專題14-3-冪的乘方(知識講解)-八年級數(shù)學(xué)上冊(人教版)

專題14.3冪的乘方（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握冪的乘方運(yùn)算法則；能用代數(shù)式和文字語言正確地表述冪的乘方運(yùn)算法則，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算；能用冪的乘方運(yùn)算法則進(jìn)行逆運(yùn)算，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算；能用同底數(shù)冪相乘和冪的乘方法則熟練地進(jìn)行混合運(yùn)算?！疽c(diǎn)梳理】知識要點(diǎn)一、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.公式的推廣：(，均為正整數(shù))知識要點(diǎn)二、同底數(shù)冪的逆運(yùn)算法則逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.【典型例題】類型一、冪的乘方運(yùn)算 1．計(jì)算題（結(jié)果用冪的形式表示）：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）（2）（3）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方法則計(jì)算即可．解：（1）==；（2）==；（3）====【點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法以及冪的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則．舉一反三：【變式1】計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由冪的乘方：底數(shù)不變，指數(shù)相乘，從而可得答案；（2）先計(jì)算再利用同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可得到答案．解：（1）；（2）．【點(diǎn)撥】本題考查的是冪的乘方運(yùn)算，同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，乘方符號的確定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式2】已知為正整數(shù)，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）368【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方法則將原式化簡，再將代入進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則及冪的乘方法則將原式化簡，再將代入進(jìn)行計(jì)算即可；解：（1）∵∴；（2）∵∴【點(diǎn)撥】本題考查冪的乘方與同底數(shù)冪的乘法法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．【變式3】已知：an=2,am=3,ak=4,試求a2n+m-2k的值.【答案】【分析】根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪的除法、乘法運(yùn)算的逆用，即可得到答案.解：====；【點(diǎn)撥】本題考查了冪的乘方，同底數(shù)冪的除法、乘法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪的乘方，同底數(shù)冪的除法、乘法的運(yùn)算法則.類型二、冪的乘方的逆運(yùn)算 2．根據(jù)已知求值：（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）10；（2）【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法公式的逆運(yùn)算即可求解；（2）把等式左邊全部化為以3為底的數(shù)即可求解.解：（1）（2）【點(diǎn)撥】此題主要考查冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟知冪的運(yùn)算公式的逆用.舉一反三：【變式1】已知：，，求值：（1）（2）【答案】（1）25；（2）50【分析】（1）根據(jù)冪的乘方法則求解即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則求解即可．解：（1）原式＝＝＝25；（2）原式＝＝＝50．【點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方法則的逆運(yùn)用，解答本題的關(guān)鍵是掌握同底數(shù)冪的乘法法則以及冪的乘方法則．【變式2】已知：3x=2，3y=5，求3x+y+32x+3y的值．【答案】510【解析】分析：逆用冪的乘方、同底數(shù)冪的乘法法則求解即可.解：3x+y+32x+3y=3x·3y+32x·33y=10+（3x）2·（3y）3=10+4×125=510．點(diǎn)睛：本題考查了冪的乘方和同底數(shù)冪的乘法的乘方,解答本題的關(guān)鍵是掌握冪的乘方運(yùn)算法則以及同底數(shù)冪的乘法法則.【變式3】若，求的值．【答案】162【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法的逆用和冪的乘方的逆用計(jì)算即可．解：∵∴====162【點(diǎn)撥】此題考查的是冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握同底數(shù)冪的乘法的逆用和冪的乘方的逆用是解題關(guān)鍵．類型二、冪的混合運(yùn)算 2．計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先進(jìn)行冪的運(yùn)算再合并同類項(xiàng)；（2）先進(jìn)行冪的乘方運(yùn)算，再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算．解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)撥】本題考查整式的運(yùn)算和冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握這兩個(gè)運(yùn)算方法．舉一反三：【變式1】計(jì)算題．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計(jì)算積得乘方，再按單項(xiàng)式的乘法法則運(yùn)算即可；（2）先計(jì)算積得乘方，再按單項(xiàng)式的乘除法則運(yùn)算即可．解：（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：（1）（2）(－x2y3)4（3）(－8)2017×(－0.125)2017（4）(－xy2)3【答案】(1)y10；(2)x8y12；(3)1；(4)-x3y6.【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、積的乘方公式及冪的乘方公式進(jìn)行計(jì)算即可.解：（1）==y10（2）(－x2y3)4=x2×4y3×4=x8y12（3）(－8)2017×(－0.125)2017=[(－8)×(－0.125)]2017=12017=1,（4）(－xy2)3=-x3y2×3=-x3y6.【點(diǎn)撥】此題主要考查冪的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟知同底數(shù)冪的乘法公式、積的乘方公式及冪的乘方公式.【變式3】（1）若的值；（2）若求的值；【答案】（1）144；（2）27；【解析】分析：（1）根據(jù)積的乘方和冪的乘方法則的逆運(yùn)算，即可解答；（2）根據(jù)同底數(shù)冪乘法、除法公式的逆運(yùn)用，即可解答．詳解：（1）（x2y）2n=x4