【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修二導(dǎo)學(xué)案：《垂直關(guān)系的性質(zhì)》

第11課時(shí)垂直關(guān)系的性質(zhì)1.理解直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理,能用圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言表述這些定理,并能加以證明.2.能運(yùn)用直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)潔問(wèn)題.裝修工人在安裝門窗時(shí),經(jīng)常使用鉛垂線對(duì)比門窗,測(cè)量門窗是否安裝得豎直,這是應(yīng)用了什么原理?裝修工人推斷的依據(jù)是什么?問(wèn)題1:(1)上述情境中,裝修工人應(yīng)用了直線與平面垂直的性質(zhì)定理,由于鉛垂線受重力影響始終是與地面的,當(dāng)裝修工人把鉛垂線與門的邊線靠近時(shí),觀看上下鉛垂線與門線間的間隔是否全都,當(dāng)線上間隔不同時(shí),說(shuō)明門線與鉛垂線不平行,也就說(shuō)明門安裝得不豎直.

(2)直線與平面垂直的性質(zhì)定理及表示:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.符號(hào)表示:a⊥α,b⊥α?a∥b.

問(wèn)題2:敘述平面與平面垂直的性質(zhì)定理,并依據(jù)圖形用符號(hào)語(yǔ)言寫出這個(gè)定理.性質(zhì)定理:假如兩個(gè)平面垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直.符號(hào)表示:α⊥β,α∩β=l,AB?β,且AB⊥l于B?AB⊥α.

問(wèn)題3:空間中垂直關(guān)系是如何轉(zhuǎn)化的?由線面垂直和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可知,線線垂直、線面垂直及面面垂直的轉(zhuǎn)化關(guān)系可用下圖表示:由上圖可以看出,幾種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化就是線面和面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)交替運(yùn)用的結(jié)果.在線線垂直和線面垂直的轉(zhuǎn)化中,平面在其中起到了至關(guān)重要的作用,應(yīng)考慮線和線所在平面的特征,以找出需要證明的轉(zhuǎn)化.如證線線垂直,可先證線面垂直,進(jìn)而由性質(zhì)定理得到線線垂直.因此,線面垂直關(guān)系是線線垂直、面面垂直關(guān)系的樞紐.

問(wèn)題4:關(guān)于線面垂直、面面垂直,還有其他重要結(jié)論嗎?直線和平面垂直的兩個(gè)重要結(jié)論:①過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知直線垂直.

②過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和已知平面垂直.

平面和平面垂直的兩個(gè)重要結(jié)論:①若兩個(gè)平面垂直,則過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)作其次個(gè)平面的垂線必在第一個(gè)平面內(nèi).

②兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直第三個(gè)平面,則它們的交線垂直于第三個(gè)平面.

1.已知a、b為異面直線,b與c垂直,則().A.a⊥c B.b∥c C.b與c相交 D.不確定2.下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)為().①假如一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的很多條直線,那么這條直線和這個(gè)平面垂直;②過(guò)空間一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直;③一條直線和一個(gè)平面不垂直,那么這條直線和平面內(nèi)的全部直線都不垂直;④垂直于同一平面的兩條直線平行.A.1 B.2 C.3 D.43.已知l,m是直線,α,β,γ是平面,給出下列說(shuō)法:①若α⊥β,且β⊥γ,則α∥γ;②若α∩β=l,且l⊥γ,則α⊥γ且β⊥γ;③若l⊥α,α⊥β,則l∥β.其中正確的是.

4.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,直線SC⊥平面ABCD,E是SA的中點(diǎn),求證:平面EDB⊥平面ABCD.線面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖,已知正方體ABCD—A1B1C1D1中,EF與異面直線AC、A1D都垂直相交,求證:EF∥BD1.線面垂直的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用如圖,已知α∩β=AB,EC⊥平面α,C為垂足,ED⊥平面β,D為垂足.求證:CD⊥AB.面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖所示,△ABC為正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD=4,M是AE的中點(diǎn).求證:平面BDM⊥平面ECA.已知a、b為異面直線,AB與a、b都垂直相交,若a⊥α,b⊥β,且α∩β=c.求證:AB∥c.已知底面為正方形的四棱錐P—ABCD的側(cè)棱PA⊥底面ABCD,過(guò)點(diǎn)A在側(cè)面PAB內(nèi)作AE⊥PB于E,過(guò)E作EF⊥PC于F.那么圖中AF與PC的位置關(guān)系如何?如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,線段AD⊥平面ABC,E為CD上一點(diǎn),且平面ABE⊥平面DBC.求證:點(diǎn)A在平面DBC內(nèi)的射影不行能是△BCD的垂心.1.設(shè)a,b是兩條異面直線,下列說(shuō)法中正確的是().A.有一平面與a,b都垂直B.有且僅有一條直線與a,b都垂直C.過(guò)直線a有且僅有一平面與b平行D.過(guò)空間中任一點(diǎn)必可以作始終線與a,b都相交2.已知直線l⊥平面α:①若直線m⊥l,則m∥α;②若m⊥α,則m∥l;③若m∥α,則m⊥l;④若m∥l,則m⊥α,上述推斷正確的是().A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.②④3.把Rt△ABC斜邊上的高CD折成直二面角A-CD-B后,相互垂直的面有對(duì).

4.三棱錐P—ABC中,PB=PC,AB=AC,點(diǎn)D為BC中點(diǎn),AH⊥PD于點(diǎn)H,連接BH,求證:平面ABH⊥平面PBC.(2021年·天津卷改編)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E為棱AA1的中點(diǎn).證明:B1C1⊥CE.考題變式(我來(lái)改編):第11課時(shí)垂直關(guān)系的性質(zhì)學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:(1)垂直不平行不豎直(2)a⊥α,b⊥α?a∥b問(wèn)題2:α⊥β,α∩β=l,AB?β,且AB⊥l于B?AB⊥α問(wèn)題3:線面垂直問(wèn)題4:①只有一個(gè)②只有一條①第一個(gè)②垂直基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.D由于b與c垂直,故b與c可能相交,也可能異面,于是,a與c的關(guān)系不確定.2.B①錯(cuò)誤,很多條直線可能是平行直線,不能推斷直線和平面垂直;②正確;③錯(cuò)誤,與該直線在平面內(nèi)的正投影垂直的全部直線,都與該直線垂直;④正確.3.②①錯(cuò)誤,反例是墻角處三個(gè)平面兩兩垂直.②正確,由于假如一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面相互垂直.③錯(cuò)誤,還可能l?β.4.解:連接AC交BD于點(diǎn)O,連接EO,由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn),且E是SA的中點(diǎn),所以EO∥SC.由于SC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD,且EO?平面EDB,所以平面EDB⊥平面ABCD.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】連接AB1,B1C,BD,∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1B1,∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C,∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C,∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC,∴EF⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.【小結(jié)】當(dāng)題目所給的條件垂直關(guān)系較多,但又需要證明平行關(guān)系時(shí),往往要考慮垂直的性質(zhì)定理,從而完成由垂直關(guān)系向平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化.探究二:【解析】∵EC⊥α,AB?α,∴EC⊥AB,同理ED⊥AB,即AB⊥EC,AB⊥ED,又EC∩ED=E,∴AB⊥面ECD,而CD?面ECD,∴AB⊥CD.【小結(jié)】本題是線線垂直、線面垂直的循環(huán).證明線線垂直、則要先證明線面垂直,關(guān)鍵就是面的選擇,選擇過(guò)哪條直線的平面與另一條直線垂直.探究三:【解析】(1)取AC的中點(diǎn)F,連接MF、BF,則MF∥CE且MF=12又∵BD∥CE,BD=12CE,∴MF∥BD,MF=BD∴四邊形MFBD是平行四邊形,∴DM∥BF.∵EC⊥平面ABC,EC?平面ACE,∴平面ACE⊥平面ABC.又∵BF⊥AC,∴BF⊥平面ACE.又∵DM∥BF,∴DM⊥平面ACE.又∵DM?平面BDM,∴平面BDM⊥平面ECA.【小結(jié)】證明面面垂直的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn),就是在一個(gè)平面內(nèi)確定另一個(gè)平面的垂線,一旦找錯(cuò)垂線,將給問(wèn)題的解決帶來(lái)很大麻煩,也是不行證明的.確定這條垂線的基本方法就是依據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì),要著眼于平面內(nèi)交線的垂線,若圖形中沒(méi)有現(xiàn)成的垂線,需要依據(jù)條件作出交線的垂線,再證明此直線垂直于另一個(gè)平面.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:如圖,過(guò)點(diǎn)B作BB1⊥α,則BB1∥a,∴AB⊥BB1.又∵AB⊥b,∴AB垂直于由b和BB1確定的平面.∵b⊥β,∴b⊥c,同理,BB1⊥c,∴c也垂直于由b和BB1確定的平面,∴AB∥c.應(yīng)用二:∵F∈PC,∴AF與PC相交,只要進(jìn)一步考察是否垂直.假如有AF⊥PC,由已知EF⊥PC,EF∩AF=F,得PC⊥面AEF,∴PC⊥AE.又已知AE⊥PB,PC∩PB=P,得AE⊥面PBC,∴AE⊥BC.而由PA⊥BC,AB⊥BC,知BC⊥面PAB,可知BC⊥AE成立.∴AF⊥PC成立.于是,圖中AF與PC垂直相交.應(yīng)用三:過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BE,H為垂足.∵平面ABE⊥平面DBC,AH?平面ABE,平面ABE∩平面DBC=BE,∴AH⊥平面DBC,∴點(diǎn)H即為點(diǎn)A在平面DBC內(nèi)的射影.假設(shè)H是△BCD的垂心,則BE⊥CD.∵AH⊥平面BCD,DC?平面DBC,∴AH⊥DC.又∵AH∩BE=H,∴CD⊥平面ABE.又∵AB?平面ABE,∴CD⊥AB.∵AD⊥平面ABC,AB?平面ABC,∴AD⊥AB,又∵AD∩CD=D,∴AB⊥平面ACD,∴AB⊥AC,這與已知中∠BAC=60°相沖突,∴假設(shè)不成立,∴點(diǎn)A在平面DBC內(nèi)的射影不行能是△BCD的垂心.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.CA中若有一平面與a,b都垂直,則a∥b,沖突;B中將a,b平移到一個(gè)平面內(nèi),則與該平面垂直的直線與a,b都垂直;C正確;D中設(shè)過(guò)直線a且與b平行的平面為α,則在平面α內(nèi)過(guò)直線a之外的點(diǎn),不行能作始終線與a,b都相交.2.B①錯(cuò),還有可能m?α;②正確;③正確;④正確.3.3平面BCD⊥平面ACD,平面ADB⊥平面BCD,平面ABD⊥平面ADC.4.解:∵PB=PC,AB=AC,BD=DC,∴BC⊥PD且BC⊥AD,∴BC⊥面PAD,∴面PAD⊥面PBC.∵AH⊥PD,面PAD∩面PBC=PD,∴AH⊥面PBC.又