函 數(shù)的求導(dǎo)法則

函數(shù)的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理1如果函數(shù)u=ux與v=vx在點x處可導(dǎo)，那么它們的和、差在點x處也可導(dǎo)，且［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).證明令y=u(x)±v(x)，當(dāng)x有增量Δx時，u有增量Δu，v有增量Δv，從而y有增量Δy，且有此定理可以推廣到有限個函數(shù)代數(shù)和的情形，即[u1(x)±u2(x)±…±un(x)′]=u′1(x)±u′2(x)±…±u′n(x).注意一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理2

如果函數(shù)u=ux與v=vx在點x處可導(dǎo)，那么它們的積在點x處也可導(dǎo)，且［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x).證明令y=u(x)v(x)，因為Δu=u(x+Δx)－u(x),Δv=v(x+Δx)－v(x),一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則此定理也可以推廣到有限個函數(shù)乘積的情形，即[u1(x)u2(x)…un(x)]′=u′1(x)u2(x)…un(x)+u1(x)u′2(x)…un(x)+…+u1(x)u2(x)…u′n(x).注意一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理3

如果函數(shù)u=ux與v=vx在點x處可導(dǎo)，那么它們的商（除分母為零的點外）在點x處也可導(dǎo)，且一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則

一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則

【例1】一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則

已知函數(shù)y=x2sinx，求y′|x=π

解因為y′=（x2）′sinx+x2sinx′=2xsinx+x2cosx，所以y′|x=π=－π2.【例2】一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則

求正切函數(shù)y=tanx的導(dǎo)數(shù).【例3】一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則

求正割函數(shù)y=secx的導(dǎo)數(shù)【例4】注意一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理4若函數(shù)x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),且φ′（y）≠0,則它的反函數(shù)y=f（x）在區(qū)間Ix={x|x=φ(y),y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo),且有證明由于函數(shù)x=φ(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),由第一章內(nèi)容可知，x=φ(y)的反函數(shù)y=f(x)存在，且在Ix內(nèi)單調(diào)、連續(xù).任取x∈Ix，給x以增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)，由y=f(x)的單調(diào)性知Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0,于是有二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

求指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的導(dǎo)數(shù).【例5】二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

求函數(shù)y=arcsinx的導(dǎo)數(shù)【例6】二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

求函數(shù)y=arctanx的導(dǎo)數(shù)【例7】二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則三、常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式前面已經(jīng)介紹了常數(shù)和基本初等函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的方法.為了便于記憶與應(yīng)用，現(xiàn)將這些公式歸納如下：四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理5

（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則）若函數(shù)u=φ（x）在點x處可導(dǎo),函數(shù)y=f（u）在點u=φ（x）處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點x處可導(dǎo),且證明設(shè)自變量x在點x處取得增量Δx時，中間變量u取得相應(yīng)的增量Δu，從而函數(shù)y也取得相應(yīng)的增量Δy，當(dāng)Δu≠0時，有四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（1）上式說明,求復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]對x的導(dǎo)數(shù)時，可先求出y=f(u)對u的導(dǎo)數(shù)和u=φ(x)對x的導(dǎo)數(shù)，然后相乘即得.（2）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到任意有限多個中間變量的情形.以兩個中間變量為例，設(shè)y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x),則復(fù)合函數(shù)y=fφ［ψ(x)］的導(dǎo)數(shù)為注意四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

求函數(shù)y=(1－5x)10的導(dǎo)數(shù).解設(shè)y=u10,u=1－5x,則【例8】

求函數(shù)y=cos(ln2x)的導(dǎo)數(shù).【例9】四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

求函數(shù)y=logxsinx(x>0,x≠1)的導(dǎo)數(shù).

解在函數(shù)表達(dá)式中,考慮到對數(shù)的底是變量,可用對數(shù)換底公式,將其變形為y=lnsinx/lnx.這時【例10】

求函數(shù)y=f(tanx)+tan［f(x)］的導(dǎo)數(shù)，其中f(x)可導(dǎo).【例11】四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則五、應(yīng)用舉例

一個細(xì)菌種群的初始總數(shù)是10000，t小時后,該種群已增長到數(shù)量P(t),且可表示成P(t)=10000(1+0.86t+t2).（1）求種群數(shù)量P關(guān)于時間t的增長率.（2）求5小時后該細(xì)菌種群的總數(shù)及增長率.解(1)由P(t)=10000(1+0.86t+t2),得P′(t)=10000(0.86+2t).【例12】

(2)t=5時該細(xì)菌種群的總數(shù)是P(5)=10000×(1+0.86×5+52)=303000,t=5時該細(xì)菌