【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中人教B版數(shù)學(xué)必修四課時(shí)作業(yè)：第三章-章末檢測(cè)(B)

第三章三角恒等變換（B）(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)1．sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于()A．0B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2)D．12．若函數(shù)f(x)＝sin2x－eq\f(1,2)(x∈R)，則f(x)是()A．最小正周期為eq\f(π,2)的奇函數(shù)B．最小正周期為π的奇函數(shù)C．最小正周期為2π的偶函數(shù)D．最小正周期為π的偶函數(shù)3．已知α∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(3,5)，則tan(α＋eq\f(π,4))等于()A．eq\f(1,7)B．7C．－eq\f(1,7)D．－74．函數(shù)f(x)＝sinx－eq\r(3)cosx(x∈[－π，0])的單調(diào)遞增區(qū)間是()A．[－π，－eq\f(5π,6)]B．[－eq\f(5π,6)，－eq\f(π,6)]C．[－eq\f(π,3)，0]D．[－eq\f(π,6)，0]5．化簡(jiǎn)：eq\f(sin60°＋θ＋cos120°sinθ,cosθ)的結(jié)果為()A．1B．eq\f(\r(3),2)C．eq\r(3)D．tanθ6．若f(sinx)＝3－cos2x，則f(cosx)等于()A．3－cos2xB．3－sin2xC．3＋cos2xD．3＋sin2x7．若函數(shù)f(x)＝sin(x＋eq\f(π,3))＋asin(x－eq\f(π,6))的一條對(duì)稱軸方程為x＝eq\f(π,2)，則a等于()A．1B．eq\r(3)C．2D．38．函數(shù)y＝eq\f(1,2)sin2x＋sin2x，x∈R的值域是()A．[－eq\f(1,2)，eq\f(3,2)]B．[－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)]C．[－eq\f(3,2)，eq\f(1,2)]D．[－eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2)－eq\f(1,2)]9．若3sinθ＝cosθ，則cos2θ＋sin2θ的值等于()A．－eq\f(7,5)B．eq\f(7,5)C．－eq\f(3,5)D．eq\f(3,5)10．已知3cos(2α＋β)＋5cosβ＝0，則tan(α＋β)tanα的值為()A．±4B．4C．－411．若coseq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)，sineq\f(θ,2)＝－eq\f(4,5)，則角θ的終邊確定落在直線()上．A．7x＋24y＝0B．7x－24y＝0C．24x＋7y＝0D．24x－7y＝012．使奇函數(shù)f(x)＝sin(2x＋θ)＋eq\r(3)cos(2x＋θ)在[－eq\f(π,4)，0]上為減函數(shù)的θ的值為()A．－eq\f(π,3)B．－eq\f(π,6)C．eq\f(5π,6)D．eq\f(2π,3)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)13．函數(shù)f(x)＝sin2(2x－eq\f(π,4))的最小正周期是____________．14．已知sinαcosβ＝1，則sin(α－β)＝________．15．若0<α<eq\f(π,2)<β<π，且cosβ＝－eq\f(1,3)，sin(α＋β)＝eq\f(1,3)，則cosα＝________．16．函數(shù)y＝sin(x＋10°)＋cos(x＋40°)，(x∈R)的最大值是________．三、解答題(本大題共6小題，共70分)17．(10分)已知sin(α＋eq\f(π,2))＝－eq\f(\r(5),5)，α∈(0，π)．(1)求eq\f(sinα－\f(π,2)－cos\f(3π,2)＋α,sinπ－α＋cos3π＋α)的值；(2)求cos(2α－eq\f(3π,4))的值．18．(12分)已知函數(shù)f(x)＝2cosxsinx＋2eq\r(3)cos2x－eq\r(3)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值；(3)求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間．19．(12分)已知向量a＝(coseq\f(3x,2)，sineq\f(3x,2))，b＝(coseq\f(x,2)，－sineq\f(x,2))，且x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]．(1)求a·b及|a＋b|；(2)若f(x)＝a·b－|a＋b|，求f(x)的最大值和最小值．20．(12分)已知△ABC的內(nèi)角B滿足2cos2B－8cosB＋5＝0，若eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b且a，b滿足：a·b＝－9，|a|＝3，|b|＝5，θ為a，b的夾角．(1)求角B；(2)求sin(B＋θ)．21．(12分)已知向量m＝(－1，cosωx＋eq\r(3)sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函數(shù)f(x)的圖象任意兩相鄰對(duì)稱軸的間距為eq\f(3π,2)．(1)求ω的值；(2)設(shè)α是第一象限角，且f(eq\f(3,2)α＋eq\f(π,2))＝eq\f(23,26)，求eq\f(sinα＋\f(π,4),cos4π＋2α)的值．22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f(1,2)sin(eq\f(π,2)＋φ)(0<φ<π)，其圖象過點(diǎn)(eq\f(π,6)，eq\f(1,2))．(1)求φ的值；(2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,2)，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在[0，eq\f(π,4)]上的最大值和最小值．

答案1． D[原式＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°＝1.]2． D[f(x)＝sin2x－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(2sin2x－1)＝－eq\f(1,2)cos2x，∴T＝eq\f(2π,2)＝π，f(x)為偶函數(shù)．]3． A[∵α∈(eq\f(π,2)，π)，sinα＝eq\f(3,5)，∴cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(3,4).∴tan(α＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝eq\f(1－\f(3,4),1＋\f(3,4))＝eq\f(1,7).]4． D[f(x)＝sinx－eq\r(3)cosx＝2sin(x－eq\f(π,3))．令2kπ－eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得2kπ－eq\f(π,6)≤x≤2kπ＋eq\f(5π,6)(k∈Z)，令k＝0得－eq\f(π,6)≤x≤eq\f(5π,6).由此可得[－eq\f(π,6)，0]符合題意．]5． B[原式＝eq\f(sin60°cosθ＋cos60°sinθ－\f(1,2)sinθ,cosθ)＝eq\f(sin60°cosθ,cosθ)＝sin60°＝eq\f(\r(3),2).]6． C[f(sinx)＝3－(1－2sin2x)＝2＋2sin2x，∴f(x)＝2x2＋2，∴f(cosx)＝2cos2x＋2＝1＋cos2x＋2＝3＋cos2x.]7． B[f(x)＝sin(x＋eq\f(π,3))－asin(eq\f(π,6)－x)＝sin(x＋eq\f(π,3))－acos(eq\f(π,3)＋x)＝eq\r(1＋a2)sin(x＋eq\f(π,3)－φ)∴f(eq\f(π,2))＝sineq\f(5π,6)＋asineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2)a＋eq\f(1,2)＝eq\r(1＋a2).解得a＝eq\r(3).]8． B[y＝eq\f(1,2)sin2x＋sin2x＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(1－cos2x,2)＝eq\f(1,2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)sin(2x－eq\f(π,4))＋eq\f(1,2)，∵x∈R，∴－1≤sin(2x－eq\f(π,4))≤1，∴y∈[－eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)，eq\f(\r(2),2)＋eq\f(1,2)]．]9． B[∵3sinθ＝cosθ，∴tanθ＝eq\f(1,3).cos2θ＋sin2θ＝cos2θ－sin2θ＋2sinθcosθ＝eq\f(cos2θ＋2sinθcosθ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ)＝eq\f(1＋2tanθ－tan2θ,1＋tan2θ)＝eq\f(1＋2×\f(1,3)－\f(1,9),1＋\f(1,9))＝eq\f(7,5).]10．C[3cos(2α＋β)＋5cosβ＝3cos(α＋β)cosα－3sin(α＋β)sinα＋5cos(α＋β)cosα＋5sin(α＋β)sinα＝0，∴2sin(α＋β)sinα＝－8cos(α＋β)cosα，∴tan(α＋β)tanα＝－4.]11．D[coseq\f(θ,2)＝eq\f(3,5)，sineq\f(θ,2)＝－eq\f(4,5)，taneq\f(θ,2)＝－eq\f(4,3)，∴tanθ＝eq\f(2tan\f(θ,2),1－tan2\f(θ,2))＝eq\f(－\f(8,3),1－\f(16,9))＝eq\f(24,7).∴角θ的終邊在直線24x－7y＝0上．]12．D[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝0.∴tanθ＝－eq\r(3).∴θ＝kπ－eq\f(π,3)，(k∈Z)．∴f(x)＝2sin(2x＋θ＋eq\f(π,3))＝±2sin2x.∵f(x)在[－eq\f(π,4)，0]上為減函數(shù)，∴f(x)＝－2sin2x，∴θ＝eq\f(2π,3).]13．eq\f(π,2)解析∵f(x)＝eq\f(1,2)[1－cos(4x－eq\f(π,2))]＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin4x∴T＝eq\f(2π,4)＝eq\f(π,2).14．1解析∵sinαcosβ＝1，∴sinα＝cosβ＝1，或sinα＝cosβ＝－1，∴cosα＝sinβ＝0.∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝sinαcosβ＝1.15．eq\f(4\r(2),9)解析cosβ＝－eq\f(1,3)，sinβ＝eq\f(2\r(2),3)，sin(α＋β)＝eq\f(1,3)，cos(α＋β)＝－eq\f(2\r(2),3)，故cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ＝(－eq\f(2\r(2),3))×(－eq\f(1,3))＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(1,3)＝eq\f(4\r(2),9).16．1解析令x＋10°＝α，則x＋40°＝α＋30°，∴y＝sinα＋cos(α＋30°)＝sinα＋cosαcos30°－sinαsin30°＝eq\f(1,2)sinα＋eq\f(\r(3),2)cosα＝sin(α＋60°)．∴ymax＝1.17．解(1)sin(α＋eq\f(π,2))＝－eq\f(\r(5),5)，α∈(0，π)?cosα＝－eq\f(\r(5),5)，α∈(0，π)?sinα＝eq\f(2\r(5),5).eq\f(sinα－\f(π,2)－cos\f(3π,2)＋α,sinπ－α＋cos3π＋α)＝eq\f(－cosα－sinα,sinα－cosα)＝－eq\f(1,3).(2)∵cosα＝－eq\f(\r(5),5)，sinα＝eq\f(2\r(5),5)?sin2α＝－eq\f(4,5)，cos2α＝－eq\f(3,5).cos(2α－eq\f(3π,4))＝－eq\f(\r(2),2)cos2α＋eq\f(\r(2),2)sin2α＝－eq\f(\r(2),10).18．解(1)原式＝sin2x＋eq\r(3)cos2x＝2(eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x)＝2(sin2xcoseq\f(π,3)＋cos2xsineq\f(π,3))＝2sin(2x＋eq\f(π,3))．∴函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)當(dāng)2x＋eq\f(π,3)＝2kπ＋eq\f(π,2)，即x＝kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)時(shí)，f(x)有最大值為2.當(dāng)2x＋eq\f(π,3)＝2kπ－eq\f(π,2)，即x＝kπ－eq\f(5π,12)(k∈Z)時(shí)，f(x)有最小值為－2.(3)要使f(x)遞增，必需使2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得kπ－eq\f(5π,12)≤x≤kπ＋eq\f(π,12)(k∈Z)．∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為[kπ－eq\f(5π,12)，kπ＋eq\f(π,12)](k∈Z)．19．解(1)a·b＝coseq\f(3x,2)coseq\f(x,2)－sineq\f(3x,2)sineq\f(x,2)＝cos2x，|a＋b|＝eq\r(cos\f(3x,2)＋cos\f(x,2)2＋sin\f(3x,2)－sin\f(x,2)2)＝eq\r(2＋2cos2x)＝2|cosx|，∵x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]，∴cosx>0，∴|a＋b|＝2cosx.(2)f(x)＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2(cosx－eq\f(1,2))2－eq\f(3,2).∵x∈[－eq\f(π,3)，eq\f(π,4)]．∴eq\f(1,2)≤cosx≤1，∴當(dāng)cosx＝eq\f(1,2)時(shí)，f(x)取得最小值－eq\f(3,2)；當(dāng)cosx＝1時(shí)，f(x)取得最大值－1.20．解(1)2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0，即4cos2B－8cosB＋3＝0，得cosB＝eq\f(1,2).又B為△ABC的內(nèi)角，∴B＝60°.(2)∵cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝－eq\f(3,5)，∴sinθ＝eq\f(4,5).∴sin(B＋θ)＝sinBcosθ＋cosBsinθ＝eq\f(4－3\r(3),10).21．解(1)由題意，得m·n＝0，所以f(x)＝cosωx·(cosωx＋eq\r(3)sinωx)＝eq\f(1＋cos2ωx,2)＋eq\f(\r(3)sin2ωx,2)＝sin(2ωx＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,2).依據(jù)題意知，函數(shù)f(x)的最小正周期為3π.又ω>0，所以ω＝eq\f(1,3).(2)由(1)知f(x)＝sin(eq\f(2x,3)＋eq\f(π,6))＋eq\f(1,2)，所以f(eq\f(3,2)α＋eq\f(π,2))＝sin(α＋eq\f(π,2))＋eq\f(1,2)＝cosα＋eq\f(1,2)＝eq\f(23,26).解得cosα＝eq\f(5,13).由于α是第一象限角，故sinα＝eq\f(12,13).所以eq\f(sinα＋\f(π,4),cos4π＋2α)＝eq\f(sinα＋\f(π,4),co