2023-2024學(xué)年人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專項(xiàng)突破：圓周角（解析版）

專題18圓周角

考點(diǎn)1：圓周角定理；考點(diǎn)2：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)。

題型01圓周角定理

1.（易錯(cuò)題）如圖，AC,8c為。。的兩條弦，D、G分別為NC,8c的中點(diǎn)，的半徑為2.若/C=45°,則

3-

A.2B.V3C.-D.V2

解：如圖，連接40、BO、AB,

VZC=45°,

；?N4OB=2/C=90°,

???。。的半徑為2,

.\AO=BO=2,

:.AB=2?

??,點(diǎn)。、G分別是4C、的中點(diǎn),

1一

.\DG=^AB=y/2-

答案：D.

2.（易錯(cuò)題）如圖，AB,4C是。O的弦，OB,OC是的半徑，點(diǎn)尸為。5上任意一點(diǎn)（點(diǎn)?不與點(diǎn)5重合）,

連接CP若/B4c=70°,則N5尸C的度數(shù)可能是（)

A

A.70°B.105°C.125°D.155°

解：如圖，連接BC,

三A

?：/BAC=70°,

AZBOC=2ZBAC=140°,

?：OB=OC,

180°-140°

：.ZOBC-ZOCB-2-20°,

?,?點(diǎn)尸為08上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)5重合），

.,.0°<ZOCP<20°,

VZBPC=Z5OC+ZOCP=140°+/OCP,

.'.140°<ZBPC<\60°,

答案：D.

3.如圖，在。。中，半徑04,05互相垂直，點(diǎn)C在劣弧48上.若/4BC=19°,貝I|NA4C=（

A

A.23°B.24°C.25°D.26°

解：連接。。,

VZABC=19°,

AZAOC=2ZABC=3S°,

???半徑04,05互相垂直，

AZAOB=90°,

AZBOC=90°-38°=52°,

1

AABAC=-ZBOC=26°,

答案：D.

4.如圖，AB,CD是。。的兩條直徑，E是劣弧瓦:的中點(diǎn)，連接BC,DE.若/4BC=22°,則NCQ￡的度數(shù)為

()

A.22°B.32°C.34°D.44°

解：連接OE,

?：OC=OB,ZABC=22°,

：.ZOCB=ZABC=22°,

???N5OC=180°-22°X2=136°,

??,E是劣弧能的中點(diǎn)，

CE=BE,

1

：.ZCOE=~x136°=68°,

11

由圓周角定理得：ZCDE=-ZCOE=2x68°=34°,

答案：C.

5.如圖，點(diǎn)4,B,。在半徑為2的。。上，ZACB=60°,ODLAB,垂足為￡,交。。于點(diǎn)。，連接04,貝U0E

的長度為1.

解：如圖，連接08,

VZACB=60°,

AZAOB=2ZACB=120°,

9

：OD.LABf

：.AD=Bb,ZOEA=90°,

1

AZAOD=ZBOD=-ZAOB=60°,

：.ZOAE=90°-60°=30°,

11

OE=—OA=5x2=1,

答案：1.

6.如圖，是。。的直徑，點(diǎn)D,M分別是弦NC,弧NC的中點(diǎn)，AC=\2,BC=5,則MD的長是4

解：?.?點(diǎn)加是弧NC的中點(diǎn),

：.OM±AC,

???45是。。的直徑，

：.ZC=90°,

???/C=12,BC=5,

??AB=V122+52=13,

：.OM=6.5f

??,點(diǎn)。是弦ZC的中點(diǎn)，

1

：.OD=-BC=2.5,OD//BC,

：.ODLAC,

???O、D、/三點(diǎn)共線，

：.MD=OM-OD=6.5-2.5=4.

答案：4.

7.一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的測量，測得

13

12cm,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為~cm-

解：連接ZC,

VZABC=90°,且N4BC是圓周角,

???4。是圓形鏡面的直徑，

由勾股定理得：AC=4AB1+BC2=71224-52=13(cm),

13

所以圓形鏡面的半徑為~cm,

13

答案:~cm.

8.如圖，已知43是。。的弦，ZAOB=120°,OCLAB,垂足為C,OC的延長線交。。于點(diǎn)D若NAPD是俞

所對(duì)的圓周角，則N4尸。的度數(shù)是30°

,\AD=BD,

：./AOD=/BOD,

VZAOB^nO0,

1

ZAOD=ZBOD=-ZAOB=60°,

11

ZAPD=-ZAOD=2X60°=30°，

答案：30°.

9.(易錯(cuò)題)如圖，OA,OB,OC都是的半徑，NACB=2NBAC

(1)求證：ZAOB=2ZBOC；

(2)若45=4,BC=返,求OO的半徑.

11

(1)證明：'：^.ACB=-Z-AOB,乙BAC=3乙BOC,NACB=2NBAC,

：.ZAOB=2ZBOC；

（2）解：過點(diǎn)O作半徑45于點(diǎn)區(qū)連接。5,

,?ZAOB=2ZBOC,ZDOB=~ZAOB,

：.ZDOB=ZBOC.

：.BD=BC.

*8=4,BC=V5.

DB=V5，

在RtABDE中，ZDEB=90°,

DE=BD2-BE2=1)

在RtZsBOE中，/OEB=9G°,

OB2=(OB-1)2+22,

5

解得。8=

5

即OO的半徑是

10.如圖，四邊形48CD內(nèi)接于(DO,8。為。。的直徑，AC平分/BAD,C￡>=2五，點(diǎn)￡在3C的延長線上，連

接DE.

(1)求直徑8。的長；

(2)若BE=5五,計(jì)算圖中陰影部分的面積.

解：（1）為O。的直徑,

：./BCD=NDCE=90°,

平分NB4D,

???NBAC=ADAC,

:,BC=DC=2瓜

??BD—2xs/2.=4；

(2)?:BE=5瓜

:.CE=3?

■:BC=DC,

1廠廠

:?S陰影=5X2V2X3v2=6.

題型02圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

11.（易錯(cuò)題）如圖，四邊形45cZ）內(nèi)接于。。，BC//AD,AC.LBD.若//。。=120°，4。=百，則NCZO的度

數(shù)與BC的長分別為（）

A.10°，1B.10°,V2C.15°，1D.15°,V2

解：連接05,OC,

,:BC〃AD,

：.ZDBC=AADB,

'.AB=CD,

：.ZAOB=ZCOD,ZCAD=ZBDA,

■:DBL4C,

：.ZAED=90°,

：.ZCAD=ZBDA=45°，

：.ZAOB=2ZADB=90°,NCOD=2/CAD=90°,

VZAOD=nO°,

Z5OC=360°-90°-90°-120°=60°,

"：OB=OC,

:.XOBC是等邊三角形，

：.BC=OB,

'：OA=OD,ZAOD=120°,

：.ZOAD=ZODA=30°,

?'?AD=百CM=V3，

：.OA=\,

：.BC=\,

：.ZCAO=ZCAD-ZOAD=45°-30°=15°.

答案：C.

12.如圖，圓內(nèi)接四邊形/BCD中，/BCD=105°,連接08,OC,OD,BD,ZBOC=2ZCOD.則NC5。的度

數(shù)是（）

A.25°B.30°C.35°D.40°

解：??,四邊形/BC。是。。的內(nèi)接四邊形，

???N/+N5CD=180°,

VZBCD=105°,

ZA=75°,

AZBOD=2ZA=150°,

???ZBOC=2ZCOD,

：.ZBOD=3ZCOD=150°,

：.ZCOD=50°,

1

：.ZCBD=-ZCOD=25°,

答案：A.

13.如圖，四邊形4BCD是。。的內(nèi)接四邊形，若NBCD=121°,則的度數(shù)為（）

A.138°B.121°C.118°D.112°

解：：四邊形N3CD是的內(nèi)接四邊形，

AZA+ZBCD^1SO0,

/.Z^=180°-121°=59°,

AZBOD=2ZA=2X59°=118°,

答案：C.

14.如圖，四邊形/BCD內(nèi)接于OO,延長ND至點(diǎn)E,已知//OC=140°那么如C￡>￡=70

解：ZCDE+ZADC=^0°,Z5+Zy4Z)C=180°,

：.ZCDE=ZB,

11

VZB=-ZAOC=-x140°=70°,

:.NCDE=70°.

答案：70.

15.如圖，四邊形/BCD是。。的內(nèi)接四邊形，8c是。。的直徑，BC=2CD,則/34D的度數(shù)是120

解：如圖，連接OD,

0

???3。是。。的直徑，BC=2CD,

：.OC=OD=CD,

???△COD為等邊三角形，

AZC=60°,

,/四邊形ABCD是O。的內(nèi)接四邊形，

ZBAD+ZC=180°,

AZBAD=nO°,

答案：120.

16.（易錯(cuò)題）如圖，四邊形45。。內(nèi)接于O。，它的3個(gè)外角NE4BZFBC,/GCD的度數(shù)之比為1：2：4,則

ZD=72°.

D'AE

解：如圖，延長ED到凡

“二

?.?四邊形/BCD內(nèi)接于OO,

ZABC+ZADC=ZBAD+ZBCD=180a,

又＜/EAB,ZFBC,NGCD的度數(shù)之比為1：2：4,

ZEAB,NFBC,ZGCD,/CD/f的度數(shù)之比為1：2：4：3,

VZEAB+ZFBC+ZGCD+ZCDH=360°,

3

：.ZCDH=360°、誨寸1°8。，

：.ZADC=180°-108°=72°，

答案：72.

17.（易錯(cuò)題）如圖，的內(nèi)接四邊形/5CZ）兩組對(duì)邊的延長線分別交于點(diǎn)E、F.

(1)若NE=N/時(shí)，求證：ZADC=ZABC；

(2)若/E=NF=42°時(shí)，求N4的度數(shù);

(3)若NE=a,ZF=p,且a#0.請(qǐng)你用含有a、0的代數(shù)式表示N4的大小.

解：(1)/E=/F,

???ZDCE=/BCF,

NADC=/E+/DCE,NABC=NF+/BCF,

：.ZADC=ZABC；

(2)由(1)知N4DC=N4BC,

???ZEDC=/ABC,

：.ZEDC=ZADC,

：.ZADC=90°,

AZA=90°-42°=48°；

（3）連接跖，如圖,

A

?..四邊形/BCD為圓的內(nèi)接四邊形,

NECD=NA,

,?ZECD=Z1+Z2,

：.ZA=Z1+Z2,

'：ZA+Z1+Z2+ZAEB+ZAFD=18O°,

；.2N/+a+B=180°,

a+B

：.ZA=90°

18.（易錯(cuò)題）如圖，圓內(nèi)接四邊形/BCD的對(duì)角線NC,BD交于點(diǎn)、E,BD平分NABC,ZBAC=ZADB.

(1)求證DB平分/