2021年中考數(shù)學(xué)臨考沖刺訓(xùn)練：銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(含答案)

2021中考數(shù)學(xué)臨考沖刺訓(xùn)練：銳角三角函數(shù)及

其應(yīng)用

一、選擇題

1.（2019?天津）2sin60。的值等于

A.1B.V2

C.73D.2

2.如圖，在RSABC中，ZC=90°,ZB=30°,AB=8,則BC的長是()

B.4C.8小D.4小

3.（2019?山東威海）如圖，一個(gè)人從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，沿山坡小路AB走到山頂B

點(diǎn).已知坡角為20°,山高BC=2千米.用科學(xué)計(jì)算器計(jì)算小路AB的長度，下列

按鍵順序正確的是

A.IUEZJHHHHB.團(tuán)叵］函國同目

c.團(tuán)臼叵|國回臼D.團(tuán)口!叵］回回目

4.（2019?湖南長沙?3分）如圖，一艘輪船從位于燈塔C的北偏東60°方向，距離

燈塔60nmile的小島A出發(fā)，沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔C的

南偏東45°方向上的B處，這時(shí)輪船B與小島A的距離是

北

B.60nmile

D.(30+30573)nmile

5.（2020.咸寧）如圖，在矩形ABCZ）中，AB=2,BC=2亞,E是BC的中點(diǎn),

將A4BE沿直線AE翻折，點(diǎn)3落在點(diǎn)尸處，連結(jié)CF,則cosNECF的值為（）

。.-D.—

35

如圖所示，某辦公大樓正前方有一根高度是15米的旗桿ED,從辦公大樓頂端A

測得旗桿頂端E的俯角a是45。，旗桿底端D到大樓前梯坎底邊的距離DC是20米

,梯坎坡長BC是12米，梯坎坡度i=l：小，則大樓AB的高度約為（精確到0.1米

,參考數(shù)據(jù)：值1.41,修1.73,除245）（）

A.30.6B.32.1C.37.9D.39.4

7.（2019?浙江金華）如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O.已知AB=m,ZBAC=

Na,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

D

B.BC=m*tana

▲Cmm

C.AO---------D.BD二

2sinecos。

8.如圖，以。為圓心，半徑為1的弧交坐標(biāo)軸于A,B兩點(diǎn)，P是AB

上一點(diǎn)(不與A,B重合)，連接OP,設(shè)NPOB=a,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（

A.(sina,sind)B.(cosa,COSCL)

C.(cosa,sina)D.(sina,cosa)

二'填空題

9.如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,BC=15,tanA=v>則AB=

oI

10.已知a,。均為銳角，且滿足|s%a—3|+（ta/zp—1）2

=0,貝Ua+B=.

11.（2019?浙江衢州）如圖，人字梯AB,AC的長都為2米，當(dāng)a=50。時(shí)，人字梯

頂端離地面的高度AD是米（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)：sin50。-

0.77,cos500~0.64,tan50°~L19）.

BADC

12.

如圖，航拍無人機(jī)從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30。，測得底部C的俯角

為60。，此時(shí)航拍無人機(jī)與該建筑物的水平距離AD為90米，那么該建筑物的高

度BC約為米.（精確至U1米，參考數(shù)據(jù)：小句.73）

13.

齊河路路通電動車廠新開發(fā)的一種電動車如圖，它的大燈A射出的邊緣光線AB

,AC與地面MN所夾的銳角分別為8。和10。，大燈A與地面的距離為1

m,則該車大燈照亮的寬度BC是加:（不考慮其他因素，參考數(shù)據(jù)：5沅

4195

8°=石，tan8°=q,s沅10°=正，加〃10°=五）

14.（2020.天水）如圖所示，NA03是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè)角，則sinN

AOB的值是.

15.如圖，在AABC和4DEF中，ZB=40°,ZE=140°,AB=EF=5,BC=DE

=8,則這兩個(gè)三角形面積的大小關(guān)系為SAABCSADEF（填“>”或“=”或

16.（2020.蘇州）如圖，已知NMON是一個(gè)銳角，以點(diǎn)。為圓心，任意長為半

徑畫弧，分別交OM、ON于點(diǎn)4、B,再分別以點(diǎn)A、8為圓心，大于長

2

為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,畫射線OC.過點(diǎn)4作ADON,交射線OC于點(diǎn)。，

過點(diǎn)。作DE1OC,交ON于點(diǎn)E.設(shè)04=10,DE=12,則

17.如圖，在RtZkABC中，ZACB=90°,AC=BC=3,點(diǎn)。在邊AC上，且AD=2CD,

DELAB,垂足為點(diǎn)E,連接CE,求：

(1)線段3E的長；

Q)NECB的正切值.

18.如圖，在RtZkABC中，ZC=90°,AD平分NA4c交3c于點(diǎn)。，。為A3上

一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A,。的。。分別交AB,AC于點(diǎn)E,F,連接OR交AD于點(diǎn)G

(1)求證:3C是。。的切線；

(2)設(shè)AB=x,AF=y,試用含x,y的代數(shù)式表示線段AD的長；

(3)若BE=8,sinB=K，求。G的長.

19.

如圖，在正方形A3CD中，點(diǎn)G在對角線3D上(不與點(diǎn)3,。重合)，GELDC于點(diǎn)

E,6尸，3。于點(diǎn)口，連接AG.

(1)寫出線段AG,GE,G尸長度之間的等量關(guān)系，并說明理由；

(2)若正方形A3CD的邊長為1,ZAGF=105°,求線段BG的長.

AD

E

C

20.(2019?銅仁)如圖，A、B兩個(gè)小島相距10km,一架直升飛機(jī)由B島飛往A島，

其飛行高度一直保持在海平面以上的hkm,當(dāng)直升機(jī)飛到P處時(shí)，由P處測得B

島和A島的俯角分別是45°和60°,已知A、B、P和海平面上一點(diǎn)M都在同

一個(gè)平面上，且M位于P的正下方，求h(結(jié)果取整數(shù)，石心1.732)

21.如圖，。。是△ABC的外接圓，AC為直徑,AB

=BD,3ELDC交。C的延長線于點(diǎn)E

⑴求證：Z1=ZBCE；

(2)求證：3E是。。的切線；

(3)若EC=1,CD=3,求cosNDBA

2021中考數(shù)學(xué)臨考沖刺訓(xùn)練：銳角三角函數(shù)及

其應(yīng)用-答案

一'選擇題

1.【答案】B

【解析】銳角三角函數(shù)計(jì)算，2sin60°=2X^=73,故選A.

2

RC1

2.【答案】D［解析］?在RtAABC中，ZC=90°,NB=30°,AB=8,cosB=而,

RC1

即__

cos30°=o^,

.*.BC=8x^-=4小.

3.【答案】A

2

【解析】在△ABC中，sinA=sin20°=萼，AB=o=,o...按鍵順序

ABsin20sin20

為：29sin20=,

故選A.

4.【答案】D

【解析】過C作CDLAB于D點(diǎn)，/.ZACD=30°,ZBCD=45°,AC=60.

在RtAACD中，cosZACD=—,/.CD=AC?cosZACD=60X@=308.

AC2

在Rt^DCB中，VZBCD=ZB=45°,/.CD=BD=3073,/.

AB=AD+BD=30+30班.

所以此時(shí)輪船所在的B處與燈塔P的距離是（30+30石）nmile.故選D.

B

5.【答案】C

【解析】本題考查了余弦的定義、等腰三角形的性質(zhì)上、矩形的性質(zhì)和折疊的性

質(zhì)，由折疊可得：AB=AF=2,BE=EF,NAEB=NAEF,,.,點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，BC=2非,

.,.BE=CE=EF=5/.ZEFC=ZECF,AE=,+（扃=3,VZBEF=ZAEB+

ZAEF=ZEFC+ZECF,ZECF=ZAEB,cosZECF=cosZAEB=-=^-,

AE3

因此本題選C.

6.【答案】D

【解析】如解圖，設(shè)與DC的延長線交于點(diǎn)G,過點(diǎn)E作EfUAB于點(diǎn)R過點(diǎn)

B作BHLED于點(diǎn)、H,則可得四邊形GDER為矩形.在RtA3CG中，12,加

BG

LCG

=為-,AZBCG=30°,：.BG=6,CG=6小,：.BF=FG-BG=DE~BG=15

-6=9,VZAEF=a=45°,：.AF=EF=DG=CG+CD=6小

+20,AB=BF+AF=9+2Q+6導(dǎo)39.4（米）.

7.【答案】C

【解析】A、?.,四邊形ABCD是矩形，.?.NABC=NDCB=90。，AC=BD,AO=CO,

BO=DO,

/.AO=OB=CO=DO,/.ZDBC=ZACB,

...由三角形內(nèi)角和定理得：ZBAC=ZBDC=Za,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、在RtaABC中，tana=,即BC=m?tana,故本選項(xiàng)不符合題意；

m

vnrn

C、在Rt^ABC中，AC=------,即AO=——,故本選項(xiàng)符合題意；

costz2cosa

D、?四邊形ABCD是矩形，/.DC=AB=m,VZBAC=ZBDC=a,?'.在Rt^DCB

中，BD=—"一，故本選項(xiàng)不符合題意;

cosa

故選C.

8.【答案】C

【解析】如解圖，過點(diǎn)尸作PCLOB于點(diǎn)C,則在RtAOPC中，OC=OPcos/PO

B=lxcosa=cosa,PC=OP-sinZPOB=1xsina=sina,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（cosa,si

二、填空題

HC115

【答案】［解析］?在中，，

9.17RtAABCZC=90°,tanAAL=#=o/BC=15,

解得AC=8.根據(jù)勾股定理，得AB=^AC2+BC2=^82+152=17.

故答案為17.

10.【答案】75°

【解析】由于絕對值和算術(shù)平方根都是非負(fù)數(shù)，而這兩個(gè)數(shù)的和又為零，于是

它們都為零.根據(jù)題意，得|simx—；|=0,(ta?p—1)2=0,則s沅a=3，勿邛

=1,又因?yàn)閍、0均為銳角，貝Ua=30。，p=45°,所以。+|3=30。+45。=75。.

11.【答案】1.5

AT)

【解析】Vsina=——,：.AD=AC?sina^2X0.771,5,故答案為：1.5.

12.答案】208

【解析】在ABD中，BD=AD@"NBAD=90x/a〃30°=30小，在ACD

中，CD=ADM〃NCAD=90xtm60°=90小，BC=BD+CD=305+90小

=120^208（米）.

13.【答案】1.4【解析】如解圖，作ADLMN于點(diǎn)D,由題意得，AD=1

m,ZABD=8°,ZACD=10°,ZADC=ZADB=90°,.\BD=tanS=T1=7

7

AD128.

=??=

m,CD~tanliOco=5v5*=5.6m,BC=BD-CD—75.61.4zn.

28

14.【答案】2

【解析】連接A3,利用勾股定理的逆定理證明△043是等腰直角三角形，得到

ZAOB=45°,再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)求解.,.?432=12+32=10,OB2=12+32

=10,OA2=22+42=20,：.AB2+OB2=OA2,，△043是等腰直角三角形，Z

也

AOB=45°,：.smZAOB=sm450=2-

15.【答案】=［解析］如圖，在△ABC中，過點(diǎn)A作AGLBC,垂足為G在ADEF

中，過點(diǎn)F作FHLDE,交DE的延長線于點(diǎn)H,

H

AG=sinBAB=5sin40°.

VZDEF=140°,

，ZFEH=40°,

FH=sinZFEH-EF=5sin40°,

/.AG=FH.

又,.,BC=DE,.'.SAABC=SADEF.

16.【答案】【答案】石

三、解答題

17.【答案】

解:⑴,.?AD=2CD,AC=3,：.AD=2,

,在R3ABC中，NACB=90。,AC=BC=3,

：.ZA=ZB=45°,AB=y)AC2+BC2=

'：DE±AB,：.ZAED=9Q°,

/.AE=AD-cos45°=2x^=V2,

：.BE=AB-AE=3\l2-啦=2班，

即線段BE的長為2v2

(2)過點(diǎn)E作EHLBC,垂足為點(diǎn)H,如圖所示.

\?在RSBEH中,

ZEHB=90°,/B=45。,

:.EH=BH=BEcos45。=2及xg=2,

'：BC=3,：.CH=1,

EH

在RtACHE中，tanNE*C3=而Url=2,

即NEC3的正切值為2.

18.【答案】

［解析］⑴連接0D,根據(jù)同圓半徑相等及角平分線條件得到ND4C=NOD4,得

OD//AC,切線得證;(2)連接EF,DF,根據(jù)直徑所對圓周角為直角，證明/

AFE=90°,可得EF〃BC,因此/3=/4石R，再利用同弧所對圓周角相等可得N

B=ZADF,從而證明^ABD^AADF,可得AD與AB,AF的關(guān)系;(3)根據(jù)NAER=

/B,利用三角函數(shù)，分別在RtADOB和RtAAFE中求出半徑和AF,代入(2)

的結(jié)論中，求出AD,再利用兩角對應(yīng)相等，證明△OGDS^RGA,再利用對應(yīng)

邊成比例，求出DG：AG的值，即可求得DG的長.

解:⑴證明:連接。D,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

,.工。平分NA4C,

：.ZOAD=ZDAC,

：.ZDAC=ZODA,

：.OD//AC,

：.Z0DB=ZC=9Q°,：.OD±BC.

為。。的半徑，.，田。是。。的切線.

⑵連接EF,DF.'.'AE為。。的直徑，

ZAFE=90°,，/AFE=ZC=90°,

J.EF//BC,：.ZB=ZAEF.

"：ZADF=ZAEF,：.ZB=ZADF.

又ZOAD=ZDAC,：.△ABDsAADF,

ABADc?—

2

???布二而,.\AD=AB-AF9.\AD=y]xy.

(3)設(shè)。O半徑為r,

在RtADOB中，siaB=黑二[

Vj￡51J

r5

???r不十=inj，解得廠=5,.,.AE=10.

AF

在RtAAFE中，sinXAEF=sinB=A-U^,

...A,F=…10x—5=5—0,

.-.AD=Jis-H=nrr-

：ZODA=ZDAC,ZDGO=ZAGF,

/.△OGDsAFGA,

.DGOP13.DG13

**AG-AF_10,'*AD^DG-10,

DG=|y\/13.

19.【答案】

【思維教練】求三條線段之間的關(guān)系，一般是線段的和差關(guān)系或線段平方的和

差關(guān)系.由ABCD是正方形，BD是角平分線，可想到連接CG,易得CG=AG,

再由四邊形CEGF是矩形可得AG2=GE2+GF2；(2)給出NAGF=105。，可得出

ZAGB=60°,再由NABG=45。，可想到過點(diǎn)A作BG的垂線，交BG于點(diǎn)M,分

別在兩個(gè)直角三角形中得出BM和MG的長，相加即可得出BG的長.

第21題第圖

解：（1）AG2=GE2+GF2；（1分）

理由：連結(jié)CG,...ABCD是正方形，

.,.ZADG=ZCDG=45°,AD=CD,DG=DG,

/.△ADG^ACDG,（2分）

，AG=CG,

XVGEXDC,GF±BC,ZGFC=90°,

???四邊形CEGF是矩形，（3分）

??.CF=GE,

在直角AGFC中，由勾股定理得，CG2=GF2+CF2,

.\AG2=GE2+GF2；