2024-2025學(xué)年高考備考診斷性聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一模）附解析

2024-2025學(xué)年高考備考診斷性聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（一模）一、單選題（本大題共8小題）1．在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向星對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（

）A． B． C． D．2．下列四個(gè)條件中，使成立的充要條件是（

）A． B． C． D．3．在的二項(xiàng)展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是（

）A．8 B． C．28 D．4．已知數(shù)列滿足，且，則（

）A．3 B． C． D．5．已知直線與直線互相垂直，則為（

）A． B．或0 C． D．或06．已知圓錐的母線長(zhǎng)度為4，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從圓錐的底面圓周上一點(diǎn)出發(fā)，繞著圓錐側(cè)面運(yùn)動(dòng)一周，再回到出發(fā)點(diǎn)的最短距離為，則此圓錐的體積為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)．若有兩個(gè)極值點(diǎn)，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．在中，內(nèi)角所對(duì)邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．2二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，可以作為基底，則 B．若，則C．若，則 D．若與的夾角為，則或910．已知冪函數(shù)，則（

）A． B．的定義域?yàn)镽C．為非奇非偶函數(shù) D．不等式的解集為11．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的是（

）A．的第2項(xiàng)小于1 B．C．為等比數(shù)列 D．中存在大于100的數(shù)三、填空題（本大題共3小題）12．已知雙曲線，其漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為．13．已知，函數(shù)有最小值，則．14．已知甲袋中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙袋中裝有2個(gè)紅球，4個(gè)白球，兩個(gè)袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致．現(xiàn)從兩袋中各隨機(jī)取出一個(gè)球，若2個(gè)球同色，則將取出的2個(gè)球全部放入甲袋中，若2個(gè)球不同色，則將取出的2個(gè)球全部放入乙袋中，每次取球互不影響，按上述方法重復(fù)操作兩次后，乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線，過拋物線上點(diǎn)且斜率為的直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)．(1)求拋物線的方程；(2)求的值．16．如圖，某市擬在長(zhǎng)為16km的道路的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)賽道，賽道的前一部分為曲線段，該曲線段為函數(shù)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為；賽道的后一部分為折線段，為保證參賽運(yùn)動(dòng)員的安全，限定．

(1)求的值和兩點(diǎn)間的距離；(2)若，求折線段賽道的長(zhǎng)度．17．如圖，在三棱柱中，側(cè)面為菱形，，底面為等邊三角形，平面平面，點(diǎn)滿足，點(diǎn)為棱上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)）．(1)當(dāng)與重合時(shí)，證明：平面平面；(2)是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．函數(shù)．(1)求在點(diǎn)處的切線方程；(2)若存在，使得成立，求的取值范圍．19．為確保飲用水微生物安全性，某自來水廠計(jì)劃改進(jìn)原有飲用水消毒方法．據(jù)已有數(shù)據(jù)記錄，原有消毒方法對(duì)每個(gè)大腸桿菌的滅活率均為，現(xiàn)檢驗(yàn)出一批未經(jīng)消毒的水中大腸桿菌含量為500個(gè)/升．(1)經(jīng)原有消毒方法處理后，計(jì)算一升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)不超出5個(gè)的概率；（結(jié)果保留3位小數(shù)）(2)在獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，為事件在試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，為試驗(yàn)總次數(shù)，隨機(jī)變量為事件發(fā)生的次數(shù)．若較小，較大，而的大小適中，不妨記，則，經(jīng)計(jì)算，當(dāng)時(shí)，．若隨機(jī)變量的概率分布密度函數(shù)為，稱服從參數(shù)為的泊松分布，記作．（其中，為自然對(duì)數(shù)底數(shù)）①若經(jīng)原有消毒方法處理后的一升水中含有的大腸桿菌個(gè)數(shù)服從泊松分布，計(jì)算一升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)不超出5個(gè)的概率（結(jié)果保留3位小數(shù)），并證明：；②改進(jìn)消毒方法后，從經(jīng)消毒后的水中隨機(jī)抽取50升樣本，化驗(yàn)每升水中大腸桿菌的個(gè)數(shù)，結(jié)果如下：大腸桿菌數(shù)/升012345升數(shù)172010210若每升水中含有的大腸桿菌個(gè)數(shù)X仍服從泊松分布，要使出現(xiàn)上述情況的概率最大，則改進(jìn)后的消毒方法對(duì)每個(gè)大腸桿菌的滅活率為多少？參考數(shù)據(jù)：（Ⅰ）指數(shù)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式為，（Ⅱ），，，，，

答案1．【正確答案】D【詳解】因?yàn)?，所以向量?duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：D．2．【正確答案】D【詳解】對(duì)于A，由，得，反之，當(dāng)時(shí)，不能推出，故是成立的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，不成立，故不是成立的充分條件，反之，當(dāng)時(shí)，成立，故是成立的必要不充分條件，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，所以是成立的不充分條件，反之，滿足成立，但不成立，所以是成立的不必要條件，所以是的既不充分也不必要條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由在上單調(diào)遞增，可得是的充要條件，故D正確.故選：D．3．【正確答案】C【詳解】第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故選：C.4．【正確答案】C【詳解】由題意數(shù)列滿足，由，得，，，，由此可知數(shù)列是周期為的周期數(shù)列，所以.故選：C5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)橹本€與直線互相垂直，所以，解得或.故選：B6．【正確答案】A【詳解】設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，記點(diǎn)是底面圓周上的一點(diǎn)，作出圓錐側(cè)面展開圖如圖所示：又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)最短距離為，故，又因?yàn)?，所以，所?設(shè)圓錐底面半徑為，高為，則，解得，所以，所以圓錐的體積.故選：A.7．【正確答案】A【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)為，所以在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，此時(shí)方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則，解得.若不等式恒成立，則恒成立，因?yàn)?，則，設(shè)，，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A8．【正確答案】B【詳解】由題可得，，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，所以.故選：B.9．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于A，若，可以作為基底，則與不共線，當(dāng)與共線時(shí)，，，故，可以作為基底時(shí)，，故A正確；對(duì)于B，，，，解得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，，故C正確；對(duì)于D，，，或，故D正確.故選：ACD10．【正確答案】AC【詳解】A：由冪函數(shù)知，，解得，故A正確；B，C：，則的定義域?yàn)椋院瘮?shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；D：由知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以由可得，解得，即不等式的解集為，故D錯(cuò)誤.故選：AC11．【正確答案】AD【詳解】對(duì)于A，由題意，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，解得，，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)數(shù)列為等比數(shù)列，則，，矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是遞增數(shù)列，所以，假設(shè)對(duì)任意的，，則，取，則，矛盾，所以中存在大于100的數(shù)，故D正確.故選：AD.12．【正確答案】【詳解】因?yàn)?，所以雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，又雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，雙曲線的離心率為.故答案為.13．【正確答案】4【詳解】，令，則或（舍），故答案為.14．【正確答案】【詳解】若兩次取球后，乙袋中恰有4個(gè)球，則兩次取球均為同色；若第一次取球均取到紅球，其概率為，第一次取球后甲袋中有4個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙袋有1個(gè)紅球和4個(gè)白球，第二次取到同色球概率為；此時(shí)乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是；若第一次取球均取到白球，其概率為，第一次取球后甲袋中有3個(gè)紅球和3個(gè)白球，乙袋有2個(gè)紅球和3個(gè)白球，第二次取到同色球概率為；此時(shí)乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是；所以乙袋中恰有4個(gè)小球的概率是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，拋物線方程為．（2）顯然直線的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，得，若，方程只有一解，滿足要求，若，則需滿足，解得，綜上：或.16．【正確答案】(1)，(2)【詳解】（1）由題可得，，當(dāng)時(shí)，，即，又，（千米）；（2）在中，設(shè)，則，，，，，（千米），折線段賽道的長(zhǎng)度為千米.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)存在，【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)閭?cè)面為菱形，，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，則，所以兩兩垂直，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：令三棱柱的棱長(zhǎng)為2，所以，故，，又，所以，設(shè)，，則，即；又，設(shè)平面的法向量為，則則，取，則，故平面的法向量可為，又，設(shè)直線與平面所成角為，由題可得，即，整理得：，解得，故當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為．18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，則，又，所以在處的切線方程為；（2）因?yàn)椋?，令，，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，，，所以，使得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，，，所以，使得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，又，，所以，所以，即的取值范圍為．19．【正確答案】(1)一升水中大腸桿菌個(gè)數(shù)不超出5個(gè)的概率約為0.786(2)①；證明見解析；②改進(jìn)后的消毒方法對(duì)