【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第7章-第1節(jié)-不等關(guān)系與不等式

第七章第一節(jié)一、選擇題1．設(shè)a、b、c∈R，且a>b，則()A．a(chǎn)c>bc B．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3[答案]D[解析]若c≤0，則A錯；若a>0，b<0，則B錯；若a＝0，b＝－1，則C錯，選D．2．若a>b>0，則下列不等式中總成立的是()A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a(chǎn)＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)[答案]C[解析]解法1：由a>b>0?0<eq\f(1,a)<eq\f(1,b)?a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)，故選C．解法2：(特值法)令a＝2，b＝1，排解A、D，再令a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，排解B．3．設(shè)a>1>b>－1，則下列不等式恒成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b) B．eq\f(1,a)>eq\f(1,b)C．a(chǎn)2>eq\f(1,b2) D．a(chǎn)>b2[答案]D[解析]若b<0，則eq\f(1,b)<0，∴eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A不正確．若b>0，由a>1>b>0，得eq\f(1,a)<eq\f(1,b)，故B也不正確．當(dāng)a＝2，b＝eq\f(1,3)時，a2＝4<9＝eq\f(1,b2)，∴C也不正確．∵－1<b<1，∴0≤b2<1.∴a>1>b2，D正確．4．若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的取值范圍是()A．(－1,3) B．(－3,6)C．(－3,3) D．(1,4)[答案]C[解析]∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3.故選C．5．(文)x＝(a＋3)(a－5)與y＝(a＋2)(a－4)的大小關(guān)系是()A．x>y B．x＝y(tǒng)C．x<y D．不能確定[答案]C[解析]∵x－y＝a2＋3a－5a－15－a2－2a＝－7<0，∴x<y.(理)設(shè)a，b∈R，若a－|b|>0，則下列不等式中正確的是()A．b－a>0 B．a(chǎn)3＋b2<0C．b＋a>0 D．a(chǎn)2－b2<0[答案]C[解析]由a－|b|>0?|b|<a?－a<b<a?a＋b>0，于是選C．6．甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，假如兩人步行速度、跑步速度均相同，則()A．甲先到教室B．乙先到教室C．兩人同時到教室D．誰先到教室不確定[答案]B[解析]設(shè)步行速度與跑步速度分別為v1和v2明顯0<v1<v2，總路程為2s，則甲用時間為eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)，乙用時間為eq\f(4s,v1＋v2)，而eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(sv1＋v22－4sv1v2,v1v2v1＋v2)＝eq\f(sv1－v12,v1v2v1＋v2)>0，故eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)>eq\f(4s,v1＋v2)，故乙先到教室．二、填空題7．設(shè)a＝2－eq\r(5)，b＝eq\r(5)－2，c＝5－2eq\r(5)，則a，b，c之間的大小關(guān)系為________．[答案]a<b<c[解析]∵a＝2－eq\r(5)＝eq\r(4)－eq\r(5)<0，b>0，c＝5－2eq\r(5)＝eq\r(25)－eq\r(20)>0，且b－c＝3eq\r(5)－7＝eq\r(45)－eq\r(49)<0，∴a<b<C．8．若x>y，a>b，則在①a－x>b－y；②a＋x>b＋y；③ax>by；④x－b>y－a；⑤eq\f(a,y)>eq\f(b,x)這五個式子中，恒成立的不等式的序號是________．[答案]②④[解析]若x>y，a>b，則－x<－y，∴a－y>b－x.若x>y，a>b，則－b>－a，∴x－b>y－a，即a＋x>b＋y；若x>y，a>b，則推不出ax>by.若x>y，a>b，推不出eq\f(a,y)>eq\f(b,x).綜上，①③⑤錯誤，②④正確．9．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋b(0≤x≤1)，則“a＋2b>0”是“f(x)>0在[0,1]上恒成立”的________條件．(填“充分但不必要”，“必要但不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”[答案]必要但不充分[解析]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0>0,f1>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b>0，,a＋b>0.))∴a＋2b>0.而僅有a＋2b>0，無法推出f(0)>0和f(1)>0同時成立．故填“必要但不充分”．三、解答題10．若實(shí)數(shù)a，b，c滿足b＋c＝5a2－8a＋11，b－c＝a2－6a＋9，試比較a，b，[解析]b－c＝a2－6a＋9＝(a－3)2≥∴b≥c，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝5a2－8a＋11①,b－c＝a2－6a＋9②))由①＋②得b＝3a2－7∵b－a＝3a2－7a＋10－＝3a2－8a＋10＝3(a－eq\f(4,3))2＋eq\f(14,3)>0，∴b>A．由①－②得c＝2a2－a∴c－a＝2a2－2＝2(a－eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)>0，∴c>A．綜上：b≥c>A．一、選擇題1．(2022·天津高考)設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[答案]C[解析]本題考查簡易規(guī)律中充分性、必要性．當(dāng)a>b>0時，a|a|－b|b|＝a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0成立，當(dāng)b<a<0時，a|a|－b|b|＝b2－a2＝(b－a)(b＋a)>0成立，當(dāng)b<0<a時，a|a|－b|b|＝a2＋b2>0成立，∴a>b?a|a|>b·|b|；同理由a|a|>b|b|?a>B．選C．2．(文)(2021·陜西高考)設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，有()A．[－x]＝－[x] B．[x＋eq\f(1,2)]＝[x]C．[2x]＝2[x] D．[x]＋[x＋eq\f(1,2)]＝[2x][答案]D[解析]本題考查對取整函數(shù)的理解．可用排解法．令x＝1.1，[－1.1]＝－2，而－[1.1]＝－1，A錯；令x＝－eq\f(1,2)，[－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)]＝0，[－eq\f(1,2)]＝－1，B錯；令x＝0.5，[2x]＝1,2[x]＝0，C錯；選D．(理)(2021·陜西高考)設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù)，則對任意實(shí)數(shù)x，y，有()A．[－x]＝－[x]B．[2x]＝2[x]C．[x＋y]≤[x]＋[y]D．[x－y]≤[x]－[y][答案]D[解析]取x＝1.6，y＝2.7，則[x]＝[1.6]＝1，[y]＝[2.7]＝2，[2x]＝[3.2]＝3，[－x]＝[－1.6]＝－2，故A、B錯誤；[x＋y]＝[1.6＋2.7]＝4，明顯[x＋y]>[x]＋[y]，故C錯．二、填空題3．已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，則z＝2x－3y的取值范圍是__________．(答案用區(qū)間表示)[答案](3,8)[解析]考查不等式中整體范圍的求解．令2x－3y＝m(x＋y)＋n(x－y)＝(m＋n)x＋(m－n)y∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝m＋n,－3＝m－n))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2),n＝\f(5,2))).∴z＝2x－3y＝－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)，∵－1＜x＋y＜4,2＜x－y＜3，∴－2＜－eq\f(1,2)(x＋y)＜eq\f(1,2)，5＜eq\f(5,2)(x－y)＜eq\f(15,2)，∴3＜－eq\f(1,2)(x＋y)＋eq\f(5,2)(x－y)＜8，故z∈(3,8)．4．用錘子以均勻的力敲擊鐵釘進(jìn)入木板，隨著鐵釘?shù)纳罨?，鐵釘所受的阻力會越來越大，使得每次釘入木板部分的鐵釘長度為前一次的eq\f(1,k)(k∈N*)．已知一個鐵釘受擊3次后全部進(jìn)入木板，且第1次受擊后進(jìn)入木板部分的鐵釘長度是鐵釘長的eq\f(4,7)，則從中提煉出一個不等式組為________．[答案]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(4,7)＋\f(4,7k)<1,\f(4,7)＋\f(4,7k)＋\f(4,7k2)≥1))(k∈N*)三、解答題5．建筑學(xué)規(guī)定，民用住宅的窗戶面積必需小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比不應(yīng)小于10%，并且這個比值越大，住宅的采光條件越好．問：同時增加相等的窗戶面積和地板面積，住宅采光條件是變好了，還是變壞了？請說明理由．[分析]要確定住宅采光條件是變好了，還是變壞了，就是要比較原來窗戶面積和地板面積的比值與窗戶面積和地板面積增加以后的比值哪個大哪個?。偃缡窃黾恿嗣娣e以后的窗戶面積和地板面積的比值大，則采光條件變好了，否則采光條件變壞或沒變．[解析]設(shè)原來的窗戶面積與地板面積分別為a，b，于是原來窗戶面積與地板面積之比為eq\f(a,b)，且eq\f(a,b)≥10%.窗戶面積和地板面積同時增加的面積為c，則現(xiàn)有窗戶面積與地板面積比為eq\f(a＋c,b＋c)，因此要確定采光條件的好壞，就轉(zhuǎn)化成比較eq\f(a,b)與eq\f(a＋c,b＋c)的大小，接受作差比較法．eq\f(a＋c,b＋c)－eq\f(a,b)＝eq\f(b－ac,b＋cb).由于a>0，b>0，c>0，又由題設(shè)條件可知a<b，故有eq\f(a,b)<eq\f(a＋c,b＋c)成立，即eq\f(a＋c,b＋c)>eq\f(a,b)≥10%.所以同時增加相等的窗戶面積和地板面積后，住宅的采光條件變好了．6．已知a，b，c滿足：a，b，c∈R＋，a2＋b2＝c2，當(dāng)n∈N，n>2時，比較cn與an＋bn的大?。甗解析]∵a，b，c∈R＋，∴an，bn，cn>0.而eq\f(an＋bn,cn)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))n.∵a2＋b2＝c2，∴0<eq\f(a,c)<1,0<eq\f(b,c)<1.∵n∈N，n>2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,c)))n<eq\b\lc\(\