《導(dǎo)學(xué)案》2021版高中數(shù)學(xué)(人教A版-必修2)教師用書：2.2空間中直線與直線的位置關(guān)系-講義

第2課時(shí)空間中直線與直線的位置關(guān)系1.了解空間兩條直線的三種位置關(guān)系,理解異面直線的定義.2.把握平行公理,把握等角定理.3.把握兩條異面直線所成角的定義.重點(diǎn):如何推斷兩直線是異面直線,如何找出兩直線所成的角,平行公理的應(yīng)用.難點(diǎn):異面直線所成角的計(jì)算.如圖是一幅立交橋圖片,從圖片中我們可以看出,設(shè)計(jì)人員借助空間思想,讓各種車道在同一交匯點(diǎn)凹凸交叉,削減了車道交叉的情形,有效地緩解了車輛行駛的擁擠狀況.問題1:從立體幾何角度分析,立交橋運(yùn)用了空間中的兩條直線不共面原理,在空間中兩條直線可以按是否共面進(jìn)行分類,我們稱不共面的兩條直線為異面直線,共面的兩條直線又可以分為兩類,分別是平行直線和相交直線,異面直線和平行直線有一個(gè)相同特點(diǎn),即兩條直線平行或異面,則這兩條直線沒有公共點(diǎn),相交的兩條直線有一個(gè)公共點(diǎn).

問題2:在空間中,有些平面幾何的結(jié)論在立體幾何中也適用:(1)經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行;

(2)公理4:平行于同始終線的兩條直線相互平行;

(3)等角定理:空間中假如兩個(gè)角的兩條邊對應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

問題3:如何在空間中證明兩條直線平行?(1)利用定義.利用定義證明兩直線平行,要證兩點(diǎn):一是證明兩直線在同一平面內(nèi);二是證明兩直線沒有公共點(diǎn).

(2)利用公理4.用公理4證明兩直線平行,只需證一點(diǎn):就是要找到直線c,使得a∥c,同時(shí)b∥c,由公理4可得a∥b.問題4:如何推斷兩條直線是否異面?如何求兩條異面直線所成的角?依據(jù)異面直線的定義“不在任何一個(gè)平面內(nèi)”,指這兩條直線永不具備確定平面的條件,因此,異面直線既不相交,也不平行,要留意把握異面直線的不共面性,同時(shí)也不能把異面直線誤會為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.

(2)兩條異面直線所成角θ的范圍為(0°,90°].

(3)如圖,為了求異面直線a與b所成的角,原則上可以在空間中任取一點(diǎn)O,過點(diǎn)O分別作a、b的平行線a'與b',再通過解相應(yīng)的三角形求得a'、b'所成的角,即為所求角.但為了簡便,點(diǎn)O通常取在兩條異面直線中的一條上,特殊是這條直線上的特殊點(diǎn),如“端點(diǎn)”或“中點(diǎn)”等處.將兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面上的相交直線的夾角,實(shí)現(xiàn)了空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化,這是解決立體幾何問題的重要方法.

21世紀(jì)是信息的時(shí)代,電腦聯(lián)系了世界各地,輕輕一點(diǎn)鼠標(biāo),你就可以找到所需要的內(nèi)容,信息的溝通可謂便捷快速,精致的電腦何以有如此的魅力?你可知道它背后的網(wǎng)絡(luò)鏈接?信息的網(wǎng)絡(luò)真是星羅棋布,錯(cuò)綜簡潔.假如用線來形容就是下面的情形:有的從一點(diǎn)動身,“分道揚(yáng)鑣”;有的相互平行,“并肩而行”;有的凹凸不等,“走向不同”.那么在數(shù)學(xué)中它們有什么樣的位置關(guān)系?1.若直線a、b都和平面α平行,則直線a、b的位置關(guān)系是().A.相交B.平行C.異面 D.以上三者都有可能【解析】可以畫出直線a、b的三種位置關(guān)系的圖形.【答案】D2.給出下列結(jié)論:①直線l平行于平面α內(nèi)的很多條直線,則l∥α;②若直線a在平面α外,則a∥α;③若直線a∥b,b?α,則a∥α;④若直線a∥b,b?α,則直線a就平行于平面α內(nèi)的很多條直線.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為().A.1B.2C.3D.4【解析】①直線l還可能在平面α內(nèi),所以①錯(cuò)誤;②直線a還可能與平面α相交,所以②錯(cuò)誤;③直線a還可能在平面α內(nèi),所以③錯(cuò)誤;④平面α內(nèi),與直線b平行的直線都與直線a平行,所以④正確.【答案】A3.在空間四邊形ABCD中,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),且EF=5,又AD=6,BC=8,則AD與BC所成角的大小為.

【解析】取AC中點(diǎn)G,連接EG,FG,在△EFG中,EG∥BC,EG=BC=4,FG∥AD,FG=AD=3,又知EF=5,∴∠EGF=90°,∴AD與BC所成角為90°.【答案】90°4.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為AA1,CC1,C1D1,A1D1的中點(diǎn),推斷四邊形EFGH是什么外形.請說明理由【解析】四邊形EFGH是等腰梯形,理由如下:連接A1C1,在△D1A1C1中,由于G,H分別為C1D1,A1所以GH∥A1C1,GH=A1C在對角面AA1C1C中,E,F分別為AA1,CC所以EF∥A1C1,EF=A1C由公理4得GH∥EF,GH=EF,所以四邊形EFGH是梯形,易證△A1EH≌△C1FG,所以EH=FG,所以四邊形EFGH是等腰梯形.異面直線的推斷如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列幾組直線①直線A1B與直線D1C②直線A1B與直線B1C③直線D1D與直線D1C④直線AB與直線B1C其中是異面直線的為().A.①②B.①④C.②③D.②④【方法指導(dǎo)】當(dāng)依據(jù)定義直接推斷不好推斷時(shí),可結(jié)合圖形來推斷.【解析】①中,易推斷四邊形A1BCD1是平行四邊形,故A1B∥D1C;③中,D1D∩D1C=D1;②中,由圖可知,點(diǎn)A1、B、B1在一個(gè)平面A1BB1中,而C不在平面A1BB1內(nèi),故A1B與B1C異面;同理,直線AB與直線B1C也異面【答案】D【小結(jié)】推斷或證明兩直線為異面直線的方法有:(1)定義法:本方法不易操作,所以一般不用.(2)反證法:可先假設(shè)兩條直線不是異面直線,即兩直線平行或相交,然后以該假設(shè)為條件,進(jìn)行推理,導(dǎo)出沖突,從而可否定假設(shè),即確定兩直線異面.此法在異面直線的判定中經(jīng)常使用.(3)在客觀題中,也可用以下結(jié)論:過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線,如下圖:異面直線所成的角在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線BD與B1C【方法指導(dǎo)】先將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)兩直線(或線段)所成的角,再在相關(guān)三角形中求解.【解析】如圖,連接A1D,A1B,則△A1BD是等邊三角形,∠A1DB=60°,故BD與B1C所成角是60°【小結(jié)】求異面直線所成的角要通過作平行線把空間角轉(zhuǎn)化為平面角,作平行線時(shí),往往過一條線上的一點(diǎn)(特殊是端點(diǎn))作另一條線的平行線.平行公理的應(yīng)用如圖,A1、B1、C1、D1分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上的點(diǎn),且===.求證:四邊形A1B1C1D1為平行四邊形【方法指導(dǎo)】本題的實(shí)質(zhì)是證明線線平行,而證明的依據(jù)就是利用平面幾何中的平行線分線段成比例定理及空間的平行公理來證明線線平行.要證明四邊形是平行四邊形,主要有兩種思路:一是證明兩組對邊分別平行;二是證明一組對邊平行且相等.【解析】在△ABC中,∵=,∴A1B1∥AC.同理C1D1∥AC,由平行公理可知A1B1∥C1D1,∴四邊形A1B1C1D1是平面圖形同理可證A1D1∥B1C1∴四邊形A1B1C1D1為平行四邊形【小結(jié)】用平面幾何中的學(xué)問解決空間問題是立體幾何中常用的方法,在平常的學(xué)習(xí)中要留意運(yùn)用和體會.如圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中,與棱AB所在直線異面的棱共有幾條【解析】長方體共有12條棱,與棱AB所在直線平行的棱有3條,與棱AB有公共點(diǎn)的棱有4條,這7條棱所在直線與AB所在直線共面,其余4條棱與AB所在直線異面,它們是A1D1,B1C1,D1D,C1在正方體ABCD—A1B1C1D1中,點(diǎn)E為平面BCC1B1的對角線的交點(diǎn),點(diǎn)F為DD1的中點(diǎn),那么EF與AD1所成角的余弦值是多少【解析】如圖,∵BC1∥AD1,∴∠C1EF即是EF與AD1所成的角.設(shè)正方體棱長為2,可得EC1=,EF=,FC1=,于是,cos∠C1EF===,即EF與AD1所成角的余弦值是.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為CD、AD的中點(diǎn).求證:四邊形MNA1C1【解析】連接AC,∵M(jìn)、N分別為CD、AD的中點(diǎn),∴MN∥AC,且MN=AC.又∵AA1∥CC1,AA1=CC1,∴四邊形AA1C1∴AC∥A1C1,AC=A1C∴MN∥A1C1,且MN=A1C∴四邊形MNA1C1是梯形1.已知a,b是異面直線,且直線c∥a,那么直線c與直線b().A.確定是異面直線B.確定是相交直線C.不行能是相交直線D.不行能是平行直線【解析】假設(shè)c∥b,又c∥a,所以a∥b,與a,b是異面直線沖突,所以c與b不行能平行.【答案】D2.已知空間四邊形ABCD,E,H分別是AB,AD的中點(diǎn),F,G分別是CB,CD上的點(diǎn),且==.則四邊形EFGH的外形是().A.空間四邊形B.平行四邊形C.矩形 D.梯形【解析】在△ABD中可得EH∥BD,EH=BD,在△CBD中可得FG∥BD,FG=BD,所以EH,FG平行且不相等,所以四邊形EFGH是梯形.【答案】D3.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分別是AB、AC上的點(diǎn),且AE∶EB=AF∶FC=1∶2,則EF與B1C1的位置關(guān)系是【解析】∵在△ABC中,AE∶EB=AF∶FC,∴EF∥BC.又∵BC∥B1C1∴EF∥B1C1【答案】平行4.在三棱錐S-ABC中,△SBC為等邊三角形,D、E分別是棱AC、AB上的點(diǎn),且=,求異面直線DE與SB所成的角.【解析】∵=,∴DE∥BC,于是DE與SB所成的角為BC與SB所成的角,即為∠SBC