《高考導(dǎo)航》2022屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講義-第二章-第10講-函數(shù)模型及其應(yīng)用

第10講函數(shù)模型及其應(yīng)用1．幾種常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b，n為常數(shù)，a≠0，n≠0)2.三種函數(shù)模型性質(zhì)比較y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性增函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x值增大，圖象與y軸接近平行隨x值增大，圖象與x軸接近平行隨n值變化而不同[做一做]1．下列函數(shù)中，隨x的增大，y的增長速度最快的是()A．y＝eq\f(1,100)ex B．y＝100lnxC．y＝x100 D．y＝100·2x答案：A2．生產(chǎn)確定數(shù)量的商品的全部費(fèi)用稱為生產(chǎn)成本，某企業(yè)一個(gè)月生產(chǎn)某種商品x萬件時(shí)的生產(chǎn)成本為C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(萬元)．一萬件售價(jià)是20萬元，為獵取更大利潤，該企業(yè)一個(gè)月應(yīng)生產(chǎn)該商品數(shù)量為()A．36萬件 B．18萬件C．22萬件 D．9萬件解析：選B.利潤L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，當(dāng)x＝18時(shí)，L(x)有最大值．1．辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1)易忽視實(shí)際問題的自變量的取值范圍，需合理確定函數(shù)的定義域．(2)留意問題反饋．在解決函數(shù)模型后，必需驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性．2．理解解決實(shí)際應(yīng)用問題的一般步驟(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)學(xué)問，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題．以上過程用框圖表示如下：掃一掃進(jìn)入91導(dǎo)學(xué)網(wǎng)()幾種函數(shù)模型的應(yīng)用[做一做]3．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x(單位：m)的取值范圍是()A．[15，20] B．[12，25]C．[10，30] D．[20，30]解析：選C.設(shè)矩形的另一邊長為ym，則由三角形相像知，eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，∴y＝40－x.∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.,[同學(xué)用書P38～P40])eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一)__一次函數(shù)與二次函數(shù)模型(高頻考點(diǎn))____高考對(duì)函數(shù)應(yīng)用的考查，常與二次函數(shù)、基本不等式及導(dǎo)數(shù)等學(xué)問交匯，以解答題為主要形式毀滅．高考對(duì)一次函數(shù)、二次函數(shù)模型的考查主要有以下兩個(gè)命題角度：(1)單一考查一次函數(shù)或二次函數(shù)模型的建立及最值問題；(2)以分段函數(shù)的形式考查一次函數(shù)和二次函數(shù)．(1)某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)通話時(shí)間t(分鐘)與電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖所示，當(dāng)通話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差()A．10元 B．20元C．30元 D.eq\f(40,3)元(2)(2022·高考北京卷)加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)．依據(jù)上述函數(shù)模型和試驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為()A．3.50分鐘 B．3.75分鐘C．4.00分鐘 D．4.25分鐘(3)經(jīng)市場調(diào)查，某種商品在過去50天的銷售量和價(jià)格均為銷售時(shí)間t(天)的函數(shù)，且銷售量近似地滿足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)．前30天價(jià)格為g(t)＝eq\f(1,2)t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天價(jià)格為g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．①寫出該種商品的日銷售額S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系；②求日銷售額S的最大值．[解析](1)依題意可設(shè)sA(t)＝20＋kt，sB(t)＝mt，又sA(100)＝sB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是sA(150)－sB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即兩種方式電話費(fèi)相差10元．(2)依據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))消去c化簡得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7a＋b＝0.1，,9a＋b＝－0.3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.0.))所以p＝－0.2t2＋1.5t－2.0＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(15,2)t＋\f(225,16)))＋eq\f(45,16)－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(13,16)，所以當(dāng)t＝eq\f(15,4)＝3.75時(shí)，p取得最大值，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘．[答案](1)A(2)B(3)解：①依據(jù)題意，得S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－2t＋200）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)t＋30))，1≤t≤30，t∈N,45（－2t＋200），31≤t≤50，t∈N))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－t2＋40t＋6000，1≤t≤30，t∈N，,－90t＋9000，31≤t≤50，t∈N.))②a.當(dāng)1≤t≤30，t∈N時(shí)，S＝－(t－20)2＋6400，∴當(dāng)t＝20時(shí)，S的最大值為6400；b．當(dāng)31≤t≤50，t∈N時(shí)，S＝－90t＋9000為減函數(shù)，∴當(dāng)t＝31時(shí)，S的最大值為6210.∵6210＜6400，∴當(dāng)t＝20時(shí)，日銷售額S有最大值6400.[規(guī)律方法]把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化、建立數(shù)學(xué)模型確定要過好的三關(guān)(1)事理關(guān)：通過閱讀、理解，明確問題講的是什么，生疏實(shí)際背景，為解題找出突破口；(2)文理關(guān)：將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)符號(hào)語言，用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系；(3)數(shù)理關(guān)：在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中，對(duì)已知數(shù)學(xué)學(xué)問進(jìn)行檢索，從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型．1.(2021·湖南岳陽模擬)一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時(shí)，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當(dāng)x>20時(shí)，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式為____________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時(shí)，所得年利潤最大．(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)解析：當(dāng)x≤20時(shí)，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當(dāng)x>20時(shí)，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x>20.))(x∈N*)．當(dāng)0<x≤20時(shí)，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，當(dāng)x＝16時(shí)，ymax＝156.而當(dāng)x>20時(shí)，160－x<140，故x＝16時(shí)取得最大年利潤．答案：y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20.,160－x，x>20.))(x∈N*)16eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__函數(shù)y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)模型__________某養(yǎng)殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元．(1)求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少；(2)若供應(yīng)飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購買飼料不少于5噸時(shí)，其價(jià)格可享受八五折優(yōu)待(即為原價(jià)的85%)．問：該廠是否應(yīng)考慮利用此優(yōu)待條件？請(qǐng)說明理由．[解](1)設(shè)該廠x(x∈N*)天購買一次飼料平均每天支付的總費(fèi)用最少，平均每天支付的總費(fèi)用為y1.∵飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天飼料的保管費(fèi)與其他費(fèi)用共是6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)(元)．從而有y1＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8＝eq\f(300,x)＋3x＋357≥417，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(300,x)＝3x，即x＝10時(shí)，y1有最小值．故該廠10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少．(2)設(shè)該廠利用此優(yōu)待條件，每隔x天(x≥25)購買一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y2，則y2＝eq\f(1,x)(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85＝eq\f(300,x)＋3x＋303(x≥25)．令f(x)＝eq\f(300,x)＋3x(x≥25)，∵f′(x)＝－eq\f(300,x2)＋3，∴當(dāng)x≥25時(shí)，f′(x)>0，即函數(shù)f(x)與y2在x≥25時(shí)是增函數(shù)．∴當(dāng)x＝25時(shí)，y2取得最小值，最小值為390.∵390<417，∴該廠應(yīng)考慮利用此優(yōu)待條件．[規(guī)律方法](1)解決此類問題，關(guān)鍵是利用已知條件，建立函數(shù)模型，然后化簡整理函數(shù)解析式，必要時(shí)通過配湊得到“y＝x＋eq\f(a,x)”型函數(shù)模型．(2)對(duì)于y＝x＋eq\f(a,x)(a>0，x>0)類型的函數(shù)最值問題，要特殊留意定義域和基本不等式中等號(hào)成立的條件，假如在定義域內(nèi)滿足等號(hào)成立，可考慮用基本不等式求最值，否則要考慮函數(shù)的單調(diào)性．2.為了在夏季降溫存冬季供暖時(shí)削減能源損耗，房屋的房頂和外墻需要建筑隔熱層．某幢建筑物要建筑可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建筑成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建筑費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值．解：(1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋eq\f(800,3x＋5)(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋eq\f(800,3x＋5)－10≥2eq\r(（6x＋10）\f(800,3x＋5))－10＝70(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝eq\f(800,3x＋5)，即x＝5時(shí)等號(hào)成立．所以當(dāng)隔熱層厚度為5cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬元．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__指數(shù)函數(shù)模型________________________一片森林原來面積為a，方案每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年，為疼惜生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的eq\f(1,4)，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面積的百分比；(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年？[解](1)設(shè)每年降低的百分比為x(0＜x＜1)，則a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,10)).(2)設(shè)經(jīng)過m年剩余面積為原來的eq\f(\r(2),2)，則a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(1,2))，即eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5.故到今年為止，該森林已砍伐了5年．本例的條件不變，試計(jì)算：今后最多還能砍伐多少年？解：設(shè)從今年開頭，以后砍了n年，則n年后剩余面積為eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(n,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up6(\f(3,2))，即eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多還能砍伐15年．[規(guī)律方法](1)指數(shù)函數(shù)模型常與增長率相結(jié)合進(jìn)行考查，在實(shí)際問題中有人口增長、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長問題可以利用指數(shù)函數(shù)模型來表示．(2)應(yīng)用指數(shù)函數(shù)模型時(shí)，關(guān)鍵是對(duì)模型的推斷，先設(shè)定模型將有關(guān)已知數(shù)據(jù)代入驗(yàn)證，確定參數(shù)，從而確定函數(shù)模型．(3)y＝a(1＋x)n通常利用指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解．1．某電視新產(chǎn)品投放市場后第一個(gè)月銷售100臺(tái)，其次個(gè)月銷售200臺(tái)，第三個(gè)月銷售400臺(tái)，第四個(gè)月銷售790臺(tái)，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：選C.依據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型．2．某購物網(wǎng)站在2022年11月開展“全場6折”促銷活動(dòng)，在11日當(dāng)天購物還可以再享受“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”．某人在11日當(dāng)天欲購入原價(jià)48元(單價(jià))的商品共42件，為使花錢總數(shù)量少，他最少需要下的訂單張數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選C.為使花錢總數(shù)最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”，即每張訂單金額不少于500元．因此每張訂單至少11件，所以最少需要下的訂單張數(shù)為3，所以選C.3．(2021·陜西五校模擬)臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng)，離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危急區(qū)，城市B在A的正東40千米處，B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A．0.5小時(shí) B．1小時(shí)C．1.5小時(shí) D．2小時(shí)解析：選B.以點(diǎn)B為圓心，30為半徑畫圓，設(shè)截東北方向所在直線所得弦長為x，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(402,2)＝302，解得x＝20，故B城市處于危急區(qū)內(nèi)的時(shí)間為eq\f(20,20)＝1(小時(shí))．4．將甲桶中的a升水緩慢注入空桶乙中，t分鐘后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent．若5分鐘后甲桶和乙桶的水量相等，又過了m分鐘后甲桶中的水只有eq\f(a,8)升，則m的值為()A．7 B．8C．9 D．10解析：選D.令eq\f(1,8)a＝aent，即eq\f(1,8)＝ent，由已知得eq\f(1,2)＝e5n，故eq\f(1,8)＝e15n，比較知t＝15，m＝15－5＝10.5．已知正方形ABCD的邊長為4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開頭沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是()解析：選D.依題意知當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)＝2x；當(dāng)4<x≤8時(shí)，f(x)＝8；當(dāng)8<x≤12時(shí)，f(x)＝24－2x，觀看四個(gè)選項(xiàng)知答案為D.6．如圖，書的一頁的面積為600cm2，設(shè)計(jì)要求書面上方空出2cm的邊，下、左、右方都空出1cm的邊，為使中間文字部分的面積最大，這頁書的長、寬應(yīng)分別為________．解析：設(shè)長為acm，寬為bcm，則ab＝600cm，則中間文字部分的面積S＝(a－2－1)(b－2)＝606－(2a＋3b)≤606－2eq\r(6×600)＝486，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝3b，即a＝30，b＝20時(shí)，S最大＝486cm2.答案：30cm、20cm7．鐵道機(jī)車運(yùn)行1h所需的成本由兩部分組成：固定部分m元，變動(dòng)部分(元)與運(yùn)行速度x(km/h)的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．假如機(jī)車從甲站勻速開往乙站，甲、乙兩站間的距離為500km，則機(jī)車從甲站運(yùn)行到乙站的總成本y(元)與機(jī)車運(yùn)行速度x之間的函數(shù)關(guān)系為____________．解析：∵1h的成本為(m＋kx2)元，從甲站到乙站需運(yùn)行eq\f(500,x)h，∴y＝eq\f(500,x)(m＋kx2)＝500eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)＋kx)).答案：y＝500eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,x)＋kx))8．某人依據(jù)閱歷繪制了2021年春節(jié)前后，從12月21日至1月7日自己種植的西紅柿的銷售量y(千克)隨時(shí)間x(天)變化的函數(shù)圖象，如圖所示，則此人在12月26日大約賣出了西紅柿________千克．解析：前10天滿足一次函數(shù)關(guān)系式，設(shè)為y＝kx＋b，將點(diǎn)(1，10)和點(diǎn)(10，30)代入函數(shù)解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(10＝k＋b,30＝10k＋b))，解得k＝eq\f(20,9)，b＝eq\f(70,9)，所以y＝eq\f(20,9)x＋eq\f(70,9)，則當(dāng)x＝6時(shí)，y＝eq\f(190,9).答案：eq\f(190,9)9．(2021·湖北鄂州調(diào)研)如圖所示，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個(gè)角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個(gè)矩形BNPM，使點(diǎn)P在邊DE上．(1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．解：(1)作PQ⊥AF于點(diǎn)Q(