誘導(dǎo)公式學(xué)案-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

5.3誘導(dǎo)公式【節(jié)引言】前面利用圓的幾何性質(zhì),得到了同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系.我們知道,圓的最重要的性質(zhì)是對稱性,而對稱性(如奇偶性)也是函數(shù)的重要性質(zhì).由此想到,可以利用圓的對稱性,研究三角函數(shù)的對稱性.【探究1】如圖5.3-1,在直角坐標(biāo)系內(nèi),設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1(1)作P1關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)P2,以O(shè)P2為終邊的角β與角(2)如果作P1關(guān)于x軸(或y軸)的對稱點(diǎn)P3(或下面,借助單位圓的對稱性進(jìn)行探究.如圖5.3-2,以O(shè)P2為終邊的角β都是與角π+α終邊相同的角,即β=2設(shè)P1x1,yx根據(jù)三角函數(shù)的定義,得sin?從而得圖5.3-1圖5.3-2sin?(如圖5.3-3,作P1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P3,則以O(shè)P公式三sin?(?如圖5.3-4,作P1關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)P4,則以O(shè)P公式四sin?(例1利用公式求下列三角函數(shù)值:(1)cos?225(2)sin?8(3)sin??(4)tan??解:(1)cos?=?cos?(2)sin?=sin?(3)sin?=?sin?圖5.3-3圖5.3-4明公式三和公式四.=?(4)tan?=?tan?【思考】由例1,你對公式一＼cjkstart公式四的作用有什么進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)?你能自已歸納一下把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)的步驟嗎?利用公式一～公式四,可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),一般可按下面步驟進(jìn)行:數(shù)學(xué)史上,求三角函數(shù)值曾經(jīng)是一個(gè)重要而困難的問題.數(shù)學(xué)家制作了銳角三角函數(shù)表,并通過公式一～公式四,按上述步驟解決了問題.現(xiàn)在,我們可以利用計(jì)算工具方便地求任意角的三角函數(shù)值,所以這些公式的“求值”作用已經(jīng)不重要了,但它們所體現(xiàn)的三角函數(shù)的對稱性,在解決三角函數(shù)的各種問題中卻依然有重要的作用.例2化簡cos?解:tan?=?tan?=?tan?所以原式1.將下列三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù),并填在題中橫線上:(1)cos?(2)sin?(1+(3)sin?(4)tan?(5)cos?(6)tan?2.利用公式求下列三角函數(shù)值:(1)cos??(2)sin??(3)tan??(4)cos??(5)tan?315(6)sin??3.化簡:(1)sin??(2)cos34.填表:α??????sin?cos?tan?下面在探究1的基礎(chǔ)上繼續(xù)探究.【探究2】作P1關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)P5,以O(shè)P5為終邊的角γ與角如圖5.3-5,以O(shè)P5為終邊的角γ都是與角π2?α終邊相同的角,即γ設(shè)P5x5,y5,由于圖5.3-5x根據(jù)三角函數(shù)的定義,得sin?你能利用平面幾何的知識(shí),就圖5.3-5所示的情況證明(1)式嗎?其他情況呢?從而得公式五sin?【探究3】作P5關(guān)于y類似地,可得公式六sin?角π2+α利用公式五或公式六,可以實(shí)現(xiàn)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化.公式一～公式六都叫做誘導(dǎo)公式(inductionformula).例3證明:(1)sin?3(2)cos?3證明：(1)sin?=?sin?(2)cos?=?cos?例4仳簡sin?(2解：原式=例5已知sin?53°?α=分析：注意到53°?α+37解：設(shè)β=53°?αsin?因?yàn)?所以143由sin?β=1所以cos?所以sin?【練習(xí)】1.用誘導(dǎo)公式求下列三角函數(shù)值(可用計(jì)算工具,第(3)(4)(6)題精確到0.0001):(1)cos?65(2)sin??(3)cos??(4)sin?670(5)tan??(6)tan?5802.證明:(1)cos?5(2)cos?7(3)sin?9(4)sin?113.化簡:(1)cos?α(2)cos2(3)cos?(α習(xí)題5.3【復(fù)習(xí)鞏固】1.用誘導(dǎo)公式求下列三角函數(shù)值(可用計(jì)算工具,第(2)(3)(4)(5)題精確到0.0001):(1)cos??(2)sin??(3)sin??(4)cos??(5)cos?1615(6)sin??2.求證:(1)sin?360(2)cos?360(3)tan?3603.化簡:(1)1+sin?(α(2)sin??4.在單位圓中,已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P?35【綜合運(yùn)用】5.已知sin?7π2(A)?(B)?(C)3(D)46.已知sin?(π(1)sin?(5π(2)sin?(3)cos?α(4)tan?π7.在△ABC(1)cos?(A(2)sin?(A(3)sin?A(4)cos?A8.已知sin