【2022決勝高考】人教A版(文)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)練測：第一章-集合與常用邏輯用語-學(xué)案1

第一章集合與常用規(guī)律用語學(xué)案1集合的概念與運(yùn)算導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡潔集合的并集與交集.4.理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.5.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算．自主梳理1．集合元素的三個特征：確定性、互異性、無序性．2．元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系，用符號∈或SKIPIF1<0表示．3．集合的表示法：列舉法、描述法、圖示法、區(qū)間法．4．集合間的基本關(guān)系對任意的x∈A，都有x∈B，則A?B(或B?A)．若A?B，且在B中至少有一個元素x∈B，但xSKIPIF1<0A，則AB(或BA)．若A?B且B?A，則A＝B.5．集合的運(yùn)算及性質(zhì)設(shè)集合A，B，則A∩B＝{x|x∈A且x∈B}，A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．設(shè)全集為U，則?UA＝{x|x∈U且xSKIPIF1<0A}．A∩?＝?，A∩B?A，A∩B?B，A∩B＝A?A?B.A∪?＝A，A∪B?A，A∪B?B，A∪B＝B?A?B.A∩?UA＝?；A∪?UA＝U.自我檢測1．(2011·長沙模擬)下列集合表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}C．M＝{4,5}，N＝{5,4}D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}答案C2．(2009·遼寧)已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|－5<x<5}，則M∩N等于()A．{x|－5<x<5}B．{x|－3<x<5}C．{x|－5<x≤5}D．{x|－3<x≤5}答案B解析畫數(shù)軸，找出兩個區(qū)間的公共部分即得M∩N＝{x|－3<x<5}．3．(2010·湖北)設(shè)集合A＝{(x，y)|eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，則A∩B的子集的個數(shù)是()A．4B．3C．2答案A解析易知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1與函數(shù)y＝3x的圖象有兩個交點(diǎn)，所以A∩B包含兩個元素，故A∩B的子集個數(shù)是4個．4．(2010·濰坊五校聯(lián)考)集合M＝{y|y＝x2－1，x∈R}，集合N＝{x|y＝eq\r(9－x2)，x∈R}，則M∩N等于()A．{t|0≤t≤3}B．{t|－1≤t≤3}C．{(－eq\r(2)，1)，(eq\r(2)，1)}D．?答案B解析∵y＝x2－1≥－1，∴M＝[－1，＋∞)．又∵y＝eq\r(9－x2)，∴9－x2≥0.∴N＝[－3,3]．∴M∩N＝[－1,3]．5．(2011·福州模擬)已知集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，則a＝________.答案－1或2解析由a2－a＋1＝3，∴a＝－1或a＝2，經(jīng)檢驗(yàn)符合．由a2－a＋1＝a，得a＝1，但集合中有相同元素，舍去，故a＝－1或2.探究點(diǎn)一集合的基本概念例1(2011·沈陽模擬)若a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}，求b－a的值．解題導(dǎo)引解決該類問題的基本方法為：利用集合中元素的特點(diǎn)，列出方程組求解，但解出后應(yīng)留意檢驗(yàn)，看所得結(jié)果是否符合元素的互異性．解由{1，a＋b，a}＝{0，eq\f(b,a)，b}可知a≠0，則只能a＋b＝0，則有以下對應(yīng)關(guān)系：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,\f(b,a)＝a，,b＝1))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0，,b＝a，,\f(b,a)＝1.))②由①得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))符合題意；②無解．∴b－a＝2.變式遷移1設(shè)集合A＝{1，a，b}，B＝{a，a2，ab}，且A＝B，求實(shí)數(shù)a，b.解由元素的互異性知，a≠1，b≠1，a≠0，又由A＝B，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,ab＝b，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝b，,ab＝1，))解得a＝－1，b＝0.探究點(diǎn)二集合間的關(guān)系例2設(shè)集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，則下列關(guān)系中正確的是()A．M＝NB．MNC．MND．M∈N解題導(dǎo)引一般地，對于較為簡潔的兩個或兩個以上的集合，要推斷它們之間的關(guān)系，應(yīng)先確定集合中元素的形式是數(shù)還是點(diǎn)或其他，屬性如何．然后將所給集合化簡整理，弄清每個集合中的元素個數(shù)或范圍，再推斷它們之間的關(guān)系．答案A解析集合M＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥N＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}＝{y|y＝(2b＋1)2＋1，b∈R}＝{y|y≥1}．∴M＝N.變式遷移2設(shè)集合P＝{m|－1<m<0}，Q＝{m|mx2＋4mx－4<0對任意實(shí)數(shù)x恒成立，且m∈R}，則下列關(guān)系中成立的是()A．PQB．QPC．P＝QD．P∩Q＝?答案A解析P＝{m|－1<m<0}，Q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝16m2＋16m<0，))或m＝0.∴－1<m≤0.∴Q＝{m|－1<m≤0}．∴PQ.探究點(diǎn)三集合的運(yùn)算例3設(shè)全集是實(shí)數(shù)集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}．(1)當(dāng)a＝－4時，求A∩B和A∪B；(2)若(?RA)∩B＝B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解題導(dǎo)引解決含參數(shù)問題的集合運(yùn)算，首先要理清題目要求，看清集合間存在的相互關(guān)系，留意分類爭辯、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及空集的特殊性．解(1)A＝{x|eq\f(1,2)≤x≤3}．當(dāng)a＝－4時，B＝{x|－2<x<2}，∴A∩B＝{x|eq\f(1,2)≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}．(2)?RA＝{x|x<eq\f(1,2)或x>3}．當(dāng)(?RA)∩B＝B時，B??RA，即A∩B＝?.①當(dāng)B＝?，即a≥0時，滿足B??RA；②當(dāng)B≠?，即a<0時，B＝{x|－eq\r(－a)<x<eq\r(－a)}，要使B??RA，需eq\r(－a)≤eq\f(1,2)，解得－eq\f(1,4)≤a<0.綜上可得，a的取值范圍為a≥－eq\f(1,4).變式遷移3(2011·阜陽模擬)已知A＝{x||x－a|<4}，B＝{x||x－2|>3}．(1)若a＝1，求A∩B；(2)若A∪B＝R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解(1)當(dāng)a＝1時，A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x<－1或x>5}．∴A∩B＝{x|－3<x<－1}．(2)∵A＝{x|a－4<x<a＋4}，B＝{x|x<－1或x>5}，且A∪B＝R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－4<－1,a＋4>5))?1<a<3.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,3)．分類爭辯思想在集合中的應(yīng)用例(12分)(1)若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S?P，求由a的可取值組成的集合；(2)若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B?A，求由m的可取值組成的集合【答題模板】解(1)P＝{－3,2}．當(dāng)a＝0時，S＝?，滿足S?P；[2分]當(dāng)a≠0時，方程ax＋1＝0的解為x＝－eq\f(1,a)，為滿足S?P可使－eq\f(1,a)＝－3或－eq\f(1,a)＝2，即a＝eq\f(1,3)或a＝－eq\f(1,2).[4分]故所求集合為{0，eq\f(1,3)，－eq\f(1,2)}．[6分](2)當(dāng)m＋1>2m－1，即m<2時，B＝?，滿足B?A；[8分若B≠?，且滿足B?A，如圖所示，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥2，,m≥－3，,m≤3，))∴2≤m≤3.[10分]故m<2或2≤m≤3，即所求集合為{m|m≤3}．[12分]【突破思維障礙】在解決兩個數(shù)集關(guān)系問題時，避開出錯的一個有效手段即是合理運(yùn)用數(shù)軸掛念分析與求解，另外，在解含有參數(shù)的不等式(或方程)時，要對參數(shù)進(jìn)行爭辯，分類時要遵循“不重不漏”的分類原則，然后對于每一類狀況都要給出問題的解答．【易錯點(diǎn)剖析】(1)簡潔忽視a＝0時，S＝?這種狀況．(2)想當(dāng)然認(rèn)為m＋1<2m－1忽視“>”或“＝”兩種狀況解答集合問題時應(yīng)留意五點(diǎn)：1．留意集合中元素的性質(zhì)——互異性的應(yīng)用，解答時留意檢驗(yàn)．2．留意描述法給出的集合的元素．如{y|y＝2x}，{x|y＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合．3．留意?的特殊性．在利用A?B解題時，應(yīng)對A是否為?進(jìn)行爭辯．4．留意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．在進(jìn)行集合運(yùn)算時要盡可能借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化，一般地，集合元素離散時用Venn圖表示，元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，同時留意端點(diǎn)的取舍．5．留意補(bǔ)集思想的應(yīng)用．在解決A∩B≠?時，可以利用補(bǔ)集思想，先爭辯A∩B＝?的狀況，然后取補(bǔ)集．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．滿足{1}A?{1,2,3}的集合A的個數(shù)是()A．2B．3C．4答案B解析A＝{1}∪B，其中B為{2,3}的子集，且B非空，明顯這樣的集合A有3個，即A＝{1,2}或{1,3}或{1,2,3}．2．(2011·杭州模擬)設(shè)P、Q為兩個非空集合，定義集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}．若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，則P＋Q中元素的個數(shù)是()A．9B．8C．7答案B解析P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中元素的個數(shù)是8.3．(2010·北京)集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈Z|x2≤9}，則P∩M等于()A．{1,2}B．{0,1,2}C．{1,2,3}D．{0,1,2,3}答案B解析由題意知：P＝{0,1,2}，M＝{－3，－2，－1,0,1,2,3}，∴P∩M＝{0,1,2}．4．(2010·天津)設(shè)集合A＝{x||x－a|<1，x∈R}，B＝{x|1<x<5，x∈R}．若A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．{a|0≤a≤6}B．{a|a≤2或a≥4}C．{a|a≤0或a≥6}D．{a|2≤a≤4}答案C解析由|x－a|<1得－1<x－a<1，即a－1<x<a＋1.由圖可知a＋1≤1或a－1≥5，所以a≤0或a≥6.5．設(shè)全集U是實(shí)數(shù)集R，M＝{x|x2>4}，N＝{x|eq\f(2,x－1)≥1}，則右圖中陰影部分所表示的集合是()A．{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|x<2}答案C解析題圖中陰影部分可表示為(?UM)∩N，集合M為{x|x>2或x<－2}，集合N為{x|1<x≤3}，由集合的運(yùn)算，知(?UM)∩N＝{x|1<x≤2}．二、填空題(每小題4分，共12分)6．(2011·紹興模擬)設(shè)集合A＝{1,2}，則滿足A∪B＝{1,2,3}的集合B的個數(shù)是________．答案4解析由題意知B的元素至少含有3，因此集合B可能為{3}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}．7．(2009·天津)設(shè)全集U＝A∪B＝{x∈N*|lgx<1}，若A∩(?UB)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}，則集合B＝________.答案{2,4,6,8}解析A∪B＝{x∈N*|lgx<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(?UB)＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．8．(2010·江蘇)設(shè)集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，則實(shí)數(shù)a＝____.答案1解析∵3∈B，由于a2＋4≥4，∴a＋2＝3，即a＝1.三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·煙臺模擬)集合A＝{x|x2＋5x－6≤0}，B＝{x|x2＋3x>0}，求A∪B和A∩B.解∵A＝{x|x2＋5x－6≤0}＝{x|－6≤x≤1}．(3分)B＝{x|x2＋3x>0}＝{x|x<－3或x>0}．(6分)如圖所示，∴A∪B＝{x|－6≤x≤1}∪{x|x<－3或x>0}＝R.(9分)A∩B＝{x|－6≤x≤1}∩{x|x<－3或x>0}＝{x|－6≤x<－3，或0<x≤1}．(12分)10．(12分)已知集合A＝{x|0<ax＋1≤5}，集合B＝{x|－eq\f(1,2)<x≤2}．若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值