2022屆數(shù)學(xué)(文科)高考總復(fù)習(xí)-課時(shí)提升作業(yè)(二十八)-5.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

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【加固訓(xùn)練】(2021·鹽城模擬)將正偶數(shù)按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826………………依據(jù)表中的規(guī)律,偶數(shù)2022應(yīng)在第行第列.【解析】表中每一行4個(gè)數(shù),由于都是偶數(shù),所以2022÷2÷4=251余3,從表格可知奇數(shù)行從第2列開頭,從小到大排列,偶數(shù)行從第一列開頭,從大到小排列,所以可得其在第252行,第2列.答案:2522二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知數(shù)列{an}滿足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,則a3=.【解析】由an+2=an+1+an,得an+3=an+2+an+1=2an+1+an,即當(dāng)n=2時(shí)a5=2a3+a2,當(dāng)n=1時(shí),a3=a2+a1,即a2=a3-a1,兩式聯(lián)立得a5=2a3+a2=2a3+a3-a1,由于a1=1,a5=8,所以8=3a3-1,即a3=3.答案:3【加固訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}對(duì)于任意p,q∈N*,有ap+aq=ap+q,若a1=QUOTE,則a36=()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.4【解析】選D.由于ap+q=ap+aq,所以a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4=8a4+a4=18a2=36a1=4.7.在數(shù)列{an}中,若a1=QUOTE,an=QUOTE(n≥2,n∈N*),則a2021=.【解析】由于a1=QUOTE,an=QUOTE(n≥2,n∈N*),所以a2=2,a3=-1,a4=QUOTE.所以{an}是以3為周期的數(shù)列.所以a2021=a671×3+2=a2=2.答案:2【加固訓(xùn)練】(2021·黃岡模擬)已知數(shù)列{an},若a1=b(b>0),an+1=-QUOTE(n∈N*),則能使an=b成立的n的值可能是()A.14 B.15 C.16 D.17【解析】選C.由已知得a1=b,a2=-QUOTE=-QUOTE,a3=-QUOTE=-QUOTE,a4=-QUOTE=b,a5=-QUOTE=-QUOTE,a6=-QUOTE=-QUOTE,…,所以數(shù)列{an}的周期為3,再依據(jù)a1=a4=b,觀看選項(xiàng)可知a16=b,故選C.8.(2021·鄭州模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=則a3a4=.【解析】由已知得a3=2×3-5=1,a4=2×34-1=54,所以a3a4=1×答案:54三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2021·大連模擬)數(shù)列{an}滿足:a1+3a2+5a3+…+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3(n∈N*),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3n+1+3,把n換成n-1,得a1+3a2+5a3+…+(2n-3)·an-1=(n-2)·3n+3,兩式相減得an=3n.當(dāng)n=1時(shí),符合上式.所以an=3n(n∈N*).10.若an=n2+λn+3(其中λ為實(shí)常數(shù)),n∈N*,且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.【解析】由于{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,所以an+1>an,即(n+1)2+λ(n+1)+3>n2+λn+3,化簡(jiǎn)為λ>-2n-1對(duì)一切n∈N*都成立,所以λ>-3.故實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(-3,+∞).【方法技巧】數(shù)列的性質(zhì)的理解(1)數(shù)列的單調(diào)性與實(shí)數(shù)區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性是不同的,區(qū)間上函數(shù)的單調(diào)性必需對(duì)區(qū)間內(nèi)的實(shí)數(shù)滿足單調(diào)性的定義,而數(shù)列的單調(diào)性只要求對(duì)正整數(shù)滿足單調(diào)性的定義即可,如函數(shù)f(x)=2x2-5x的單調(diào)遞增區(qū)間是[QUOTE,+∞),而通項(xiàng)公式是an=2n2-5n的數(shù)列{an}對(duì)任意的正整數(shù)都滿足單調(diào)遞增的定義.(2)數(shù)列的周期性是指存在正整數(shù)k(常數(shù)),對(duì)任意正整數(shù)n,an+k=an,在給出遞推關(guān)系的數(shù)列中可以通過(guò)計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)的值,探究其周期性.(3)在由特殊得出一般結(jié)論的時(shí)候,確定要留意特殊中體現(xiàn)出來(lái)的一般規(guī)律,為了保證特殊化方法得出的結(jié)論具有一般意義,可以多計(jì)算數(shù)列中幾項(xiàng)的值,加以驗(yàn)證.【加固訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an=(n+1)QUOTE(n∈N*).試問(wèn)該數(shù)列{an}有沒(méi)有最大項(xiàng)?若有,求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù);若沒(méi)有,說(shuō)明理由.【解題提示】要想推斷一個(gè)數(shù)列有無(wú)最大項(xiàng),可以推斷數(shù)列的單調(diào)性,假如數(shù)列的前n項(xiàng)是遞增的,從n+1項(xiàng)開頭是遞減的,則an(an+1)即為數(shù)列的最大項(xiàng),故我們可以推斷數(shù)列{an+1-an}的表達(dá)式,然后進(jìn)行分類爭(zhēng)辯,給出最終的結(jié)論.【解析】由于an+1-an所以當(dāng)n<9時(shí),an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時(shí),an+1-an<0,即an+1<an;故a1<a2<a3<a9=a10>a11>a12>….所以數(shù)列{an}有最大項(xiàng)a9或a10,其值為10·QUOTE,其項(xiàng)數(shù)為9或10.(20分鐘40分)1.(5分)(2021·哈爾濱模擬)數(shù)列{an}定義如下:a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),an=QUOTE若an=QUOTE,則n的值等于()A.7 B.8 C.9 D.10【解析】選C.由于a1=1,當(dāng)n≥2時(shí)an=QUOTE所以a2=1+a1=2,a3=QUOTE=QUOTE,a4=1+a2=3,a5=QUOTE=QUOTE,a6=1+a3=QUOTE,a7=QUOTE=QUOTE,a8=1+a4=4,a9=QUOTE=QUOTE,又已知an=QUOTE,所以n=9.2.(5分)(2021·鄭州模擬)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-2λn(n∈N*),則“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選A.若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,則有an+1-an>0,即2n+1>2λ對(duì)任意的n∈N*都成立,于是有3>2λ,λ<QUOTE.由λ<1可得λ<QUOTE,但反過(guò)來(lái),由λ<QUOTE不能得到λ<1,因此“λ<1”是“數(shù)列{an}為遞增數(shù)列”的充分不必要條件.3.(5分)(力氣挑戰(zhàn)題)古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種外形來(lái)爭(zhēng)辯數(shù),如圖所示.他們爭(zhēng)辯過(guò)圖中的1,5,12,22,…,由于這些數(shù)能夠表示成五角形,將其稱為五角形數(shù),若按此規(guī)律連續(xù)下去,第n個(gè)五角形數(shù)an=.【解析】觀看圖形,發(fā)覺a1=1,a2=a1+4,a3=a2+7,a4=a3+10,猜想當(dāng)n≥2時(shí),an=an-1+3n-2,所以an-an-1=3n-2,所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(3n-2)+[3(n-1)-2]+…+(3×2-2)+1=QUOTEn2-QUOTEn.答案:QUOTEn2-QUOTEn【加固訓(xùn)練】在如圖所示的數(shù)陣中,第9行的第2個(gè)數(shù)為.1【解析】由圖可知,每行的其次個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an},a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,an-an-1=2(n-1)-1=2n-3,以上等式兩邊同時(shí)相加得an-a2=QUOTE=n2-2n,故an=n2-2n+3(n≥2),所以a9=92-2×9+3=66.答案:664.(12分)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n2+kn+4.(1)若k=-5,則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)?n為何值時(shí),an有最小值?并求出最小值.(2)對(duì)于n∈N*,都有an+1>an,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【解析】(1)由n2-5n+4<0,解得1<n<4.由于n∈N*,所以n=2,3,所以數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù),即為a2,a3.由于an=n2-5n+4=QUOTE-QUOTE,由二次函數(shù)性質(zhì),得當(dāng)n=2或n=3時(shí),an有最小值,其最小值為a2=a3=-2.(2)由an+1>an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列,又由于通項(xiàng)公式an=n2+kn+4,可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù),考慮到n∈N*,所以-QUOTE<QUOTE,即得k>-3.【加固訓(xùn)練】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-n-30.(1)求數(shù)列的前三項(xiàng),60是此數(shù)列的第幾項(xiàng)?(2)n為何值時(shí),an=0,an>0,an<0?(3)該數(shù)列前n項(xiàng)和Sn是否存在最值?說(shuō)明理由.【解析】(1)由an=n2-n-30,得a1=12a2=22a3=32設(shè)an=60,則60=n2-n-30.解之得n=10或n=-9(舍去).所以60是此數(shù)列的第10項(xiàng).(2)令an=n2-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去).所以a6=0.令n2-n-30>0,解得n>6或n<-5(舍去).所以當(dāng)n>6(n∈N*)時(shí),an>0.令n2-n-30<0,解得0<n<6.所以當(dāng)0<n<6(n∈N*)時(shí),an<0.(3)Sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=QUOTE-30QUOTE,(n∈N*)知{an}是遞增數(shù)列,且a1<a2<…<a5<a6=0<a7<a8<a9<…,故Sn存在最小值S5=S6,不存在最大值.5.(13分)在數(shù)列{an}中,a1