新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題09間接法模型含答案及解析

專題9間接法模型例1．為抗擊新冠病毒，某部門(mén)安排甲、乙、丙、丁、戊五名專家到三地指導(dǎo)防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名專家，其中甲、乙兩名專家必須安排在同一地工作，丙、丁兩名專家不能安排在同一地工作，則不同的分配方法總數(shù)為（）A．18 B．24 C．30 D．36例2．某校從8名教師中選派4名同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1名教師），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案有（）A．900種 B．600種 C．300種 D．150種例3．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．例4．某校高一開(kāi)設(shè)4門(mén)選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門(mén)，恰有2門(mén)課程沒(méi)有同學(xué)選修，則不同的選課方案有（）A．96種 B．84種 C．78種 D．16種例5．從5名男生和5名女生中選3人組隊(duì)參加某集體項(xiàng)目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)為A．100 B．110 C．120 D．180例6．某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（）A．474種 B．77種 C．462種 D．79種例7．從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派三人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)不同工作，若其中乙和丙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這三項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有()A．36種 B．12種 C．18種 D．24種例8．某教育局公開(kāi)招聘了4名數(shù)學(xué)老師，其中2名是剛畢業(yè)的“新教師”，另2名是有了一段教學(xué)時(shí)間的“老教師”，現(xiàn)隨機(jī)分配到A、B兩個(gè)學(xué)校任教，每個(gè)學(xué)校2名，其中分配給學(xué)校A恰有1名“新教師”和1名“老教師”的概率是（）A． B． C． D．例9．某校教師迎春晚會(huì)由個(gè)節(jié)目組成，為考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求，節(jié)目甲不排在第一位和最后一位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校迎春晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種例10．某公園新購(gòu)進(jìn)盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A． B． C． D．例11．2019年4月23日中國(guó)人民海軍建軍70周年.為展現(xiàn)人民海軍70年來(lái)的輝煌歷程和取得的巨大成就，我國(guó)在山東青島及附近?？张e行盛大的閱兵儀式.我國(guó)第一艘航空母艦“遼寧艦”作戰(zhàn)群將參加軍演，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法種數(shù)為（）A．1296 B．648 C．324 D．72例12．現(xiàn)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)設(shè)有“閱讀文章”、“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目.在某時(shí)段時(shí)，更新了2篇文章和4個(gè)視頻，一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備學(xué)習(xí)這2篇文章和其中2個(gè)視頻，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有（）種.A．24 B．36 C．72 D．144例13．在報(bào)名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為（）A． B． C． D．例14．某部門(mén)在一周的7天內(nèi)給3名實(shí)習(xí)生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名實(shí)習(xí)生，且這3名實(shí)習(xí)生不能安排在連續(xù)的3天，則不同的安排方案的種數(shù)為（）．A．30 B．120 C．180 D．210例15．我省某醫(yī)院呼吸科要從2名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生中選派3人支持湖北省參加疫情防控工作，若這3人中至少有1名男醫(yī)生，則選派方案有（）A．60種 B．12種 C．10種 D．9種例16．有13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療小組前往湖北疫區(qū)，若醫(yī)療小組至少有2名男醫(yī)生，同時(shí)至多有3名女醫(yī)生，設(shè)不同的選派方法種數(shù)為，則下列等式能成為的算式是（）.A．； B．；C．； D．；例17．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則()A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種例18．新型冠狀病毒疫情期間，位黨員需要被安排到個(gè)不同的路口執(zhí)勤，每個(gè)路口至少安排一人，其中黨員甲和乙不能被安排到同一個(gè)路口，那么總共有_______種不同安排方法．（用數(shù)字作答）例19．某單位擬安排6位員工在今年6月14號(hào)至16號(hào)（某節(jié)假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值16號(hào)，乙不值14號(hào)，則不同的安排方法共有____________種.例20．從數(shù)字0，1，2，3，4，5，6中任取3個(gè)，這3個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)時(shí)的不同取法共有______種（用數(shù)字作答）.例21．中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，是以十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）形象化代表人的出生年份，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位屬相不同的小朋友依次每人選一個(gè)，則三位小朋友都不選和自己屬相相同的吉祥物的選法有________種．例22．從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，可作___________個(gè)不同的平面，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中選4個(gè)點(diǎn)作一個(gè)四面體，可作___________個(gè)四面體.例23．由數(shù)字1，2，3，4，5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).（1）共可以組成多少個(gè)五位數(shù)？（2）其中奇數(shù)有多少個(gè)？（3）如果將所有的五位數(shù)按從小到大的順序排列，43125是第幾個(gè)數(shù)？說(shuō)明理由.

專題9間接法模型例1．為抗擊新冠病毒，某部門(mén)安排甲、乙、丙、丁、戊五名專家到三地指導(dǎo)防疫工作.因工作需要，每地至少需安排一名專家，其中甲、乙兩名專家必須安排在同一地工作，丙、丁兩名專家不能安排在同一地工作，則不同的分配方法總數(shù)為（）A．18 B．24 C．30 D．36【解析】因?yàn)榧住⒁覂擅麑＜冶仨毎才旁谕坏毓ぷ鳎藭r(shí)甲、乙兩名專家看成一個(gè)整體即相當(dāng)于一個(gè)人，所以相當(dāng)于只有四名專家，先計(jì)算四名專家中有兩名在同一地工作的排列數(shù)，即從四個(gè)中選二個(gè)和其余二個(gè)看成三個(gè)元素的全排列共有：種；又因?yàn)楸?、丁兩名專家不能安排在同一地工作，所以再去掉丙、丁兩名專家在同一地工作的排列?shù)有種，所以不同的分配方法種數(shù)有：故選：C例2．某校從8名教師中選派4名同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1名教師），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，則不同的選派方案有（）A．900種 B．600種 C．300種 D．150種【解析】第一類，甲去，則丙一定去，乙一定不去，再?gòu)氖Ｓ嗟?名教師中選2名，有（種）不同選法，第二類，甲不去，則丙一定不去，乙可能去也可能不去，從6名教師中選4名，有（種）不同選法，所以不同的選派方案共有(10+15)（種）.故選B.例3．某市政府決定派遣名干部（男女）分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少人，且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有（）種A． B． C． D．【解析】?jī)山M至少都是人，則分組中兩組的人數(shù)分別為、或、，

又因?yàn)槊刹坎荒軉为?dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為.故選：C.例4．某校高一開(kāi)設(shè)4門(mén)選修課，有4名同學(xué)選修，每人只選1門(mén)，恰有2門(mén)課程沒(méi)有同學(xué)選修，則不同的選課方案有（）A．96種 B．84種 C．78種 D．16種【解析】先確定選的兩門(mén):,再確定學(xué)生選:,所以不同的選課方案有選B.例5．從5名男生和5名女生中選3人組隊(duì)參加某集體項(xiàng)目的比賽，其中至少有一名女生入選的組隊(duì)方案數(shù)為A．100 B．110 C．120 D．180【解析】試題分析：10人中任選3人的組隊(duì)方案有，沒(méi)有女生的方案有，所以符合要求的組隊(duì)方案數(shù)為110種例6．某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班上1節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)，下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5節(jié)和第6節(jié)不算連上），那么這位教師一天的課表的所有不同排法有（）A．474種 B．77種 C．462種 D．79種【解析】試題分析：根據(jù)題意，由于某教師一天上3個(gè)班級(jí)的課，每班一節(jié)，如果一天共9節(jié)課，上午5節(jié)、下午4節(jié)，并且教師不能連上3節(jié)課（第5和第6節(jié)不算連上），所有的上課方法有，那么連著上3節(jié)課的情況有5種，則利用間接法可知所求的方法有-5=474，故答案為A.例7．從甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者中選派三人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)不同工作，若其中乙和丙只能從事前兩項(xiàng)工作，其余三人均能從事這三項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有()A．36種 B．12種 C．18種 D．24種【解析】利用分類加法原理，對(duì)所選的3人中分三種情況：乙和丙有2人，對(duì)兩個(gè)人進(jìn)行排列，第三項(xiàng)工作再?gòu)某讼碌?人中選1人，即；乙和丙有1人，則有2種情況，這個(gè)人可以從兩項(xiàng)工作中任取一項(xiàng)有2種情況，則乘下的兩項(xiàng)工作由3個(gè)人來(lái)排列，即；乙和丙都沒(méi)有，三項(xiàng)工作就由其他3個(gè)人來(lái)進(jìn)行排列，即；∴.故選：A例8．某教育局公開(kāi)招聘了4名數(shù)學(xué)老師，其中2名是剛畢業(yè)的“新教師”，另2名是有了一段教學(xué)時(shí)間的“老教師”，現(xiàn)隨機(jī)分配到A、B兩個(gè)學(xué)校任教，每個(gè)學(xué)校2名，其中分配給學(xué)校A恰有1名“新教師”和1名“老教師”的概率是（）A． B． C． D．【解析】分配給學(xué)校A兩個(gè)“新教師”與兩個(gè)“老教師”的概率之和為.故分配給學(xué)校A恰有1名“新教師”和1名“老教師”的概率是.故選：D例9．某校教師迎春晚會(huì)由個(gè)節(jié)目組成，為考慮整體效果，對(duì)節(jié)目演出順序有如下要求，節(jié)目甲不排在第一位和最后一位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校迎春晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種【解析】利用間接法求解，先考慮將丙、丁排在一起，將這兩個(gè)節(jié)目進(jìn)行捆綁，形成一個(gè)大元素，共有種.若甲排在第一位和最后一位，且丙、丁排在一起，將這兩個(gè)節(jié)目進(jìn)行捆綁，形成一個(gè)大元素，此時(shí)，排法種數(shù)為.綜上所述，符合條件的排法種數(shù)為（種）.故選：C.例10．某公園新購(gòu)進(jìn)盆錦紫蘇、盆虞美人、盆郁金香，盆盆栽，現(xiàn)將這盆盆栽擺成一排，要求郁金香不在兩邊，任兩盆錦紫蘇不相鄰的擺法共（）種A． B． C． D．【解析】使用插空法，先排盆虞美人、盆郁金香有種，然后將盆錦紫蘇放入到4個(gè)位置中有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理有，扣除郁金香在兩邊，排盆虞美人、盆郁金香有種，再將盆錦紫蘇放入到3個(gè)位置中有，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理有，所以共有種.故選:B.例11．2019年4月23日中國(guó)人民海軍建軍70周年.為展現(xiàn)人民海軍70年來(lái)的輝煌歷程和取得的巨大成就，我國(guó)在山東青島及附近?？张e行盛大的閱兵儀式.我國(guó)第一艘航空母艦“遼寧艦”作戰(zhàn)群將參加軍演，要求2艘攻擊型核潛艇一前一后，3艘驅(qū)逐艦和3艘護(hù)衛(wèi)艦分列左右，每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，則艦艇分配方案的方法種數(shù)為（）A．1296 B．648 C．324 D．72【解析】由題意可得：2艘攻擊型核潛艇一前一后，有種方法排列，6艘艦艇的任意排列，有種方法排列，6艘艦艇每側(cè)3艘且同側(cè)是同種艦艇，有種方法排列，6艘艦艇每側(cè)3艘，同側(cè)不能都是同種艦艇，有種方法排列，艦艇分配方案的方法種數(shù)有：故選：A例12．現(xiàn)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”平臺(tái)設(shè)有“閱讀文章”、“視聽(tīng)學(xué)習(xí)”等多個(gè)欄目.在某時(shí)段時(shí)，更新了2篇文章和4個(gè)視頻，一位學(xué)習(xí)者準(zhǔn)備學(xué)習(xí)這2篇文章和其中2個(gè)視頻，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有（）種.A．24 B．36 C．72 D．144【解析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①，在4個(gè)視頻中任選2個(gè)進(jìn)行學(xué)習(xí)，有種情況，②，將選出的2個(gè)視頻與2篇文章依次進(jìn)行學(xué)習(xí)，共有種情況，其中2篇文章學(xué)習(xí)順序相鄰的情況有種情況，故2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的情況有12種，則這2篇文章學(xué)習(xí)順序不相鄰的學(xué)法有種；故選：C例13．在報(bào)名的名男教師和名女教師中，選取人參加義務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為（）A． B． C． D．【解析】試題分析：由題可從反面處理，即從選法中減去全是女生的選法，則可得有；種選法．例14．某部門(mén)在一周的7天內(nèi)給3名實(shí)習(xí)生每人安排1天的工作，若每天最多安排一名實(shí)習(xí)生，且這3名實(shí)習(xí)生不能安排在連續(xù)的3天，則不同的安排方案的種數(shù)為（）．A．30 B．120 C．180 D．210【解析】由題意，將3名實(shí)習(xí)生隨機(jī)安排在一周的7天內(nèi)，共有種安排方案，將3名實(shí)習(xí)生安排在連續(xù)的3天的安排方案有種，所以滿足題意的不同安排方案有（種）．故選：C．例15．我省某醫(yī)院呼吸科要從2名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生中選派3人支持湖北省參加疫情防控工作，若這3人中至少有1名男醫(yī)生，則選派方案有（）A．60種 B．12種 C．10種 D．9種【解析】根據(jù)題意，有2名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，共5名醫(yī)生中選派3人，有種選法，其中沒(méi)有男醫(yī)生，即全部為女醫(yī)生的選法有種，則有種不同的選法；故選：D．例16．有13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，現(xiàn)從中抽調(diào)5名醫(yī)生組成醫(yī)療小組前往湖北疫區(qū)，若醫(yī)療小組至少有2名男醫(yī)生，同時(shí)至多有3名女醫(yī)生，設(shè)不同的選派方法種數(shù)為，則下列等式能成為的算式是（）.A．； B．；C．； D．；【解析】解：13名醫(yī)生，其中女醫(yī)生6人，男醫(yī)生7人．利用直接法，2男3女：；3男2女：；4男1女：；5男：，所以；利用間接法：13名醫(yī)生，任取5人，減去4、5名女醫(yī)生的情況，即；所以能成為的算式是BC．故選：BC．例17．在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件不合格品，從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件，則()A．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有種B．抽出的3件中恰好有1件是不合格品的抽法有種C．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種D．抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有種【解析】由題意知，抽出的三件產(chǎn)品恰好有一件不合格品,則包括一件不合格品和兩件合格品,共有種結(jié)果，則選項(xiàng)A正確，B不正確；根據(jù)題意,"至少有1件不合格品"可分為"有1件不合格品"與"有2件不合格品"兩種情況,"有1件不合格品"的抽取方法有種,"有2不合格次品"的抽取方法有種,則共有種不同的抽取方法,選項(xiàng)C正確；"至少有1件不合格品"的對(duì)立事件是"三件都是合格品"，"三件都是合格品"的抽取方法有種,抽出的3件中至少有1件是不合格品的抽法有，選項(xiàng)D正確；故選：ACD.例18．新型冠狀病毒疫情期間，位黨員需要被安排到個(gè)不同的路口執(zhí)勤，每個(gè)路口至少安排一人，其中黨員甲和乙不能被安排到同一個(gè)路口，那么總共有_______種不同安排方法．（用數(shù)字作答）【解析】先考慮沒(méi)有限制條件下的排法種數(shù)，將人分為三組，三組的人數(shù)分別為、、或、、，此時(shí)，所有的排法種數(shù)為.其次考慮甲、乙兩人安排在同一路口時(shí)的排法種數(shù)，此時(shí)有種排法.綜上所述，共有種.故答案為：.例19．某單位擬安排6位員工在今年6月14號(hào)至16號(hào)（某節(jié)假期）值班，每天安排2人，每人值班1天.若6位員工中的甲不值16號(hào)，乙不值14號(hào)，則不同的安排方法共有____________種.【解析】解：根據(jù)題意，不同的安排方法的數(shù)目為：所有排法減去甲值16號(hào)或乙值14號(hào)的排法數(shù)，再加上甲值16號(hào)且乙值14號(hào)的排法，即，故答案為：42．例20．從數(shù)字0，1，2，3，4，5，6中任取3個(gè)，這3個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)時(shí)的不同取法共有______種（用數(shù)字作答）.【解析】從數(shù)字0，1，2，3，4，5，6中任取3個(gè)，共有，乘積為奇數(shù)只有一種情況故這3個(gè)數(shù)的乘積為偶數(shù)時(shí)的不同取法共有種.故答案為：例21．中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，是以十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）形象化代表人的出生年份，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，三位屬相不同的小朋友依次每人選一個(gè)，則三位小朋友都不選和自己屬相相同的吉祥物的選法有________種．【解析】解：三位小朋友選擇的總情況共有（種）．①三人都選與自己屬相相同的吉祥物，有1種選法；②