【2021屆備考】2021屆全國名校數(shù)學(xué)試題分類解析匯編(12月第四期)K單元概率

K單元概率名目K單元概率 1K1隨大事的概率 1K2古典概型 2K3幾何概型 5K4互斥大事有一個發(fā)生的概率 6K5相互對立大事同時發(fā)生的概率 6K6離散型隨機(jī)變量及其分布列 6K7條件概率與大事的獨立性 8K8離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征與正態(tài)分布 8K9單元綜合 8K1隨大事的概率【數(shù)學(xué)文卷·2021屆黑龍江省大慶市鐵人中學(xué)高三12月月考（期中）（202212）】19.（本小題12分）某次的一次測試成果的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖．（Ⅰ）求參與測試的總?cè)藬?shù)及分?jǐn)?shù)在[80，90）之間的人數(shù)；（Ⅱ）若要從分?jǐn)?shù)在[80，100）之間的試卷中任取兩份分析同學(xué)失分狀況，求在抽取的試卷中，恰有一份分?jǐn)?shù)在[90，100）之間的概率．【學(xué)問點】用樣本估量總體隨大事的概率I2K1【答案】（Ⅰ）4（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）成果在[50，60）內(nèi)的頻數(shù)為2，由頻率分布直方圖可以看出，成果在[90，100]內(nèi)同有2人．由，解得n=25．成果在[80，90）之間的人數(shù)為25﹣（2+7+10+2）=4人∴參與測試人數(shù)n=25，分?jǐn)?shù)在[80，90）的人數(shù)為4人（Ⅱ）設(shè)“在[80，100]內(nèi)的同學(xué)中任選兩人，恰有一人分?jǐn)?shù)在[90，100]內(nèi)”為大事M，將[80，90）內(nèi)的4人編號為a，b，c，d；[90，100]內(nèi)的2人編號為A，B在[80，100]內(nèi)的任取兩人的基本大事為：ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15個．其中，恰有一人成果在[90，100]內(nèi)的基本大事有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB共8個．∴所求的概率得?！舅悸伏c撥】依據(jù)頻率分布直方圖求出人數(shù)，列出基本大事求出概率。K2古典概型【數(shù)學(xué)理卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三12月月考（202212）】16．（本題滿分12分）一個袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個，從中任取2個球，記隨機(jī)變量為取出2球中白球的個數(shù)，已知．（Ⅰ）求袋中白球的個數(shù)；（Ⅱ）求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．【學(xué)問點】古典概型離散型隨機(jī)變量及其分布列K2K6【答案】【解析】（Ⅰ）6；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）設(shè)袋中有白球n個，則，解得n=6．（Ⅱ）由于,所以隨機(jī)變量X的分布列如下：X012P得.【思路點撥】一般遇到求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，通常先確定隨機(jī)變量的取值，再計算各個取值的概率，即可列表得分布列，用公式求期望.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省山大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】18．（本題滿分12分）已知集合，.（Ⅰ）在區(qū)間上任取一個實數(shù)，求“”的概率；（Ⅱ）設(shè)為有序?qū)崝?shù)對，其中是從集合中任取的一個整數(shù)，是從集合中任取的一個整數(shù)，求“”的概率．【學(xué)問點】幾何概型，古典概型K2K3【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）由已知，，…………2分設(shè)大事“”的概率為，這是一個幾何概型，則.…6分（Ⅱ）由于，且，所以，基本大事共12個：，，，，，，，，，，，.…2分設(shè)大事為“”，則大事中包含9個基本大事，…………10分大事的概率.…12分【思路點撥】由題意得，依據(jù)幾何概型的概率公式即可求解；需要列出符合題意的基本大事的個數(shù)以及滿足題意的基本大事的個數(shù)，再按公式代入求解.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三12月月考（202212）】16.（本小題滿分12分）組距頻率0.010.0組距頻率0.010.0775808590950.021000.040.06服務(wù)時間/小時OO（Ⅰ）求抽取的20人中，參與社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的同學(xué)人數(shù)；（Ⅱ）從參與社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的同學(xué)中任意選取2人，求所選同學(xué)的參與社區(qū)服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)的概率．【學(xué)問點】用樣本估量總體古典概型I2K2【答案】【解析】（Ⅰ）6人；（Ⅱ）解析：（Ⅰ）由題意可知，參與社區(qū)服務(wù)在時間段的同學(xué)人數(shù)為（人），參與社區(qū)服務(wù)在時間段的同學(xué)人數(shù)為（人）．所以參與社區(qū)服務(wù)時間不少于90小時的同學(xué)人數(shù)為（人）．（Ⅱ）設(shè)所選同學(xué)的服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)為大事．由（Ⅰ）可知，參與社區(qū)服務(wù)在時間段的同學(xué)有4人，記為；參與社區(qū)服務(wù)在時間段的同學(xué)有2人，記為．從這6人中任意選取2人有共15種狀況．大事包括共7種狀況．所以所選同學(xué)的服務(wù)時間在同一時間段內(nèi)的概率．【思路點撥】在頻率分布直方圖中，留意縱坐標(biāo)是頻率/組距，在求概率時，一般通過列舉法尋求所求大事包含的基本大事的個數(shù).K3幾何概型【數(shù)學(xué)文卷·2021屆山西省山大附中高三上學(xué)期期中考試（202211）】18．（本題滿分12分）已知集合，.（Ⅰ）在區(qū)間上任取一個實數(shù)，求“”的概率；（Ⅱ）設(shè)為有序?qū)崝?shù)對，其中是從集合中任取的一個整數(shù)，是從集合中任取的一個整數(shù)，求“”的概率．【學(xué)問點】幾何概型，古典概型K2K3【答案】【解析】（Ⅰ）（Ⅱ）解析：（Ⅰ）由已知，，…………2分設(shè)大事“”的概率為，這是一個幾何概型，則.…6分（Ⅱ）由于，且，所以，基本大事共12個：，，，，，，，，，，，.…2分設(shè)大事為“”，則大事中包含9個基本大事，…………10分大事的概率.…12分【思路點撥】由題意得，依據(jù)幾何概型的概率公式即可求解；需要列出符合題意的基本大事的個數(shù)以及滿足題意的基本大事的個數(shù)，再按公式代入求解.【數(shù)學(xué)文卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三12月月考（202212）】3.在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)，則大事：“”的概率為（）A．B．C．D．【學(xué)問點】幾何概型K3【答案】【解析】C解析：對于[－π,π]，由cosx≥0，得x∈,所以所求的概率為，則選C.【思路點撥】先推斷出是幾何概型，歸納為所求概率為長度之比，即可解答.K4互斥大事有一個發(fā)生的概率K5相互對立大事同時發(fā)生的概率K6離散型隨機(jī)變量及其分布列【數(shù)學(xué)理卷·2021屆山西省山大附中高三上學(xué)期中考試試題（202211）】18．（本小題滿分12分）甲、乙兩人參與某種選拔測試．在備選的道題中，甲答對其中每道題的概率都是，乙能答對其中的道題．規(guī)定每次考試都從備選的道題中隨機(jī)抽出道題進(jìn)行測試，答對一題加分，答錯一題（不答視為答錯）減分，至少得分才能入選．（1）求乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）求甲、乙兩人中至少有一人入選的概率．【學(xué)問點】概率離散型隨機(jī)變量及分布列K6【答案】(1)；(2).【解析】解析：解：（Ⅰ）設(shè)乙答題所得分?jǐn)?shù)為，則的可能取值為．………………1分；；；．………………5分乙得分的分布列如下： ………………6分．………………7分（Ⅱ）由已知甲、乙至少答對題才能入選，記甲入選為大事，乙入選為大事.則，………………9分．………………11分故甲乙兩人至少有一人入選的概率．……12分【思路點撥】（Ⅰ）確定乙答題所得分?jǐn)?shù)的可能取值，求出相應(yīng)的概率，即可得到乙得分的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（Ⅱ）由已知甲、乙至少答對2題才能入選，求出甲、乙入選的概率，利用對立大事，即可求得結(jié)論．【數(shù)學(xué)理卷·2021屆四川省成都外國語學(xué)校高三12月月考（202212）】16．（本題滿分12分）一個袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個，從中任取2個球，記隨機(jī)變量為取出2球中白球的個數(shù)，已知．（Ⅰ）求袋中白球的個數(shù)；（Ⅱ）求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．【學(xué)問點】古典概型離散型隨機(jī)變量及其分布列K2K6【答案】【解析