8年級奧數(shù)真題及參考答案

第1周三角形的基礎(chǔ)知識(001)第2周全等三角形(002)第3周等腰三角形(1)(003)第4周等腰三角形(2)(004)第5周全等三角形中常用的輔助線(005)第6周與角度有關(guān)的問題(006)第7周三角形中的不等關(guān)系(007)第8周最短路徑問題(008)第9周整式的乘法(1)(009)第10周整式的乘法(2)(010)第11周整式的乘法(3)(011)第12周因式分解(1)(012)第13周因式分解(2)(013)第14周因式分解(3)(014)第16周整式的除法(016)第17周分式的基本運(yùn)算(017)第18周分式的化簡求值第19周二次根式(019)第20周二次根式的常用方法(020)2第21周基本不等式(021)第22周直角三角形(1)(022)第23周直角三角形(2)(023)第24周平行四邊形(024)第26周梯形與中位線(026)第27周一次函數(shù)及其應(yīng)用(027)第28周整除(028)第29周質(zhì)數(shù)與合數(shù)(029)第30周最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)(030)第31周算術(shù)基本定理(031)第32周同余(032)第33周完全平方數(shù)(1)(033)第34周完全平方數(shù)(2)(034)第35周不定方程(035)第36周取整函數(shù)(036)第37周配方法(037)第38周待定系數(shù)法(038)第39周放縮法(039)第40周算兩次(040)第1周三角形的基礎(chǔ)知識3(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽七年級)如圖，在△ABC與CE交于點(diǎn)F,則∠BFC=().1(北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽八年級)如圖，已知2(四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽八年級)如圖，已滿足AC=AD,AB=AE,∠BAE+∠BCE=3(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽八年級)已知四邊形第3周等腰三角形(1)1?(全國初中數(shù)學(xué)競賽)如圖所示，在△ABC中，AB=AC,AD=AE,∠BAD=60°,則∠EDC=3(全國初中數(shù)學(xué)邀請賽)如圖，在四邊形ABCD直角三角形.第4周等腰三角形(2)(第54屆荷蘭數(shù)學(xué)奧林匹克)在直線的同側(cè)取點(diǎn)D,E,使得△ABD,△BCE為正三角ABCD滿足∠CBD=2∠ADB,∠ABD=2∠CDB,AB=CB.求證AD=CD.2(歐拉數(shù)學(xué)奧林匹克決賽)在凸四邊形ABCD邊形對角線BD上，使BK=BC.證明∠KAD=第5周全等三角形中常用的輔助線(第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決使得線段AF交中線BD于點(diǎn)E,且AE=BC.第6周與角度有關(guān)的問題T(克羅地亞數(shù)學(xué)競賽)在凸四邊形ABCD中，3(青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽)P為△內(nèi)∠PAC=22°.求∠APC.27(上海市初中數(shù)學(xué)競賽)在△ABC中，∠B=44°,D為BC上一點(diǎn)，∠BAD=24°,CD=2AB,求∠C的度數(shù).T(青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽)在凸四邊形3(第十九屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽七年級)長為4的線段AB上有一動點(diǎn)C,等第8周最短路徑問題1(第二十二屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決3和4,則線段DF長度的最大值等于___3(第十九屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽九年級)在標(biāo)軸上有一動點(diǎn)P,當(dāng)點(diǎn)P移動到點(diǎn)Q的位的坐標(biāo)是.23(四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽八年級)在菱形中點(diǎn).則對角線BD上的動點(diǎn)P到E,C兩點(diǎn)第9周整式的乘法(1)已知2°=8°=64(a≠0),則3(第二十屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽八年級)27(“數(shù)學(xué)花園探秘”科普活動決賽七年級)設(shè)(4x-1)?=a?+a?x+a?x2+a?x3+a?x?,那么第10周整式的乘法(2)第11周整式的乘法(3)(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽八年級)已知實(shí)數(shù)3(第55a,b,c滿足a+b+c=1,數(shù)x,y滿足x3+y3+3x2y2=x3y3.求2(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽)已知實(shí)數(shù)滿第12周因式分解(1)1(第二十二屆希望杯全國數(shù)學(xué)邀請賽七年級)若a=2009,b=-2010,則a2+2b3(第二十三屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽八年級)已知a,b是有理數(shù)，x是無理數(shù)，如果是有理數(shù)，且b≠0,則2<(第二十屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽八年級)在第13周因式分解(2)第14周因式分解(3)全為0,滿足a+b+c=0,a3+b3+c3=0,稱使得a"+b"+c"=0恒成立的正整數(shù)n為“好第15周因式分解的應(yīng)用27(上海市初中數(shù)學(xué)競賽)使得n?-3n2+9是質(zhì)第16周整式的除法,則代數(shù)式10+第17周分式的基本運(yùn)算1(第二十五屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽八年級)3(第二十屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克九年級)證明2(四川省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽決賽八年級)若則代數(shù)的值的整數(shù)部第18周分式的化簡求值17(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽八年級)已知實(shí)數(shù)3(第二十一屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽八年級)27(北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽八年級)已知√x+,則的值為().第19周二次根式x=√ab+√cd,y=√ac+√bd,z=√ad+C.x<y<z第20周二次根式的常用方法1(全國初中數(shù)學(xué)競賽)若的最大值為a,最小值為b,則a2+b23(全國初中數(shù)學(xué)競賽)設(shè)函數(shù)y=(√4+x+是().1(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)決賽)設(shè)為 第22周直角三角形(1)B.2√3D.63(第二十屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決第23周直角三角形(2)(美國數(shù)學(xué)競賽八年級)如圖，在凹四邊形3,AD=13.則凹四邊形ABCD的面積S為2(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)決賽)在△ABC3(全國初中數(shù)學(xué)邀請賽)若直角三角形的三條邊長為正整數(shù)，且其周長與面積的數(shù)值相直角三角形有()個.3(北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽)如圖，已知在等腰 第25周1(上海市初中數(shù)學(xué)競賽)如圖，在Rt△ABCPEIBC,PF⊥CA,則線段EF的最小值為_ ·37(青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽)在正方形GH//AD;EF與GH交于點(diǎn)K.若矩形KFCH的面積等于矩形AGKE的面積的兩倍，求2(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)如圖，在菱形ABCD中，F(xiàn)G⊥BC,則AE=·第26周梯形與中位線CH⊥AB于點(diǎn)H,連接DH,則∠CHD=37(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)如圖，ABCD為平行四邊27(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川賽區(qū)決賽)在△ABC=().第27周一次函數(shù)及其應(yīng)用1(“數(shù)學(xué)花園探秘”科普活動初賽)在平面直,則在l上與點(diǎn)A距離最近的與直線x=1圍成一個等邊三角系xOy中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是0(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線l經(jīng)過點(diǎn)M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式是的正整數(shù)n共有()個.3(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)設(shè)a,b,c都是大于1的27(第十屆北方數(shù)學(xué)奧林匹克邀請賽)是否存在無窮多個不相等的正整數(shù)x,y,使得x+y2|x2+y?證明你的結(jié)論.7pg2+p=g3+43p3+1,則p+g=3(第64屆捷克和斯洛伐克數(shù)學(xué)奧林匹克)求27(全國初中數(shù)學(xué)競賽)設(shè)a,b,c是質(zhì)數(shù)，記x=b+c-a,y=c+a-b,z=a+b-c,當(dāng)z2=y,長?證明你的結(jié)論.第30周最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)11y]=72,[x,z]=600,[y,z]=900,[m,n]表倍數(shù)的和為1463,那么,這兩個正整數(shù)是_第31周算術(shù)基本定理(美國數(shù)學(xué)競賽八年級)正整數(shù)23232的正因3(青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽)正整數(shù)n恰好有四個正因數(shù)(包括1和n).已知n+1是其他兩個正因數(shù)之和的四倍.則n=(上海初中數(shù)學(xué)競賽)設(shè)20142的所有正因數(shù)第32周同余1(青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽)若整數(shù)n<3(中國香港代表隊(duì)選拔考試)求所有的正整2(北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽)設(shè)N=I3+23+…+第33周完全平方數(shù)(1)A的值.個1和任意個0組成的自然數(shù)不是完全平(2)試說明，存在最左邊2009位都是1的形*…**的自然數(shù)(*代表阿拉伯?dāng)?shù)2(第64屆捷克和斯洛伐克數(shù)學(xué)奧林匹克)求第34周完全平方數(shù)(2)332(第40屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克)已知a2),(a+2)b,(a+2)(b+2),b(b+2)這六第35周不定方程1(青少年數(shù)學(xué)國際城市邀請賽)設(shè)正整數(shù)m,n滿足m(n-m)=-11n+8.則m-n的所有=34的整數(shù)解(x,y)的組數(shù)為().3(北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽八年級)關(guān)于m,n的方程5m2-6mn+7n2=2011是否存在整數(shù)明理由.第36周取整函數(shù)整數(shù))3(第十九屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽七年級)(其中[x]表示不超過x的最大整數(shù))C.20070032(第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽八年級)用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，__第38周待定系數(shù)法1(第二十五屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽八年級)3(美國數(shù)學(xué)競賽十二年級)設(shè)P(x)是一個三則多項(xiàng)式f(x)=_D.7k27(第二十屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽八年級)B+C=(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)設(shè)的整數(shù)部分是().3(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)若正整數(shù)a,b,c滿足第40周算兩次1(北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽)兩張大小相同的另一張紙的分割線上.若BC=√28,則AB的長是27(克羅地亞數(shù)學(xué)奧林匹克)一個大三角形可被若干個小三角形劃分，其中小三角形的頂點(diǎn)為大三角形的頂點(diǎn)及內(nèi)部點(diǎn)，且每個頂點(diǎn)處均有相同數(shù)量的線段，則稱此劃分形式為“魔幻三角測量”.若一個大三角形可被魔幻3(全國初中數(shù)學(xué)邀請賽)在一串?dāng)?shù)a?,a?,…,續(xù)九項(xiàng)之和均為正數(shù).n的最大值是多少?證明你的結(jié)論.參考答案第1周三角形的基礎(chǔ)知識且c<24-c,解得8≤c<12.當(dāng)c=8時，三邊為(8,8,8);當(dāng)c=9時，三邊為(6,9,9),(7,8,9);當(dāng)c=10時，三邊為(4,10,10),(5,當(dāng)c=11時，三邊為(2,11,11),(3,∴符合條件的三角形共有12個.∠ACP的平分線，交于點(diǎn)E,第2周全等三角形BC=AE=6,∴四邊形ABDE與△CDF面積的比值是1.AC=KC,第3周等腰三角形(1)角形.則∠ADC=180°-2β,即β+γ=60°.第4周等腰三角形(2)1.證明：由已知得∠ABD=∠CBE=又∵AB=DB,BE=BC,=120°-∠EAB-∠DAS=120°-60°=60°.AB,連接AP,CP,則∠CPD=∴四邊形APCD為平行四邊形，∴PD平分AC.∴BD是∠ABC的平分線，∴DB是∠ADC的平分線.常用的輔助線△DBI,故AI=A?I=DI,AD'=AD,則△ADC≌△AD'B.故D'B∠DAC+∠BAD=∠BAC=60°,且AD'=AD,∴△AD'D是正三角形.又∵∠BD'D=∠AD'B-∠AD'D=∴△D'DB是直角三角形，且D'B=DC,D'D=AD.三角形.∴AD為△ABC的外角平分線.又∵BD為∠ABC的平分線，△ADB,則∠FDC=∠ADF-∠ADC=112°-68°=44°=∠B.截取DE=AB,連接EF,AE,則△DEF≌△BAD.∴BC垂直平分PQ,∴點(diǎn)Q在線段AC的延長線上.第7周三角形中的在△ABC與△ACD中，∠DCA=∠BCD.即∠A>∠C.可證∠B>∠D.2.>角形的外角大于與它不相鄰的任意一個內(nèi)角),同理∠DCE>∠B.EG,垂足分別為點(diǎn)F,G,H,則F,G分別為AC,BC的中點(diǎn)，且DE≥DH.當(dāng)點(diǎn)H重合時，DE有最小值2.第8周最短路徑問題DF=BF≤AB+AF=7,因此當(dāng)點(diǎn)A,C分別在邊BF,BD上時，線段DF有最大值7.稱軸，∴E?是邊AB的中點(diǎn).∴等號在點(diǎn)P與P?重合時成立.∴△ABC為正三角形，B'(4,-2),點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為A'(-2,3),線段AB'與x軸交于點(diǎn)P?,線段A'B與y軸交于點(diǎn)P?.則對在x軸上移動的點(diǎn)P,必有PA+PB=PA+PB'≥AB'=P?A+P?B'=PA+PB=PA'+PB≥A'B=P?A'+∴點(diǎn)Q應(yīng)是點(diǎn)P1.P?的橫坐標(biāo)x應(yīng)滿解得,故A(-2,3)3P?21A(2,3)B(4,2)B'(4,-2)第9周整式的乘法(1)解：由題意可知，2?=23=26°,=(12+1-2)?=0.ao=f(0)=(O2-0-2)?=64.第10周整式的乘法(2)2(c2-6c+9)≤0.第11周整式的乘法(3)yz+zx)=100.b3+c3)-[a2(b3+c3)+b23.1或-2或第12周因式分解(1)=2011.(x2+5x)=(x2+5x)2+11(x2+5x)+24=(x2+5x+3)(x2+5x+8).t為有理數(shù)),第13周因式分解(2)b)=(b-c)(a-b)(a+b)-(a-b)(b-=(a-b)(b-c)(a-c)=0.∴a-b,b-c,a-c中至少有一個等于0,即a,b,c三個數(shù)中至少有兩個相等.x+6).則原式=(y-4)(y+3)+10=(x2+2)(x+1)(x-1)(x2+x+第14周因式分解(3)=3(x-y)(y-z)(z-x).解：原式=x2+3x-y2-y+2=x2+(y-1)=(x+y+2)(x-y+1).c=0,a3+b3+c3=0.∴a,b,c中至少有1個為0.∵a,b,c不全為0,∴a,b,c中只有一個為0,另外兩個互為相反數(shù).∴不超過2007的正整數(shù)中好數(shù)共有1004個.第15周因式分解的應(yīng)用(n2-3n+3).這是兩個大于零的數(shù)，故只可能為值為7或者13,均為質(zhì)數(shù).3.23,13,3或23,7,5解：設(shè)所求的三個質(zhì)數(shù)為p,q,r,則pqr=23(p+q+r).由此可見，p,q,r中必有一個為23.設(shè)p=23,且q≥r.則23qr=23(23+q+r),qr=(q-1)(r-1)=24.解之得，質(zhì)數(shù)q為13或7,質(zhì)數(shù)r為3或5.ax2+1的值為0,因此1+a+1=0,即a=-2.解：顯然a,b,c都不為零，則,同理可即10*×10*×10÷=10÷+÷=1,,去分母即得ab+bc+ca=0,原式=10.解：依題意可設(shè)x的多項(xiàng)式有g(shù)(x),使得f(x)=2(x+1)g(x)+1;①注意到x2-x-2=(x+1)(x-2).由①得f(-1)=1,由②得f(2)=-2.代入③得5f(-1)=-a+b,解得a=-5,b=0,從而余式為-5x.第17周分式的基本運(yùn)算解第18周分式的化簡求值乘=-3.y-z=(Ja-√b)(Ve-√d)>0,第20周二次根式的又∵-4≤x≤4,第21周基本不等式∴等號恒成立.∴a+b+c的最小值為10.解得直角三角形(1)的延長線于點(diǎn)H,則HD=HB,HC=∴HC-HD=(√3-1)HB=3,股定理的逆定理知∠ACB=90°.又由勾股定理知AM=√AC2+CM2=2√3=2AC.設(shè)CD=x,則AC=x,EC=16-x.BC=BD-CD=32-12=20.直角三角形(2)解得經(jīng)整理可得(a-4)(b-4)=8.∴∴或∴標(biāo)準(zhǔn)直角三角形有2個.第24周平行四邊形由舉一反三1第3題可知，∠EFD==84°.BD,則四邊形BDPQ是平行四邊形.∴CD=BC=BD,△BCD是等邊三角∵AP=PQ,PQ//BD,∴△FHE是等腰直角三角形，HE=FH=√3,AB=AD,BM=DH.如圖，設(shè)正方形邊長為a,AG=m,BF由題意得(a-m)(a-n)=2mn,FH2=(a-n)2+(a-m)2.②即FH2=(m+n)2,FH=m+n=DH+BF=BM+BF梯形與中位線DE.易知AD//BE.則HE=BE=AB=DE且DE⊥CH,DF//BE,又∵H為DF的中點(diǎn)，一次函數(shù)及其應(yīng)用解：直線l的解析式為,故與A距離最近的整點(diǎn)為(2,1),橫、縱坐標(biāo)之和為3.接OB,AF;連接CE,DF,且相由已知得點(diǎn)M(2,3)是OB,AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，∴直線l把矩形ABFO分成面積相等的兩部分.又∵點(diǎn)N(5,2)是矩形CDEF的中心，∴過點(diǎn)N(5,2)的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分.∴直線MN即為所求的直線l.設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,∴所求直線l的函數(shù)表達(dá)式為y=解：如圖，注意到等邊三角形的一條邊經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，另兩邊在直線x=1上，則第三邊的直線方程為∴正三角形邊長為,周長為個木y=1+號x∵n為正整數(shù)，∴30-n為正整數(shù).x+y2|x2+y恒成立.∴存在無窮多個不相等的正整數(shù)x,∴4c|3,無整數(shù)解.∴6c|30c+30.又∵6c|30c,再由a,b,c的對稱性知，所有可能的數(shù)組(a,b,c)共有6組，即(2,3,5),3),(5,3,2).奇數(shù).(1)若p=2,則14q2+2=q3+31,即q3-14q2=-343.組解.(2)若q=2,則28p+p=8+43p3+1.∴原方程的唯一解為(p,q)=(2,2.不能得=16.∴b=9,c=10,與b,c是質(zhì)數(shù)矛盾；∴a,b,c不能構(gòu)成三角形的三邊長.pq(a∈N*),則(a-p-2q)(a+p+∵p,q為質(zhì)數(shù)，若為后兩者之一，則q=a+p+2q>q(p-4,q-2)=(1,9),(3,3),(9,經(jīng)檢驗(yàn)，均符合題意.第30周最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)∴d=1或13.又∵(12+3,22+3)=(4,7)=1,1)2+3的最大公因數(shù).解：設(shè)這兩個正整數(shù)為x,y(x>y),它們的最大公因數(shù)為d,且x=dx?,y=dy,,則它們的最小公倍數(shù)是dx,y?,且x,?+y?=√6289,與x?,y,為正整數(shù)矛盾.∴這兩個正整數(shù)是112,91.解：72=23×32,600=23×3×52,900=22×32×52.設(shè)x=2?×3?×5°,y=2?×3°×5',z=max(a,g)=3,max(b,h)=1,mi)=2,max(d,g)=2,max(e,h)=2.∵[x,y]=72不被5整除，max(a,g)=3,知a=3;由max(b,h)=1,知(b,h)=(1,0∴滿足條件的有序數(shù)組(a,b,c,d,e,f,g,h,i)有5×3=15(組).算術(shù)基本定理解：∵23232=2?×3×112,∴其正因數(shù)個數(shù)為(1+6)×(1+1)×2∴20142的正因數(shù)共有3×3×3=27(個),第一種情形中全部正因數(shù)為1,p,p2,p3,則1+p3=4(p+p2),p無滿足條件的質(zhì)數(shù)解.第二種情形中全部正因數(shù)為1,p,q,(q-4)=15.0(modn-1).∴n-1最大為2?×3×7=672,n的最大值為673.N=I3+23+…+10053+(-1005)3+…+(-2)3+(-1)3+20123+又∵(2012,2013)=1,n2-2=(n+3)(n-3)(mod由于任意七個連續(xù)整數(shù)中必含有一個7的倍數(shù)，故當(dāng)n>7時，題中五個7,59,47,349,16843,均為質(zhì)數(shù)，符合題意.∴符合題意的正整數(shù)n只有7.完全平方數(shù)(1)解：設(shè)A=10a+b,a,b為正整數(shù)且則B=10b+a,∵A2-B2是完全平方數(shù)，如果a-b=1,結(jié)合a+b=11可求得a=6,b=5.如果a-b=4,結(jié)合a+b=11可知沒有正整數(shù)解.2.(p,q)=(5,11),(7,5)則(a-p-2q)(a+p+2q)=p∴(a-p-2q,a+p+2q)矛盾.即(p-4,q-2)=(1,9),(3,3),(9,3.證明：(1)任意自然數(shù)可被表示為4),即r2被3除余0或1,這意味著整數(shù)的平方被3除的余數(shù)為0或1,也就是被3除余2的數(shù)一定不是完全平方數(shù).設(shè)由2009個1和任意個0組成的自然數(shù)為A,A的數(shù)字和為2009,被3除余2.則A被3除余2.(2)注意到數(shù)則是最左邊2009位則都是1的完全平方數(shù).∴存在最左邊2009位都是1的完全平方數(shù).完全平方數(shù)(2)與x2-2y2=5矛盾，∴原方程無正整數(shù)解.2.至多有兩個完全平方數(shù)(如a=2,b=16).∴a(a+2),b(b+2)不可能為完全∴ab,a(b+2)中至多有一個為完全平方數(shù).多有一個為完全平方數(shù).∴這六個數(shù)中至多有兩個完全平方數(shù).3.證