反函數(shù)與復合函數(shù)

反函數(shù)與復合函數(shù)一、反函數(shù)在函數(shù)定義中，規(guī)定了對于每一個x，都有唯一的y與之對應，這樣定義的函數(shù)又稱為單值函數(shù)；如果有兩個或更多的數(shù)值y與之對應，就稱y是x的多值函數(shù).本書主要討論單值函數(shù).

在函數(shù)中，自變量與因變量的地位是相對的，任意一個變量都可根據(jù)需要作為自變量.例如，在函數(shù)y=x＋5中，x是自變量，y是因變量，根據(jù)這個式子，可以解出x=y-5，這里y是自變量，x是因變量.上面兩個式子反映了同一個過程中兩個變量之間地位的相對性，稱它們互為反函數(shù).

下面給出反函數(shù)的具體定義：一、反函數(shù)定義6設函數(shù)y=f(x)，其定義域為D，值域為M，如果對于任意y∈M，由函數(shù)關系式y(tǒng)=f(x)恰好唯一確定出一個x∈D與之對應，那么認為x是y的函數(shù)，記作x=g(y)，我們稱上述的y=f(x)與x=g(y)互為反函數(shù)，習慣上將x=g(y)記作x=f-1(y).

習慣上常用x表示自變量，y表示因變量，故常把y=f(x)的反函數(shù)寫作y=f-1(x).

由反函數(shù)的定義知，在定義區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)必有反函數(shù).

一、反函數(shù)【例24】一、反函數(shù)【例25】函數(shù)y=x3和函數(shù)y=x13的圖形如圖1-19所示.

一般地，要求y=f(x)的反函數(shù)，只需先從y=f(x)中解出x的表達式，當該表達式也是一個函數(shù)時，再將其中的字母x，y進行交換即可.圖1-19一、反函數(shù)【例26】一、反函數(shù)定理設函數(shù)f(x)的定義域為D，值域為W.若f(x)在D上是單調(diào)增加或單調(diào)減少的，則在W上f(x)的反函數(shù)f-1(x)存在，且f-1(x)在W上也是單調(diào)增加或單調(diào)減少的.

值得注意的是，由于對于y的某些值，滿足y=f(x)的x有時不止一個，所以并非任何函數(shù)在其定義域內(nèi)都存在反函數(shù).但是，當我們對x的取值范圍加以限制時，也有可能存在反函數(shù).例如，函數(shù)y=x2在(-∞，＋∞)內(nèi)不存在反函數(shù)，但在(-∞，0)及［0，＋∞)內(nèi)卻分別存在反函數(shù)y=-x，0<x<＋∞及y=x，0≤x<＋∞.

對于分段函數(shù)求其反函數(shù)，只需分別求出與各子定義域相對應的函數(shù)表達式的反函數(shù)及其自變量的取值范圍即可.二、復合函數(shù)在很多實際問題中，兩個變量的聯(lián)系有時不是直接的.例如，在函數(shù)y=tan3x中，這個函數(shù)值不是由自變量x來確定的，而是通過3x來確定的.如果用u表示3x，那么函數(shù)y=tan3x就可表示成y=tanu，u=3x.這說明了y與x的函數(shù)關系是通過變量u來確定的.

具有上述關系的函數(shù)，可以給出下面的定義：二、復合函數(shù)定義7如果y是u的函數(shù)y=f(u)，u又是x的函數(shù)u=φ(x)，就稱y是x的復合函數(shù)，記作y=f［φ(x)］，其中，u稱為中間變量.

函數(shù)的復合中要注意的是，函數(shù)u=φ(x)的值域應該在函數(shù)y=f(u)的定義域內(nèi)，這樣函數(shù)才能復合，否則復合就沒有意義.二、復合函數(shù)y=ecosx是由y=eu和u=cos

x復合而成的，y=(1＋lgx)3是由y=u3和u=1＋lgx復合而成的，但函數(shù)y=arcsinu和u=3＋x2不能構(gòu)成復合函數(shù)，因為對于任意的x，u=3＋x2的值不在函數(shù)y=arcsin

u的定義域［-1，1］內(nèi)，從而復合出的函數(shù)y=arcsin(3＋x2)是沒有意義的.函數(shù)的復合也可以是多個函數(shù)的情形.例如，y=lg

u，u=v2，v=x＋1，則復合函數(shù)是y=lg(x＋1)2，其中u，v是中間變量.利用復合函數(shù)的概念，可以把一個較復雜的函數(shù)分解成若干個簡單函數(shù).下面舉例分析復合函數(shù)的復合過程，正確熟練地掌握這個方法，將會給以后的學習帶來很多方便.