【復(fù)習(xí)參考】2021年高考數(shù)學(xué)(理)提升演練：幾何概型

2021屆高三數(shù)學(xué)（理）提升演練：幾何概型一、選擇題1．已知三棱錐S-ABC，在三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP－ABC<eq\f(1,2)VS-ABC的概率是()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)2．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)3．平面上畫了一些彼此相距2a的平行線，把一枚半徑r<aA.eq\f(a－r,a) B.eq\f(a－r,2a)C.eq\f(2a－r,2a) D.eq\f(a＋r,2a)4．已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＋＋2＝0，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在△PBC內(nèi)，則黃豆落在△PBC內(nèi)的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,2)5．在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)，則這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和大于eq\f(1,3)的概率為()A.eq\f(17,18) B.eq\f(7,9)C.eq\f(2,9) D.eq\f(1,18)6．在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,8) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)二、填空題7．在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離至少有一個(gè)小于1的概率是________．8．若m∈(0,3)，則直線(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0與x軸、y軸圍成的三角形的面積小于eq\f(9,8)的概率為_(kāi)_______．9．若不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≤x,y≥－x,2x－y－3≤0))表示的平面區(qū)域?yàn)镸，x2＋y2≤1所表示的平面區(qū)域?yàn)镹，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域M內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為_(kāi)_______．三、解答題10．圖(2)中實(shí)線圍成的部分是長(zhǎng)方體(圖(1))的平面開(kāi)放圖，其中四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形．若向虛線圍成的矩形內(nèi)任意拋擲一質(zhì)點(diǎn)，它落在長(zhǎng)方體的平面開(kāi)放圖內(nèi)的概率是eq\f(1,4)，求此長(zhǎng)方體的體積．11．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋ax－b.(1)若a，b都是從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述函數(shù)有零點(diǎn)的概率；(2)若a，b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個(gè)數(shù)，求f(1)>0成立時(shí)的概率．12．已知復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M.(1)設(shè)集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為x，從集合Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為y，求復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)的概率；(2)設(shè)x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點(diǎn)M落在不等式組：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0，,x≥0，,y≥0))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的概率．詳解答案一、選擇題1．解析：當(dāng)P在三棱錐的中截面與下底面構(gòu)成的三棱臺(tái)內(nèi)時(shí)符合要求，由幾何概型知，P＝1－eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).答案：A2．解析：點(diǎn)E為邊CD的中點(diǎn)，故所求的概率P＝eq\f(△ABE的面積,矩形ABCD的面積)＝eq\f(1,2).答案：C3．解析：∵硬幣的半徑為r，∴當(dāng)硬幣的中心到直線的距離d>r時(shí)，硬幣與直線不相碰．∴P＝eq\f(2a－r,2a)＝eq\f(a－r,a).答案：A4．解析：由題意可知，點(diǎn)P位于BC邊的中線的中點(diǎn)處．記黃豆落在△PBC內(nèi)為大事D，則P(D)＝eq\f(S△PBC,S△ABC)＝eq\f(1,2).答案：D5．解析：設(shè)這兩個(gè)實(shí)數(shù)分別為x，y，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x<1,0<y<1))，滿足x＋y>eq\f(1,3)的部分如圖中陰影部分所示．所以這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和大于eq\f(1,3)的概率為1－eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(17,18).答案：A6．解析：由于f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)，所以Δ＝4a2－4(π－b2)≥0，即a2＋b2－π≥0，由幾何概型的概率計(jì)算公式可知所求概率為P＝eq\f(2π×2π－π×\r(π)2,2π×2π)＝eq\f(3π2,4π2)＝eq\f(3,4).答案：B二、填空題7．解析：以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與△ABC交出三個(gè)扇形，當(dāng)P落在其內(nèi)時(shí)符合要求．∴P＝eq\f(3×\f(1,2)×\f(π,3)×12,\f(\r(3),4)×22)＝eq\f(\r(3)π,6).答案：eq\f(\r(3),6)π8．解析：直線與兩個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(eq\f(3,m＋2)，0)，(0，eq\f(3,3－m))，又當(dāng)m∈(0,3)時(shí)，eq\f(3,m＋2)>0，eq\f(3,3－m)>0，∴eq\f(1,2)·eq\f(3,m＋2)·eq\f(3,3－m)<eq\f(9,8)，解得0<m<2，∴P＝eq\f(2－0,3－0)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)9．解析：如圖，△AOB為區(qū)域M，扇形COD為區(qū)域M內(nèi)的區(qū)域N，A(3,3)，B(1，－1)，S△AOB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×3eq\r(2)＝3，S扇形COD＝eq\f(π,4)，所以豆子落在區(qū)域N內(nèi)的概率為P＝eq\f(S扇形COD,S△AOB)＝eq\f(π,12).答案：eq\f(π,12)三、解答題10．解：設(shè)長(zhǎng)方體的高為h，則圖(2)中虛線圍成的矩形長(zhǎng)為2＋2h，寬為1＋2h，面積為(2＋2h)(1＋2h)，開(kāi)放圖的面積為2＋4h；由幾何概型的概率公式知eq\f(2＋4h,2＋2h1＋2h)＝eq\f(1,4)，得h＝3，所以長(zhǎng)方體的體積是V＝1×3＝3.11．解：(1)a，b都是從0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)的基本大事總數(shù)為N＝5×5＝25個(gè)．函數(shù)有零點(diǎn)的條件為Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.由于大事“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以大事“a2≥4b”的概率為P＝eq\f(12,25)，即函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的概率為eq\f(12,25).(2)a，b都是從區(qū)間[0,4]任取的一個(gè)數(shù)，f(1)＝－1＋a－b>0，即a－b>1，此為幾何概型．所以大事“f(1)>0”的概率為P＝eq\f(\f(1,2)×3×3,4×4)＝eq\f(9,32).12．解：(1)記“復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)”為大事A.∵組成復(fù)數(shù)z的全部狀況共有12個(gè)：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種狀況消滅的可能性相等，屬于古典概型，其中大事A包含的基本大事共2個(gè)：i,2i，∴所求大事的概率為P(A)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).(2)依條件可知，點(diǎn)M均勻地分布在平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0≤x≤3,0≤y≤4))))內(nèi)，屬于幾何概型，該平面區(qū)域的圖形為下圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12.而所求大事構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)閑q\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x，y|\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3≤0,x≥0