取值范圍是(2又PS=22，所以△PAS面積的取值范圍是（2，+故答案為：（2，+∞）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量與解析幾何的綜合應(yīng)用，屬中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2024?江西開學(xué)）已知△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中3asinBcosA=bsi（1）求A的值；（2）若△ABC的面積為3，周長為6，求△ABC的外接圓面積．【考點(diǎn)】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）A=π（2）4π3【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，從而求得A．（2）根據(jù)三角形的面積公式、余弦定理等知識(shí)求得外接圓的半徑，從而求得外接圓的面積．【解答】解：（1）由正弦定理得3sinAsinBcosA=sinBsi因?yàn)閟inA，sinB≠0，故3cosA=sinA，則tanA=因?yàn)锳∈（0，π），故A=π（2）由題意S△ABC=12bcsinA=由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA＝（b+c）2﹣3bc＝（6﹣a）2﹣12，解得a＝2．故△ABC的外接圓半徑R=a故所求外接圓面積S=πR【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?安徽開學(xué)）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，（1）求角C；（2）若△ABC的面積S=23，若AD→=2DB→【考點(diǎn)】解三角形．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）C=π（2）6+23或9+【分析】（1）由正弦定理邊化角再結(jié)合兩角和的正弦公式即可求出cosC，進(jìn)而求出角C．（2）先由三角形面積公式得ab＝8，再由題意得CD→=13CA→+23CB→【解答】解：（1）由于ccosC=2a-b所以sinCcosB＝2sinAcosC﹣sinBcosC，所以sinBcosC+sinCcosB＝2sinAcosC，則有sin（B+C）＝sinA＝2sinAcosC，在△ABC中，sinA≠0，cosC=12，則（2）由（1）得S△ABC故ab＝8，又AD→=2DB所以CD→又CA→所以|CD所以b2+4a2＝68，結(jié)合ab＝8解得a=4b=2或a=1當(dāng)a＝4，b＝2時(shí)，c2故c=23，此時(shí)三角形周長為6+2當(dāng)a＝1，b＝8時(shí)，c2故c=57，此時(shí)三角形周長為9+【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理，余弦定理，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，屬于中檔題．19．（2024秋?五華區(qū)校級(jí)月考）記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a﹣2b+2ccosA＝0．（1）求角C；（2）若AB邊上的高為1，△ABC的面積為33，求△ABC【考點(diǎn)】解三角形；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（1）C=π（2）23【分析】（1）根據(jù)正弦定理化簡已知等式，結(jié)合sinB＝sin（A+C），利用兩角和的正弦公式化簡得到sinA（1﹣2cosC）＝0，由sinA＞0可得cosC=12，結(jié)合C∈（0，π）算出角（2）根據(jù)三角形的面積公式算出c=233且ab=43，然后利用余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC求出a+【解答】解：（1）由a﹣2b+2ccosA＝0，根據(jù)正弦定理得sinA﹣2sinB+2sinCcosA＝0，將sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC代入，整理得sinA（1﹣2cosC）＝0，因?yàn)锳∈（0，π），可得sinA＞0，所以1﹣2cosC＝0，即cosC=12，結(jié)合C∈（0，π），得C（2）因?yàn)椤鰽BC的AB邊上的高h(yuǎn)＝1，所以S△ABC=12ch=33由C=π3，得S△ABC=12absinπ根據(jù)余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosπ3=43，得a2+b2﹣ab=43，即（a+b）可得（a+b）2＝3ab+43=163，所以因此，△ABC的周長a+b+c=4【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換公式、正弦定理與余弦等知識(shí)，考查了計(jì)算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題．20．（2024?峨眉山市校級(jí)模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足2csinBcosA＝b（sinAcosB+cosAsinB）．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若△ABC的面積為163，D為AC的中點(diǎn)，求BD【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理；余弦定理．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形；數(shù)學(xué)運(yùn)算．【答案】（Ⅰ）π3（Ⅱ）42【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求cosA=12，又A∈（0，π），即可求解（Ⅱ）由題意利用三角形的面積公式可求bc＝64，進(jìn)而利用余弦定理以及基本不等式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由題意利用正弦定理可得2sinCsinBcosA＝sinBsin（A+B）＝sinBsinC，又C∈（0，π），B∈（0，π），故sinC≠0，sinB≠0，所以cosA=1又A∈（0，π），故A=π（Ⅱ）因?yàn)镾△ABC=12所以bc＝64，又D為AC的中點(diǎn)，在△BAD中由余弦定理可得BD2＝BA2+AD2﹣2?BA?AD?cosA=c＝c2+≥2=1＝32，當(dāng)且僅當(dāng)c=b所以BD的最小值為42【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦定理，三角函數(shù)恒等變換，三角形的面積公式，余弦定理以及基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系（1）平方關(guān)系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數(shù)關(guān)系：sinαcosα=tan2．誘導(dǎo)公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α）＝sinα，tan（π2公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣sinα，tan（π23．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα+tanβ（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα-tanβ4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=2tanα2．平面向量中的零向量與單位向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個(gè)標(biāo)量．零向量長度為零的向量叫做零向量，記作0→，零向量的長度為0單位向量長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量AB→（與AB→共線的單位向量是【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣零向量：0→它的模為0﹣單位向量：模為1的向量，用于表示方向．任何非零向量v→可以通過v【解題方法點(diǎn)撥】﹣零向量的應(yīng)用：在向量加法中，零向量不會(huì)改變其他向量的值．﹣單位向量的使用：將向量標(biāo)準(zhǔn)化為單位向量以簡化方向的表示和計(jì)算．給出下列命題：①零向量的長度為零，方向是任意的；②若a→，b→都是單位向量，則③若|a→|＝|b→|，則a→則所有正確命題的序號(hào)是_____．解：①零向量的長度為零，方向是任意的，故①正確，②若a→，b→都是單位向量，則a→和b③若|a→|＝|b→|，只能說明其大小相等，推不出a→=b故答案為：①．3．平面向量的平行向量（共線向量）【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點(diǎn)撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個(gè)向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個(gè)限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【命題方向】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時(shí)候會(huì)與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識(shí)結(jié)合考察．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，圖中與AE→解：平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，所以圖中與AE→平行的向量有EB→，DF→，F(xiàn)C4．平面向量的數(shù)量積運(yùn)算平面向量的數(shù)量積運(yùn)算5．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時(shí)，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯(cuò)誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=a即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|?|【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．6．平面向量的投影向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】投影向量是指一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影．投影向量可以用來求兩個(gè)向量之間的夾角，也可以用來求一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的分解．設(shè)a→，b→是兩個(gè)非零向量，AB=a→，CD=b→，考慮如下的變換：過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量a→向向量b→投影，A向量a→在向量b→上的投影向量是【解題方法點(diǎn)撥】投影，是一個(gè)動(dòng)作．投影向量，是一個(gè)向量．我們把|a→|cosθ叫作向量a（1）向量a→在向量b→上的投影向量為|a→|e→cosθ（其中e→為與b（2）注意：a→在b→方向上的投影向量與b→在a→方向上的投影向量不同，b→【命題方向】（1）向量分解：將一個(gè)向量分解成與另一個(gè)向量垂直和平行的兩個(gè)部分．（2）向量夾角計(jì)算：通過求兩個(gè)向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問題：求點(diǎn)到平面的距離．7．用平面向量的基底表示平面向量【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一a→，有且僅有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．【解題方法點(diǎn)撥】﹣表示轉(zhuǎn)換：將向量v→寫成基底向量的線性組合．例如，v→用基底e→1和﹣基底選擇：在特定的基底下表示向量時(shí)，選擇適當(dāng)?shù)幕撞⑦M(jìn)行線性組合．【命題方向】﹣向量基底表示：考查如何使用基底向量表示任意平面向量．﹣基底下的計(jì)算：如何在給定的基底下進(jìn)行向量運(yùn)算．在△ABC中，若D，E，F(xiàn)分別是AB的3個(gè)四等分點(diǎn)，且CB→=e1→，CA→=e2→，試用基底解：在△ABC中，若D，E，F(xiàn)分別是AB的3個(gè)四等分點(diǎn)，且CB→=e由題意得BD→=14BA故CD→-CB→=同理，CE→-CB→=12所以CE→=12（因?yàn)镃B→=e整理得，CE→=18．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、向量的夾角概念：對(duì)于兩個(gè)非零向量a→，b→如果以O(shè)為起點(diǎn)，作OA→=a→，OB→=b→，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個(gè)非零向量a→，b→的夾角為θ，那么我們把|a→||b→|cosθ叫做a即：a→?b→=|a→||b→|cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為注意：①a→?b→②符號(hào)“?”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：b→在a→上的投影是一個(gè)數(shù)量|b→|cos（3）坐標(biāo)計(jì)算公式：若a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則a→?b→=x3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：a→與b→的數(shù)量積a→?b→等于a→的長度|a→|與b9．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)平面向量的夾角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】我們知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共線的，那么，當(dāng)兩條向量a→與b→不平行時(shí)，那么它們就會(huì)有一個(gè)夾角θ，并且還有這樣的公式：cosθ【解題方法點(diǎn)撥】例：復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為60解：zz=3+i3-i∴復(fù)數(shù)z=3+i與它的共軛復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的兩個(gè)向量的夾角為故答案為：60°．點(diǎn)評(píng)：這是個(gè)向量與復(fù)數(shù)相結(jié)合的題，本題其實(shí)可以換成是用向量（3，1）與向量（3，﹣1）的夾角．【命題方向】這是向量里面非常重要的一個(gè)公式，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，出題方式一般喜歡與其他的考點(diǎn)結(jié)合起來，比方說復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等，希望大家認(rèn)真掌握．10．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】向量是有方向的，那么在一個(gè)空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時(shí)候，我們就說這兩條向量垂直．假如a→=（1，0，1），b→=（2，0，﹣2），那么a→與b→垂直，有a→?b→=1【解題方法點(diǎn)撥】例：與向量(-35A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對(duì)于A：∵(-35，45)?（3，﹣4）對(duì)于B：∵(-35，45)?（﹣4，3對(duì)于C：∵(-35，45)?（4，3對(duì)于D：∵(-35，45)?（4，﹣3故選：C．點(diǎn)評(píng)：分別求出向量(-35，45)和A，B，C【命題方向】向量垂直是比較喜歡考的一個(gè)點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個(gè)關(guān)系并靈活運(yùn)用．11．正弦定理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2R，③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時(shí)，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S=12a?ha（ha表示邊2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)（1）測距離問題：測量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)