【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第8章-第5節(jié)-空間中的垂直關(guān)系

第八章第五節(jié)一、選擇題1．(文)對于直線m、l和平面α、β，α⊥β的一個充分條件是()A．m⊥l，m∥α，l∥β B．m⊥l，α∩β＝m，lαC．m∥l，m⊥α，l⊥β D．m∥l，l⊥β，mα[答案]D[解析]本題考查空間線面位置關(guān)系的判定．A：與兩相互垂直直線平行的平面的位置關(guān)系不能確定；B：平面內(nèi)的一條直線與另一個平面的交線垂直，這兩個平面的位置關(guān)系也不能確定；C：這兩個平面也有可能重合可能平行；故選D．(理)平面α垂直于平面β(α、β為不重合的平面)成立的一個充分條件是()A．存在一條直線l，l⊥α，l⊥βB．存在一個平面γ，γ∥α，γ∥βC．存在一個平面γ，γ⊥α，γ⊥βD．存在一條直線l，l⊥α，l∥β[分析]本題主要考查立體幾何及簡易規(guī)律的有關(guān)學(xué)問．由充分條件的含義可知本題就是要從四個選項中尋求使平面α⊥平面β成立的一個條件．[答案]D[解析]對于選項A，l⊥α，l⊥β?α∥β；對于選項B，γ∥α，γ∥β?α∥β；對于選項C，當(dāng)γ⊥α，γ⊥β成立時，平面α，β的關(guān)系是不確定的；對于選項D，當(dāng)l⊥α，l∥β成立時，說明在β內(nèi)必存在一條直線m，滿足m⊥α，從而有α⊥β成立．2．(2022·遼寧高考)已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說法正確的是()A．若m∥α，n∥α，則m∥nB．若m⊥α，nα，則m⊥nC．若m⊥α，m⊥n，則n∥αD．若m∥α，m⊥n，則n⊥α[答案]B[解析]本題考查空間中平行關(guān)系與垂直關(guān)系．對于A，m∥α，n∥α，則m，n的關(guān)系是平行，相交，異面，故A不正確．對于B．由直線與平面垂直的定義知正確．3．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l[答案]D[解析]解法1：平移直線m使之與n相交于O，這兩條直線確定的平面為γ，∵m⊥平面α，n⊥平面β，則平面α與平面β相交．設(shè)交線為a，則a⊥γ，又l⊥m，l⊥n，則l⊥γ，∴l(xiāng)∥A．解法2：若α∥β，∵m⊥α，n⊥β，∴m∥n，這與m、n異面沖突，故α與β相交，設(shè)α∩β＝a，則a⊥m，a⊥n，在m上取點(diǎn)O，過O作n′∥n，設(shè)m與n′確定的平面為γ，∵a⊥m，a⊥n′，∴a⊥γ，∵l⊥n，∴l(xiāng)⊥n′，又l⊥m，∴l(xiāng)⊥γ，∴a∥l.4．PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則下列垂直關(guān)系正確的是()①平面PAB⊥平面PBC②平面PAB⊥平面PAD③平面PAB⊥平面PCD④平面PAB⊥平面PACA．①② B．①③C．②③ D．②④[答案]A[解析]易證BC⊥平面PAB，則平面PAB⊥平面PBC．又AD∥BC，故AD⊥平面PAB，則平面PAD⊥平面PAB，因此選A．5．如圖，在正四周體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個結(jié)論不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC[答案]D[解析]因BC∥DF，所以BC∥平面PDF，A成立；易證BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以結(jié)論B、C均成立；點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，不在中位線DE上，故結(jié)論D不成立．6．下列命題中錯誤的是()A．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)確定存在直線平行于平面βB．假如平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)確定不存在直線垂直于平面βC．假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．假如平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)全部直線都垂直于平面β[答案]D[解析]本題主要考查空間中的線面、面面關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問．對于A、α內(nèi)存在直線平行于α與β的交線，故α內(nèi)必存在直線平行于β，正確；對于B，由于α不垂直于β，α內(nèi)確定不存在直線垂直于β，否則α⊥β，正確；對于C，由平面與平面垂直的性質(zhì)知正確，故D不正確，選D．二、填空題7．如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________；與AP垂直的直線有________．[答案]AB，BC，ACAB[解析]∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PC．與AP垂直的直線是AB．8．(2021·青島模擬)如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD．(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)[答案]DM⊥PC(或BM⊥PC)[解析]由定理知，BD⊥PC．∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．9．(文)已知m，n是兩條不同的直線，α，β為兩個不同的平面，下列四個命題：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β；④若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n.其中正確的命題是________(填上全部正確命題的序號)．[答案]①④[解析]②若m∥α，n∥β，m⊥n，則α∥β或α，β相交，所以②錯誤．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，則α∥β或α，β相交，所以③錯誤．故填①④.(理)在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上一個動點(diǎn)，則PM的最小值為________．[答案]2eq\r(7)[解析]如圖，∵PC⊥平面ABC，MC平面ABC，∴PC⊥MC．故PM＝eq\r(PC2＋MC2)＝eq\r(MC2＋16).又∵M(jìn)C的最小值為eq\f(4×4\r(3),8)＝2eq\r(3)，∴PM的最小值為2eq\r(7).三、解答題10．(2022·山東高考)如圖，四棱錐P－ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：BE⊥平面PAC．[解析]解題思路：(1)問依據(jù)線面平行的判定定理在面BEF找直線與AP平行，充分利用中點(diǎn)的條件．(2)證BF⊥AC，BE⊥AP即可．(1)證明：如圖所示，連接AC交BE于點(diǎn)O，連接OF.∵E為AD中點(diǎn)，BC＝eq\f(1,2)AD，AD∥BC，∴四邊形ABCE為平行四邊形．∴O為AC的中點(diǎn)，又F為PC中點(diǎn)∴OF∥AP.又OF平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)由(1)知四邊形ABCE為平行四邊形．又∵AB＝BC，∴四邊形ABCE為菱形．∴BE⊥AC．由題意知BC綊eq\f(1,2)AD綊ED∴四邊形BCDE為平行四邊形∴BE∥CD．又∵AP⊥平面PCD，∴AP⊥CD．∴AP⊥BE.又∵AP∩AC＝A，∴BE⊥平面PAC．一、選擇題1．如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ABC所在平面，那么()A．PA＝PB>PCB．PA＝PB<PCC．PA＝PB＝PCD．PA≠PB≠PC[答案]C[解析]∵M(jìn)為AB的中點(diǎn)，△ACB為直角三角形，∴BM＝AM＝CM，又PM⊥平面ABC，∴Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC，故PA＝PB＝PC．2．(2022·廣東高考)若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論確定正確的是()A．l1⊥l4B．l1∥l4C．l1與l4既不垂直也不平行D．l1與l4的位置關(guān)系不確定[答案]D[解析]如圖，正方體中l(wèi)1與l4異面．選D．二、填空題3．對于四周體ABCD，給出下列四個命題：①若AB＝AC，BD＝CD，則BC⊥AD；②若AB＝CD，AC＝BD，則BC⊥AD；③若AB⊥AC，BD⊥CD，則BC⊥AD；④若AB⊥CD，AC⊥BD，則BC⊥AD．其中真命題的序號是________．(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上)[答案]①④[解析]本題考查四周體的性質(zhì)，取BC的中點(diǎn)E，則BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面ADE，∴BC⊥AD，故①正確．設(shè)O為A在面BCD上的射影，依題意OB⊥CD，OC⊥BD，∴O為垂心，∴OD⊥BC，∴BC⊥AD，故④正確，②③易排解，故答案為①④.4．假設(shè)平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分別為B，D，假如增加一個條件，就能推出BD⊥EF，現(xiàn)有下面四個條件：①AC⊥α；②AC∥α；③AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF.其中能成為增加條件的是________．(把你認(rèn)為正確的條件序號都填上)[答案]①③[解析]假如AB與CD在一個平面內(nèi)，可以推出EF垂直于該平面，又BD在該平面內(nèi)，所以BD⊥EF.故要得到BD⊥EF，只需AB、CD在一個平面內(nèi)即可，只有①③能保證這一條件．三、解答題5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、SC和DC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段FG上(1)求證：平面EFG∥平面SDB；(2)求證：PE⊥AC．[解析](1)∵E、F、G分別為BC、SC、CD的中點(diǎn)，∴EF∥SB，EG∥BD．∵EF?平面SBD，EG?平面SBD，∴EF∥平面SBD，EG∥平面SBD．∵EG∩EF＝E，∴平面EFG∥平面SDB．(2)∵B1B⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B．又∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∴AC⊥平面B1BDD1，即AC⊥平面SBD．又平面EFG∥平面SBD，∴AC⊥平面EFG.∵PE平面EFG，∴PE⊥AC．6．(2022·江西高考)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1(1)求證：A1C⊥CC1(2)若AB＝2，AC＝eq\r(3)，BC＝eq\r(7)，問AA1為何值時，三棱柱ABC－A1B1C1體積最大，并求此最大值．[解析](1)證明：在三棱柱ABC－A1B1C1AA1⊥BC，∴BB1⊥BC．又∵BB1⊥A1B，BC∩A1B＝B，∴BB1⊥平面BCA1.∵A1C平面BCA，∴BB1⊥A1C．∵BB1∥CC1，∴A1C⊥(2)設(shè)AA1＝x，∵AB＝2，AC＝eq\r(3)，在Rt△A1BB1中，A1B＝eq\r(A1B\o\al(2,1)－BB\o\al(2,1))＝eq\r(4－x2).同理在Rt△AC1CA1C＝eq\r(A1C\o\al(2,1)－CC\o\al(2,1))＝eq\r(3－x2)，在△A1BC中，cos∠BA1C＝eq\f(A1B2＋A1C2－BC2,2A1B·A1C)＝－eq\f(x2,\r(4－x23－x2)).∴sin∠BA1C＝eq\r(\f(12－7x2,4－x23－x2))，∴S△A1BC＝eq\f(1,2)A1