2023考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)寶典（習(xí)題精講）

習(xí)題精練

有道考神考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)寶典

前言

前后

考研數(shù)學(xué)歷年真題的重要性不言而喻，這些題目成為我們把握考研數(shù)

學(xué)命題規(guī)律及?？碱}型的重要素材?？忌鷳?yīng)在全面復(fù)習(xí)完基礎(chǔ)知識(shí)之后，

盡早開始熟悉這些真題。

在使用這些真題時(shí)，應(yīng)注意以下三個(gè)方面：

第一，不同數(shù)類（含數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三）的公共考點(diǎn)部分對(duì)應(yīng)的考

研數(shù)學(xué)真題,對(duì)所有考生而言，都應(yīng)同等對(duì)待。比如，數(shù)學(xué)三的考生不應(yīng)只

把數(shù)學(xué)三試卷上的真題做完就滿足了，而應(yīng)把數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二試卷上的屬

于數(shù)學(xué)三考試范圍內(nèi)的所有考題都要認(rèn)真做懂。數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二的考生也

同樣需要做好其他數(shù)類中屬于自己考試范圉的題目。這些題目，顯然比任

何其他模擬題的價(jià)值都要高，考生不要舍近求遠(yuǎn),舍本逐末，只有這樣才能

充分利用真題資源，穩(wěn)扎基礎(chǔ)。

第二，2009年以后的真題更是彌足珍貴，不應(yīng)跟其他真題一樣，拿來(lái)用

作簡(jiǎn)單練習(xí)，而應(yīng)在考生復(fù)習(xí)到感覺自己復(fù)習(xí)比較全面時(shí)，再拿來(lái)當(dāng)作今

年考題，模擬考場(chǎng)，進(jìn)行實(shí)戰(zhàn)演練,測(cè)試自己的復(fù)習(xí)效果，順便杳缺補(bǔ)漏。

第三，考研數(shù)學(xué)試卷中考查的知識(shí)點(diǎn)大都是一成不變的,只是早些年

份的題目考點(diǎn)綜合度小一些，題目略簡(jiǎn)單，近些年的題目綜合度強(qiáng)一些，題

目略難。十年前的真題已經(jīng)完全覆蓋了近十年真題的所有考點(diǎn),在考試大

綱基本不變的情況下，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，十年前的真題也定能覆蓋今年考

研真題的所有考點(diǎn)。所以，希望考生重視早年真題，熟練掌握各個(gè)考點(diǎn)及

通用思路方法。心存疑慮，認(rèn)為早年真題可能過時(shí)的考生,可以在近十年

真題中檢驗(yàn)一下，到底是真題過時(shí)，還是自己對(duì)真題考點(diǎn)復(fù)習(xí)不到位，甚至

可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，有些早年的真題?改編之后就出現(xiàn)在了近十年真題里。

基于以上三個(gè)方面，預(yù)留出2009年以后的真題，本書按題型分類整編

T1987年到2008年的所有考研數(shù)學(xué)真題（含數(shù)學(xué)一、數(shù)學(xué)二、數(shù)學(xué)三），并

有道考神考研數(shù)學(xué)匿習(xí)寶典

在章節(jié)目錄匕做了不同數(shù)類要求的區(qū)分。

正文分作兩部分：考點(diǎn)詳解和習(xí)期鞏固。

“考點(diǎn)詳解”部分梳理了重要考點(diǎn)，并作了詳細(xì)的總結(jié)說明。

“習(xí)題鞏固”部分匯總了包括各數(shù)類的所有早年真題，以便考生根據(jù)各

章節(jié)?？碱}型和通用方法的學(xué)習(xí)，做好對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的練習(xí)，舉一反三。

關(guān)于本書中“習(xí)題鞏固”部分的題目，可掃碼獲得答案速查和詳細(xì)視頻

講解。

考生可關(guān)注新浪微博@有道考神金峰老師，由于時(shí)間有限，關(guān)于本書

中的疏漏之處，歡迎隨時(shí)指正，在此表示感謝。

最后，祝所有考生學(xué)習(xí)順利，考研成功！

2

?I-----------°C

目錄

高等數(shù)學(xué)

第一章函數(shù)、極限、連續(xù).................................................(3)

第二章一元函數(shù)微分學(xué).................................................(25)

第三章一元函數(shù)積分學(xué).................................................(44)

第四章常微分方程......................................................(65)

第五章多元函數(shù)微分學(xué).................................................(76)

第六章二重積分........................................................(85)

第七章無(wú)窮級(jí)數(shù)(數(shù)一、三)...............................................(91)

第八章空間幾何與場(chǎng)論初步(僅數(shù)一)...................................(102)

第九章三重積分與線面積分(僅數(shù)一)...................................(110)

第十章經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用(僅數(shù)三丫滴..........................................(122)

線性代數(shù)

第一章行列式...........................................................(130

第二章矩陣.............................................................(138)

第三章向■組...........................................................(151)

第四章線性方程組.....................................................(161)

第五章相似理論........................................................(170)

第六章二次型..........................................................(177)

有道考神考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)寶典

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

第一章事件與概率.......................................................（185）

第二章隨機(jī)變量及其分布................................................（192）

第三章二維隨機(jī)變量及其分布............................................（198）

第四章數(shù)字特征..........................................................（205）

第五章大數(shù)定律與中心極限定理..........................................（213）

第六章統(tǒng)計(jì)初步..........................................................（216）

第七章參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)..............................................（221）

高等數(shù)學(xué)

函數(shù)、極限、連續(xù)

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

第一節(jié)函數(shù)

【考點(diǎn)詳解】

一、常見的函數(shù)形式

1.顯函數(shù)：y/（.?■）.

2.隱函數(shù)：”(.r?y)0=y=/(.r).

3.復(fù)合函數(shù)：y=/(〃)?〃==/(^(.r)).

4.反函數(shù)：.v=./(.r)的逆映訴?加.y=,”上3針至―/(v)).

5.極限函數(shù)：/3）=limFQ./）（其結(jié)果只夠工＜美而叼/無(wú)關(guān)）.

，一。:J-

6.導(dǎo)函數(shù)：Vf（.r）.,?

/=0（，）?

（/為參數(shù)）.

（y=3⑺

用途：多用于計(jì)算曲線、曲面積分.

9.極坐標(biāo)方程工廠（0）1或〃=P（O））.

（X=rcosO.'

結(jié)論（直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系）：、

yrsin^:0=arctan°

x

10.和函數(shù)：SQ）

注：和函數(shù)的定義域未必是存在域,一般應(yīng)等F其收斂域.

二、一元函數(shù)的幾何性質(zhì)

1.單調(diào)性

相關(guān)結(jié)論：

（1）可導(dǎo)函數(shù)/（.r）單調(diào)不減（不增）的充要條件是J'G）》（K/'Gr）&0）;

有道考神考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)寶典

<2）可導(dǎo)函數(shù)/（力單調(diào)遞增（遞減）的充要條件是：，（l）20（/'（了）&0）且使

/<x）=0的工為孤立點(diǎn).

2.有界性

（1）若存在常數(shù)M,使人1）D）,則稱/（外有上界；（2）若存在常數(shù)m,

使，（外6D）,則稱/（“）有下界M3）若/（公既有上界又有下界,則稱/（x）

有界.

結(jié)論:八/）有界的充要條件為：存在常數(shù)M,使|/（幻M.

相關(guān)結(jié)論：（1）閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定有界（有界性定理）；（2）函數(shù)有極限（稱

為收斂）=>局部有界；（3）有界是可積的必要條件（即可積一定有界.反之不然）、

3.奇偶性

若—=一/（1）,則稱八外為奇函數(shù)；若/（一N）=/（Z），則禰/（工）為偶函數(shù).

注：奇函數(shù)（偶函數(shù)）的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

結(jié)論：（1）奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)圖像關(guān)于》軸對(duì)稱；（2）奇函數(shù)與偶

函數(shù)乘積為奇函數(shù)；奇函數(shù)與奇函數(shù)、偶函數(shù)與偶函數(shù)的乘積為偶函數(shù)；（3）在（一°,

。）上有定義的任一函數(shù)?一定可表示為奇函數(shù)與偶函數(shù)之和.

注：/（工）一/（一7）為奇函數(shù)；/（］）+/（一力為偶函數(shù).

相關(guān)結(jié)論：。）若/（x）為可積的奇函數(shù),則「/（1）必=0；

（2）若/（x）為可積的偶函數(shù),則『/（x）dx=2￡/（X）<1XI

（3）若/（x）為一般可積函數(shù)，則『/（x）dx=一］）］業(yè).

注：當(dāng)遇到積分的上下限互為相反數(shù)時(shí)，應(yīng)優(yōu)先考慮被積函數(shù)的奇偶性.

4.周期性

若mrwo,使八1+T）=八力，則稱/（X）是以T為周期的周期函數(shù).

結(jié)論：若丁為八力）的周期.那么大丁也是一工）的周期aez.ko）.

注：周期函數(shù)未必有最小正周期.

相關(guān)結(jié)論：（1）可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)仍然是周期函數(shù)，且周期不變；（2）若

2rCT

/（“）是以T為周期的連續(xù)函數(shù),則/（x）dx=/（j）<Lr.

J.J0

相關(guān)方法：可用證明恒等式的方法研究周期性（周期性定義的實(shí)質(zhì)是恒等式）.

5,凹凸性

若曲線y=/Gr）上任意一點(diǎn)的切線都在該曲線的下（上）方，則稱、=/（“）是凹

（凸）曲線.

相關(guān)結(jié)論：若/"（X）>0（x6（a,6））,則/（x）在（a,Q為凹（上凹/下凸）的；

O

高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)IO

若/*"(i)<0(x6(a,6)),/(x)在(a,b)為凸(下凹/上凸)的.

注：在比較復(fù)雜函數(shù)與一次函數(shù)的大小時(shí),應(yīng)想到凹凸性.

三、初等函數(shù)及其性質(zhì)

L基本初等函數(shù)及其性質(zhì)

(1)常函數(shù)：3=c,D￡(-OO,-|-OO).

性質(zhì)：①不增不減；②有界.I/(z)|=|c|<M；③偶函數(shù)；④周期函數(shù)；⑤只有

一條水平漸近線y=一⑥沒有凹凸性.

(2)常函數(shù)：/=工?(。6R).

注:①定義域與a有關(guān);②性質(zhì)一般也與a有關(guān).

(3)指數(shù)函數(shù)：y=a'(a>0且a卉GR,y>0).

(4)對(duì)數(shù)函數(shù)：y=loga'a>0且aXl.x>O,y€R).

(5)三角函數(shù)：①正弦函數(shù)：y=sirur；②余弦函數(shù)：y=COSJ；

③正切函數(shù)：y=tanj-；?余切函數(shù)：*=cotj；

⑤正割函數(shù)：1y=secj:⑥余割函數(shù)：y=cscx.

(6)反三角函數(shù)：①反正弦函數(shù)：y=arcsini,D,=[—[―yj;

②反余弦函數(shù)=arccosx?Dz=[-1,1]，&=[0,n];

③反正切函數(shù):y=arctaru-.D,=(—°°?4-°°)=(一'f■啥｝

④反余切函數(shù)：y=arcotx?Dz=(—8,+8),&=(0,n).

注1：反三角函數(shù)不是三角函數(shù)的反函數(shù)(例：y=arcsinx不是y=sinr的反函

數(shù))；

注2：上述函數(shù)稱為基本初等函數(shù).

例：y=sin2],y=JCJ都不是基本初等函數(shù).

2.初等函數(shù)及其性質(zhì)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到的，并能用一個(gè)式子表達(dá)的

函數(shù)為初等函數(shù).

注：(1)分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，也可能不是；(2)基本初等函數(shù)經(jīng)過無(wú)窮次四

co

則運(yùn)算或復(fù)合運(yùn)算得到的函數(shù)可能是初等函數(shù)也可能不是初等函數(shù)(例?X耳=e'

8

是初等函數(shù)，2d則不是初等函數(shù)).

M=0

相關(guān)結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)函數(shù)(即間斷點(diǎn)一定不在定義區(qū)間內(nèi)).

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?【習(xí)題鞏固】

考點(diǎn)函數(shù)的定義域

1.188—1；2］已知/(j)=5，/［次—］=1一］且3公》0,求SP(X)并寫出它

的定義域.

z

2.192—3〕設(shè)/(x)=sinx?/[^(x)J=1—x,則:解懶=;其定義域

為.

考點(diǎn)函數(shù)的四個(gè)特性

3.187—2J/(x)=|xsirw|—?o<xV+°0是()

(A)有界函數(shù).(B)單調(diào)函數(shù).

(C)周期函數(shù).(D)偶函數(shù).

4.190—3〕設(shè)函數(shù)f(jr)=NtadredM,則/(“)是()

(A)偶函數(shù).(B)無(wú)界函數(shù).

(C)周期函數(shù).(D)單調(diào)函數(shù).

5.199一3〕設(shè)/Gr)是連續(xù)函數(shù),FCr)是/Cr)的原函數(shù).則()

(A)當(dāng)/(x)是奇函數(shù)時(shí)，(了)必為偶函數(shù).

(B)當(dāng)/(x)是偶函數(shù)時(shí)，F(xiàn)Q)必為奇函數(shù).

(C)當(dāng)/(x)是周期函數(shù)時(shí)，(”)必為周期函數(shù).

(D)當(dāng)/(x)是單調(diào)增函數(shù)時(shí)，F(xiàn)Cz)必為單調(diào)增函數(shù).

6.101—1;2〕設(shè)函數(shù)/(z)在定義域內(nèi)可與，/(z)的圖形如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)y=

廣(公的圖形為().

6

高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)O

------O

7.C01-2D已知函數(shù)/(x)在區(qū)間內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，/‘(”)嚴(yán)格單網(wǎng)

減少?且/(I)=/z(l)=1，則

(A)在(1一8,1)和(1,1+6)內(nèi)均有f(z)V”.

(B)在(1-3,1)和(1,1+8)內(nèi)均有f(1)＞x.

《。在(1一3,1)內(nèi)，/(工)Vz,在(1,1+力內(nèi)，八。〉工

(D)在內(nèi)，/(了)＞了,在＜1,1+8)內(nèi)，〃了)Vn.

考點(diǎn)復(fù)合函數(shù)

/2一”,140,(X2?x<0,

8.設(shè)g(x)=)/(x)=|則g[/(x>]=

[1+2,工>0,1一n)。.

/24-x2,zVO,

(A)

[2—x,z20.

f2—x2?x<C0?

(B)

12+z,x>0.

(2—x2?o:V0,

(C)

2—x.力)0.

r2-f-x\x<0,

(D)

[2+N,N20.

(1.I川Wl，

9.C90-l；2：設(shè)函數(shù)/Q)=則函數(shù)/[/(x)]=

|0,|x|>1,

1，IxKU

10.〔01—2〕設(shè)/(x)=則/{/[/(X)])等于

0,|x|>l,

()

(A)0.(B)1.

IxKl,(0,I川41,

(C)(D)

0,Ix|>1.1,|x|>1.

7

有道考神考研數(shù)學(xué)鰻習(xí)寶典

第二節(jié)極限

[考點(diǎn)詳解]-------------------------------------。

一、極限的概念

1.簡(jiǎn)述：某鄰域內(nèi)所有點(diǎn)的函數(shù)值都與A僅差一個(gè)無(wú)窮小量.則稱極限存在.

2.定義

定義1：對(duì)于數(shù)列{%}?設(shè)A為一個(gè)常數(shù)，若"￡>07?；,使當(dāng)〃>?；時(shí)，有

Ia?—A|<￡,則稱在時(shí),a.以A為極限，記作lima.=A.

定義2：對(duì)于函數(shù)y=/(工)，設(shè)A為一個(gè)常數(shù)，若Ve>0,m8>0,使當(dāng)0〈|了一

■ioIVS時(shí)，有I/(x)—A!V￡,則稱lim/(x)=A.

注：其他定義類似.

二、極限的性質(zhì)

1.唯一性定理：若存在，則其極限值唯一.

x-Q

2.局部有界性定理：若lim/(z)存在，則f(工)在局部有界.

LD

3.局部保號(hào)性定理：若=A>0(<0),則/(x)>0(<0)在局部成立.

L口

推論：若lim/(z)存在，且/(x)>0(^0)在局部成立，則limf(i)

■?口x-*C

三、極限的運(yùn)算

1.四則運(yùn)算：若lim/Q)=A,lim*(”)=8,則lim]/(z)土g(z)]=A±B；

?r-0,一口

limE/(x)?弁(z)]=A?&lim[/m=堤，其中B聲0.

x-Dx-Dg(x)B

推論：(1)若limf(t)與lim[/Cr)±均存在，則limgGr)存在；

L口L口X-?D

(2)若limf(i)與均存在，且手0,則limg(?r)存在.

LOX-DLO

注：(1)若limfQ)存在，limg(N)不存在，則lim[/Cr)士一定不存在；

(2)若lim/(z)與limNi)均不存在，則±&(z)]可能存在也可能不存在；

x-*Or-*O

(3)若lim/(z)與?g(x)]均存在，且limfGr)=0,則limg(z)未必存在.

x-*DJT"?口

2.復(fù)合運(yùn)算法則：若limg(z)=u0?lim/(u)=人且g(x)Wu0,則

L氣?―?0

lim/[g(x)J=A.

L,

8

高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)O

------O

四、極限的存在港則

1.單調(diào)有界準(zhǔn)則(原理)：?jiǎn)握{(diào)有界數(shù)列必有極限.

注：?jiǎn)握{(diào)有界準(zhǔn)則只適用于數(shù)列，不適合于一般的函數(shù)(即單調(diào)有界函數(shù)未必有

極限).

2.夾逼準(zhǔn)則(原理)：若/,(x)&/(X)&八(1)在局部成立,且lim力(工)=A,

X—□

lim/2(x)=A,則lirp/(z)存在且等于A.

注：夾逼準(zhǔn)則對(duì)數(shù)列極限也成立.

五、兩個(gè)重要極限

XI>lim典=1；(2)lim(14--)"=e%2.7182….

；XL3x

????

.六、耒定式極限

i.楚本形式小型看型.

2.其他形式：0?8型，8—8型，產(chǎn)型.0°型.8°型.

3.洛必達(dá)法則

定理=0,limg(j-)=0,且

jr一口

(l)/(x)與gCr)在局部可導(dǎo)；(2)lim比^=A(A為常數(shù)或無(wú)窮)，

貝ijlim/，總=lim'JR=A.

LCJg(x)LQg(x)

定理2：若limf(jr)=°o,limg(x)=8,且

(l)/(x)與g(z)在局部可導(dǎo)；(2)lim=A(A為常數(shù)或無(wú)窮3

貝Ijlim=lim［產(chǎn)'=A.

L口g(x)g(x)

注1：只有對(duì)蔣型或三未定型極限才可以考慮直接用洛必達(dá)法則(對(duì)分子分母只

有一個(gè)是8的情形，也可以考慮使用洛必達(dá)法則，但只限于做選擇填空題).

注2：當(dāng)分子分母在局部不可導(dǎo)時(shí)不能用洛必達(dá)法則(特別地對(duì)于數(shù)列極限不能

直接用).

注3：當(dāng)lim4舁振蕩時(shí)不可用洛必達(dá)法則.

L口g(2)

注4：對(duì)其他未定型極限應(yīng)先化成多型或三型，再考慮用洛必達(dá)法則.具體做

08

9

旦生塞，考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)寶最

法是：

(1)對(duì)于0-8型吧4?型(或三型兀

0oo

,八-T-?..通分，分子晌理化0-1.8皿、

(2)對(duì)于00—oo型--------------—刑(或—型)：

倒代換,出分母?0舉‘聯(lián)8第八

(3)對(duì)于1~型，0。型，3。駕-:甘如絲0.8沙[型(或方型).

08

L口

注5：在使用洛必達(dá)法則的過程中應(yīng)盡可能地與代數(shù)變形、變址代(替)換、重要極

限、四則運(yùn)算法則、等價(jià)無(wú)窮小代換、夾通準(zhǔn)則相結(jié)合，以求簡(jiǎn)化計(jì)算.

七、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

1.概念：若=0,則稱/(x)在zf口時(shí)為無(wú)窮小(量八

LQ

若!i丹/(Z)=8,則稱/(])在口時(shí)為無(wú)窮大(盤).

注1：無(wú)窮大(小)量:是指因變盤不是白變量.

注2：不能離開白變員的變化過程洪無(wú)窮小與無(wú)窮人.

注3：無(wú)窮大玨一定是無(wú)界變量(無(wú)界函數(shù))，反之不然.

2.性質(zhì)：在自變量同一變化過程中，有：

(1)無(wú)窮小僦與有界變盤的乘積是無(wú)窮小員.

注：無(wú)窮大員與有界變員的乘積未必是無(wú)窮大量.

(2)有限個(gè)無(wú)窮小盤的和差積仍然是無(wú)窮小量(但商未必).

注1：有限個(gè)無(wú)窮大量的和、差、商未必是無(wú)窮大量(但積例除外).

注2：無(wú)窮個(gè)無(wú)分小量:的和差積商未必是無(wú)窮小電.

(3)無(wú)窮大盤的倒數(shù)是無(wú)窮小砒；非零的無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大址.

3.無(wú)窮小■階的比較：設(shè)/(x)-O.g(z)->0.

(1)若lim=0,則稱/(x)比g(x)高階,記作/(x)=;

(2)若lim=8,則稱/(x)比g()低階；

，7g(x)x

(3)若lim=c(cW0).則稱/(.r)與g(.i)同階；

L口g(x)

(4)若lim用=1，則稱八幻比g(z)等價(jià)無(wú)窮小，記作義工)?N(z).

L口g\JC)

&幾個(gè)與無(wú)窮小量相關(guān)的結(jié)論

(1)lim/(x)=AQ/G)=A+a(z).其中a(z)為無(wú)窮小量：(當(dāng)z-*匚l).

10

函數(shù)、極限、連續(xù)O

高等數(shù)學(xué)O

推論1:若lim4之=八,且limgO=0,則limf(x)=0.

L口g\X)X-□X—□

推論2：若limgR=3W0,且=0,則limg(jr)=0.

(2)y=/(x)連續(xù)㈡△?為無(wú)窮小量(Arf0),其中=/(x+△x)—/(x).

(3)等價(jià)無(wú)窮小代換：若/(x)?/I(x).g(x)??(x),miim伴=lim空

x-*U)4一口^\\X)

注1:等價(jià)無(wú)窮小代換的實(shí)質(zhì)是分子分母同除以等價(jià)的函數(shù).

注2：當(dāng)分子或分母為和差時(shí)，一般不能對(duì)其中的某些項(xiàng)進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小代換；當(dāng)

分子或分母為乘積時(shí)，可以對(duì)其中的某些因子進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小代換.

注3：當(dāng)x-*0時(shí)，常見的等價(jià)無(wú)窮小量有：sirtr?1,arcsinx?x?tanx~x，

arctanjr?x,ln(14-x)?z,6r—1?x^a1-1?xlna?1-cosx?-yx2?(1+z》一

1?ar.

z

(4)若/(工)在7=工0可導(dǎo)，且/(x0)/0,則dyI-。是與Ar同階的無(wú)窮小量；

若/(x)在才=Ro可導(dǎo)，則△?—dy|x-Zo是比A-r高階的無(wú)窮小14.

八、用極限考查曲線的漸近線

1.水平漸近線：若limf(X)=5,則y=門為/(x)的一條水平漸近線；

若limf(工)=c2,則y=Q為f(工)的一條水平漸近線.

注：同一函數(shù)的水平漸近線最多有2條.

2.垂直漸近線：若lim/(J)=8,則z=x0是/(x)的一條垂直漸近線；

若limf(工)-M.則工—內(nèi)是八彳)的一條垂直漸近線.

L?4

注：垂直漸進(jìn)性可能有無(wú)窮多條，求垂直漸進(jìn)性實(shí)質(zhì)上是考直/<x)的無(wú)窮間

斷點(diǎn).

3.斜漸近線：(1)若lim=U|(A|*0),且lim[/(x)—ajJT]=仇,則y=

j-?+8X

a.x4-6i是/(x)的一條斜漸近線；

(2)若lim)=a(.aW0)?且lim[/(x)—ax~\=仇，則y=R"+8是f(工)

-<?JC228t

的一條斜漸近線.

注：斜漸近線最多有兩條，并且如果在+8(或一8)方向有水平漸近線，那么在

該方向就不會(huì)有斜漸近線(即同一函數(shù)的水平漸近線和斜漸近線最多有2條).

11

有道考神考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)寶典

1.“對(duì)任意給定的￡6(0,1)總存在正整數(shù)N.當(dāng)〃》N時(shí)，恒有|，一.|42廣

是數(shù)列｛右｝收斂于。的()

(A)充分條件但非必要條件.

(B)必要但非充分條件.

(C)充分必要條件.

<D)既非充分條件又非必要條件.

2.187—1〕設(shè)lim￡(三)一/(2°)

=-1.則“=a處)

(ar-a)

<A)/(x)的導(dǎo)數(shù)存在，且廣(a)KO.(B)/(x)取得極大值.

(C)/(x)取得極小值.(D)/(x)的導(dǎo)數(shù)不存在.

3.187—2〕函數(shù)/(T)=jrsin/()

(A)當(dāng)“f8時(shí)為無(wú)窮大.(B)當(dāng)(-8,+8)內(nèi)有界.

(C)在(-8,4-00)內(nèi)無(wú)界.(D)當(dāng)8時(shí)有有限極限.

4.C00—3〕設(shè)對(duì)任意的1,總有取工)&/(x)&&(“)，且lim[g(?r)—甘(彳)]=0,

_r—8

則JlT-i*OmOf(N)()

(A)存在且等于零.(B)存在但不一定為零.

(C)一定不存在.CD)不一定存在.

5.C04-3］函數(shù)/(x)=4d在下列的哪個(gè)區(qū)間內(nèi)有界.

—1)(x—2)，

4L3

(A)(-1,0).

(0(1,2).(D)(2,3).

考點(diǎn)無(wú)窮小與無(wú)窮大

6.求極限lime。=二e-

x-0X

7.設(shè)函數(shù)S(J)=||sin/|de,

(1)當(dāng)〃為正整數(shù)，且V+時(shí)，證明2〃&SQ)<2(w4-l)；

(2)求lim92

i-+?X

I12

O

高等數(shù)學(xué)函數(shù)、極限、連續(xù)

—O

8.189—3〕設(shè)/Q)=2，+3，-2,則當(dāng)1-0時(shí)

()

(A)/(x)是］的等價(jià)無(wú)窮小.

(B)/(x)與x是同階但非等價(jià)無(wú)窮小

(C)/(x)是比］更高階的無(wú)窮小.

(D)/(x)是比z較低階的無(wú)窮小.

9.191一1〕已知當(dāng)1fo時(shí)，(1+心24-1與COSX-1是等價(jià)無(wú)窮小，則常數(shù)

吧上妄，，，為奇數(shù),

n

10.191一3〕設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為：二=則當(dāng)〃f8,了.是

1

7,〃為偶數(shù),

(A)無(wú)窮大量.(B)無(wú)窮小量.

(C)有界變界.(D)無(wú)界變量.

11.192—3〕當(dāng)z-0時(shí)，下列四個(gè)無(wú)窮小量:中，比其他三個(gè)更高階的無(wú)窮小員是

(A)x2.(B)l—cosx.

(C)v1——1.(D)x—sinr.

f?Ar

12.C93—1］設(shè)/(x)=Jsin/'dz,g(x)=.則當(dāng)z0時(shí)，/(z)是

的.()

。好等價(jià)無(wú)窮小.(B)同階但非等價(jià)的無(wú)窮小.

.1玲詼階無(wú)窮小.(D)低階無(wú)窮小.

13.193-2〕當(dāng)“f0時(shí).變量asinL是()

xx

(A)無(wú)窮小.(B)無(wú)窮大.

(C)有界的，但不是無(wú)窮小的.(D)無(wú)界的，但不是無(wú)窮大.

fl-COAX56

14.197—3〕設(shè)/(n)=sin/2d/,g(x)=w+T"，則當(dāng)工°時(shí)，八］)是屋上)

J0O0

的()

(A)低階無(wú)窮小.

(B)高階無(wú)窮小.

(C)等價(jià)無(wú)窮小.

(D)同階但不等價(jià)的無(wú)窮小.

13

塞1考研數(shù)學(xué)震習(xí)寶或

15.C99-2］設(shè)a(i)=J；等出，做工)=［：\1+八十小，則當(dāng)n

0時(shí)，aGr)是做了)的()

(A)高階無(wú)窮小.(B)低階無(wú)窮小.

(C)同階但不等價(jià)的無(wú)窮小.(D)等價(jià)無(wú)窮小.

16.103—2〕若I-*0時(shí),(1一〃2)+—1與zsiiu?是等價(jià)無(wú)窮小，則a=

17.CO7-2,1；1.U當(dāng)if0+時(shí)，與G等價(jià)的無(wú)窮小量是()

(A)l-e^.(B)Inr?^,

(C)Vl+77-1.(D)l-cos7x.

18.104—1；23把工f(T時(shí)的無(wú)窮小量a=|cosz2dt,R=jtan4tdt?

y=J：sin/小排列起來(lái)，使排在后面的是前一個(gè)的高階無(wú)窮小，則正確的排列次序是

()

(A)a，B，工(B)a，7，，.

(C)/3,a.y.(D)F，y,a.

19.107—3.1〕當(dāng)if。，時(shí)，與心等價(jià)的無(wú)窮小量是()

(A)l一一.(B)ln(l4-77).

(C)/1+G—1.(D)1—cos-fx,

考點(diǎn)函數(shù)求極限

Inf1+—

2d〔87—3〕求極限lim」——-

—arccotx

2LC87-2〕=

4-17-----

22.C88—3〕求極限lim(1—x2)tan-^-x.

jr—14

23.188—21li嗎假)=.

24.189—3〕求極限lim(z+e，)).

25.C89—2］求lim(2siar+cosx).

?rf0

26.C90-1〕設(shè)a是非零常數(shù)，則lim(三土￡丫=

x-oo\x-a)----------

14

高等數(shù)學(xué)函敷、極限、連續(xù)O

O

27.C90-3J求極限lim」「（1+尸）J，山.

x-*0°JJ0

28.〔91一3〕下列各式中正確的是（）

（A）+=1.

(D)lim[1+工]=e.

L8IX)

29.⑼一3〕求極限lim任+八+M廣.

30.C91—1〕求lim(cosJx)^?

■r—O*

31.191一3〕求極限lim『土?二十…+產(chǎn)丫，其中〃是給定的自然數(shù).

10\n)

32.C92-23lim1二①一*=.

33.192—1；加當(dāng)工-1時(shí)，函數(shù)士?e±的極限()

(A)等于2.(B)等于0.

(C)為8.(D)不存在但不為8.

34.〔92—2〕求1而卜法

j81b十jr)

35.C93—3]lim丫f?sin2=.

<r?*85JT-t-3JT

36.C93-3〕lim[J\+2+…+〃—+2+…+-1)]=

37.C93—1〕求limfsin--Fcos—1.

xx)

38.194一3〕求極限lim卜一+1)].

39.C94—limcotxf-7^-----)=.

LOIsinxx)----------

40.C95-2〕求lim1-Jew工

z-o*x(1—cosJx)

41.〔96—2〕limx[sin(ln(l+弓))—sin(in(1+5[)]=

42.197—2〕求極限lim'廠"。十1

-J*+sinz

15I

有道考神考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)寶典

43.[98—1;2〕一工j

44?C99-niim(±-^)=

(2+邕u

45.100—13求lim賓卜

l。11+e

46.101—2〕lim必—j：—+z_

47.C02-2］設(shè)y=>?(jr)是二階常系數(shù)微分方程y4-py'=e3,滿足初始條

件)(。)=/。)=°的特解.則當(dāng)”f0時(shí).函數(shù)吟審的極限

)

(A)不存在.(B)等于1.

(C)等于2.(D)等于3.

[arctan(1+f)d/]du

48.〔。2—3〕求極限四』一

49.103—13lim(cosx)?<!???

cos-)

50.104-3〕求

Jsinx

51.C05—3〕極限lim/sin■?/：

,TOOjr+1

52.106—1〕lim?)

■r—o1—COS-T

普+1丫川

53.C06一3〕jl|i.m8

54.(07-3.113lim