2022年浙江省臺(tái)州市沙門鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2022年浙江省臺(tái)州市沙門鎮(zhèn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，則（

）A.18

B.36

C.54

D.72參考答案：D2.如圖，5個(gè)(x,y)數(shù)據(jù)，去掉后，下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．相關(guān)系數(shù)r變大B．殘差平方和變大C.相關(guān)指數(shù)R2變大D．解釋變量x與預(yù)報(bào)變量y的相關(guān)性變強(qiáng)參考答案：B因?yàn)辄c(diǎn)距離回歸直線越近，說明相關(guān)系數(shù)會(huì)越大，對(duì)應(yīng)的殘差平方和會(huì)越小，相關(guān)性就會(huì)越強(qiáng)，從散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，將去掉之后，明顯的所有的點(diǎn)里對(duì)應(yīng)的回歸直線就會(huì)越近，從而得到B是錯(cuò)誤的，故選B.

3.不等式的解集為R，那么必有

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略4.執(zhí)行圖的程序框圖后，輸出的結(jié)果為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】模擬程序框圖的運(yùn)行過程，即可得出程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果．【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有a=0，S=0，i=1，a=1，S=1，不滿足條件i≥4，有i=2，a=3，S=，不滿足條件i≥4，有i=3，a=6，S=，不滿足條件i≥4，有i=4，a=10，S=，滿足條件i≥4，輸出S的值為．故選：A．5.用1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)的有（

）

A.24

B.30

C.40

D.60參考答案：A6.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D該試驗(yàn)所有基本事件(a，b)可在平面直角坐標(biāo)系中表示出來如下圖．易知所有基本事件有5×3＝15個(gè)，記“b>a”為事件A，則事件A所含基本事件有3個(gè)．∴P(A)＝＝，故選D.7.不等式的解集為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C8.橢圓x2+=1（|b|＜1）的左焦點(diǎn)為F，A為上頂點(diǎn)，B為長軸上任意一點(diǎn)，且B在原點(diǎn)O的右側(cè)，若△FAB的外接圓圓心為P（m，n），且m+n＞0，橢圓離心率的范圍為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】分別求出線段FB與AB的垂直平分線方程，聯(lián)立解出圓心坐標(biāo)P，利用m+n＞0，與離心率計(jì)算公式即可得出．【解答】解：如圖所示，B是右頂點(diǎn)線段FB的垂直平分線為：x=．線段AB的中點(diǎn)（，）．∵kAB=﹣b．∴線段AB的垂直平分線的斜率k=．∴線段AB的垂直平分線方程為：y﹣=（x﹣），把x==p代入上述方程可得：y==n．∵m+n＞0，∴+＞0．化為：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e==c=∈（0，）．B為長軸上任意一點(diǎn)，且B在原點(diǎn)O的右側(cè)，結(jié)論同樣成立，故選：A．9.計(jì)算機(jī)中常用的十六進(jìn)制是逢16進(jìn)1的計(jì)數(shù)制，采用數(shù)字0～9和字母A～F共16個(gè)計(jì)數(shù)符號(hào)，這些符號(hào)與十進(jìn)制的數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表．十六進(jìn)制01234567十進(jìn)制01234567十六進(jìn)制89ABCDEF十進(jìn)制89101112131415例如，用十六進(jìn)制表示E+D=1B，則A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0參考答案：B【考點(diǎn)】EM：進(jìn)位制．【分析】本題需先根據(jù)十進(jìn)制求出A與C的乘積，再把結(jié)果轉(zhuǎn)化成十六進(jìn)制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根據(jù)16進(jìn)制120可表示為78．故選：B．10.對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先分離變量，再利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)單調(diào)性與最值，即得結(jié)果.【詳解】由恒成立可得恒成立，令，則，顯然在上單調(diào)遞增，又，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值.∴.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，考查基本分析求解能力，屬中檔題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖，平面⊥平面，∩=，DA，BC，且DA⊥于A，BC⊥于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面內(nèi)不在上的動(dòng)點(diǎn)P，記PD與平面所成角為，PC與平面所成角為，若，則△PAB的面積的最大值是

。參考答案：12由條件可得：PB=2PA，即P到B的距離為到A的距離的2倍在平面內(nèi)以AB為軸，AB的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系設(shè)P（，）則=∴=

∴+27=0∴

∴=16∴平面內(nèi)P點(diǎn)軌跡為以（，0）為圓心，4為半徑的圓（與軸的交點(diǎn)除外）∴高的最大值為4，

∴面積的最大值為=1212.已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，若其離心率為，焦距為8，則該橢圓的方程是．參考答案：+=1【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【專題】計(jì)算題．【分析】依題意可知c，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a，進(jìn)而根據(jù)b2=a2﹣c2求得b20，則橢圓方程可得．【解答】解：由題意知，2c=8，c=4，∴e===，∴a=8，從而b2=a2﹣c2=48，∴方程是+=1．故答案為+=1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中a，b和c之間的關(guān)系．13.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖（側(cè)視圖中的弧線是半圓），則該幾何體的表面積是

．參考答案：20+3π【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】由幾何體的三視圖，知該幾何體的上半部分是棱長為2的正方體，下半部分是半徑為1，高為2的圓柱的一半，由此能求出該幾何體的表面積．【解答】解：由幾何體的三視圖，知該幾何體的上半部分是棱長為2的正方體，下半部分是半徑為1，高為2的圓柱的一半，∴該幾何體的表面積S=5×22+π×12+=20+3π．故答案為：20+3π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查由幾何體的三視圖求幾何體的表面積的求法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．14.經(jīng)過原點(diǎn)，圓心在x軸的負(fù)半軸上，半徑等于2的圓的方程是____________.參考答案：略15.已知x，y滿足不等式組，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為．參考答案：6【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可求最大值．【解答】6解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=﹣2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時(shí)z最大．由，解得，即A（2，2），代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×2+2=6．即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．16.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，在冪函數(shù)的圖象上，則__________．參考答案：17.記n!=1×2×…n（n∈N*），則1!+2!+3!+…+2014!的末位數(shù)字是_________．參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，平面ABCD⊥平面SAB，側(cè)面SAB為等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，AB=12，CD=BC=6．（1）求證：AB⊥DS；（2）求平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（1）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OS，推導(dǎo)出AB⊥OS，AB⊥OD，由此能證明AB⊥SD．（2）推導(dǎo)出OS⊥平面ABCD，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值．【解答】證明：（1）取AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OD，OS，∵△SAB是正三角形，∴AB⊥OS，∵四邊形ABCD是直角梯形，DC=，AB∥CD，∴四邊形OBCD是矩形，∴AB⊥OD，又OS∩OD=O，∴AB⊥平面SOD，∴AB⊥SD．解：（2）∵平面ABCD⊥平面SAB，AB⊥OS，平面ABCD∩平面ABE=AB，∴OS⊥平面ABCD，如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，6，0），B（0，﹣6，0），D（6，0，0），C（6，﹣6，0），S（0，0，6），=（﹣6，0，6），=（6，﹣6，0），設(shè)平面SAD的法向量=（x，y，z），則，取z=1，得，同理，得平面SBC的一個(gè)法向量=（0，﹣，1），則cosθ==．∴平面SAD與平面SBC所成銳二面角的余弦值為．19.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知2Sn=3n+3．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}，滿足anbn=log3an，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【分析】（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn﹣1=3n﹣1+3，兩式相減2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，從而可得{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）依題意，anbn=log3an，可得b1=，當(dāng)n＞1時(shí)，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=b1=；當(dāng)n＞1時(shí)，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用錯(cuò)位相減法可求得{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?Sn=3n+3，所以2a1=31+3=6，故a1=3，當(dāng)n＞1時(shí)，2Sn﹣1=3n﹣1+3，此時(shí)，2an=2Sn﹣2Sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2×3n﹣1，即an=3n﹣1，所以an=．（Ⅱ）因?yàn)閍nbn=log3an，所以b1=，當(dāng)n＞1時(shí)，bn=31﹣n?log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，所以T1=b1=；當(dāng)n＞1時(shí)，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），所以3Tn=1+（1×30+2×3﹣1+3×3﹣2+…+（n﹣1）×32﹣n），兩式相減得：2Tn=+（30+3﹣1+3﹣2+…+32﹣n﹣（n﹣1）×31﹣n）=+﹣（n﹣1）×31﹣n=﹣，所以Tn=﹣，經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時(shí)也適合，綜上可得Tn=﹣．20.（1）設(shè)a，b是兩個(gè)不相等的正數(shù)，若+=1，用綜合法證明：a+b＞4（2）已知a＞b＞c，且a+b+c=0，用分析法證明：＜．參考答案：【考點(diǎn)】綜合法與分析法(選修）．【分析】（1）利用綜合法進(jìn)行證明即可．（2）利用分析法進(jìn)行證明．【解答】解：（1）因?yàn)閍＞0，b＞0，且a≠b，所以a+b=（a+b）（）=1+1+＞2+2=4．所以a+b＞4

（2）因?yàn)閍＞b＞c，且a+b+c=0，所以a＞0，c＜0，要證明原不等式成立，只需證明＜a，即證b2﹣ac＜3a2，又b=﹣（a+c），從而只需證明（a+c）2﹣ac＜3a2，即證（a﹣c）（2a+c）＞0，因?yàn)閍﹣c＞0，2a+c=a+c+a=a﹣b＞0，所以（a﹣c）（2a+c）＞0成立，故原不等式成立．21.定義函數(shù)為的k階函數(shù).（1）求一階函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）討論方程的解的個(gè)數(shù)；（3）求證：.參考答案：（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）先由題意得到，對(duì)其求導(dǎo)，分別討論和兩種情況，即可求出其單調(diào)區(qū)間；（2）先由得到，令，用導(dǎo)數(shù)方法判斷其單調(diào)性，作出其大致圖像，結(jié)合圖像，分別討論，和三種情況，即可得出結(jié)果；（3）先令，用導(dǎo)數(shù)的方法求的最大值，得到，進(jìn)而可證明結(jié)論成立.【詳解】（1），，令得.當(dāng)時(shí)，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，的單增區(qū)間為，單減區(qū)間為.（2）由，得.令.則.由得，從而在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減..又，當(dāng)恒有，作出函數(shù)大致圖像如下：∴當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)，即時(shí)，方程有0個(gè)解，當(dāng)，或即或時(shí)，方程有唯一解.綜上，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同解.當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)解.當(dāng)或時(shí)，方程有唯一解.（3）特別地：當(dāng)時(shí)，由得.由得，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減..∴，即.又時(shí)，.∴.令，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性、方程的根，證明不等式等，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)單調(diào)性，最值等，屬于常考題型.22.已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率e=，焦距為2，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線y=x+m交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過O點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)橢圓的半