備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第二章-§2-2-函數(shù)的單調(diào)性與最值

§2.2函數(shù)的單調(diào)

性與最值第二章

函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實(shí)際意義.2.掌握函數(shù)單調(diào)性的簡(jiǎn)單應(yīng)用.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I，如果?x1，x2∈D當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1<x2時(shí)，都有

，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述

自左向右看圖象是上升的

自左向右看圖象是下降的f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上是

或

，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間.增函數(shù)減函數(shù)2.函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足條件(1)?x∈I，都有

；(2)?x0∈I，使得_________(1)?x∈I，都有

；(2)?x0∈I，使得_________結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M1.?x1，x2∈D且x1≠x2，有

>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0)?f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(減).2.在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)＋增函數(shù)＝增函數(shù)，減函數(shù)＋減函數(shù)＝減函數(shù).3.函數(shù)y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y＝－f(x)，y＝

的單調(diào)性相反.4.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)因?yàn)閒(－3)<f(2)，則f(x)在[－3,2]上是增函數(shù).(

)(2)函數(shù)f(x)在(－2,3)上單調(diào)遞增，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－2,3).(

)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù).(

)(4)函數(shù)y＝

的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)∪(0，＋∞).(

)××××1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是A.y＝x2－1 B.y＝x3C.y＝2x

D.y＝－x＋2√√3.函數(shù)f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，則滿足f(2x－1)>f

的x的取值范圍是________.∵f(x)的定義域是[0，＋∞)，又∵f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，探究核心題型第二部分命題點(diǎn)1函數(shù)單調(diào)性的判斷題型一確定函數(shù)的單調(diào)性例1

下列函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是√對(duì)于選項(xiàng)B，由y＝|x2－2x|的圖象(圖略)知，B不正確；對(duì)于選項(xiàng)D，∵y＝ex與y＝－e－x均為R上的增函數(shù)，∴y＝ex－e－x為R上的增函數(shù)，故D正確.命題點(diǎn)2利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性例2

試討論函數(shù)f(x)＝

(a≠0)在(－1,1)上的單調(diào)性.方法一設(shè)－1<x1<x2<1，由于－1<x1<x2<1，所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí)，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增.當(dāng)a>0時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增.確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法(1)定義法；(2)導(dǎo)數(shù)法；(3)圖象法；(4)性質(zhì)法.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)函數(shù)g(x)＝x·|x－1|＋1的單調(diào)遞減區(qū)間為g(x)＝x·|x－1|＋1＝

畫出函數(shù)圖象，如圖所示，根據(jù)圖象知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為

.√(2)函數(shù)f(x)＝

的單調(diào)遞增區(qū)間是A.[－1，＋∞) B.(－∞，－1)C.(－∞，0) D.(0，＋∞)f(x)＝

分解為y＝2u和u＝－x2－2x兩個(gè)函數(shù)，y＝2u在R上單調(diào)遞增，u＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在[－1，＋∞)上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)f(x)＝

在(－∞，－1)上單調(diào)遞增.√題型二函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用命題點(diǎn)1比較函數(shù)值的大小例3

(2023·成都模擬)已知函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，對(duì)任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，若a＝f(ln)，b＝

，c＝

，則a，b，c的大小關(guān)系是A.c<b<a

B.a<c<bC.a<b<c

D.c<a<b√∵對(duì)任意x1，x2∈(－∞，0)，均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0成立，∴此時(shí)函數(shù)在區(qū)間(－∞，0)上單調(diào)遞減，∵f(x)是偶函數(shù)，∴當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，又f(x)＝

在x∈(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴即a<c<b.命題點(diǎn)2求函數(shù)的最值y＝ln(4－x)在[1,3]上單調(diào)遞減，∴f(x)在[1,3]上單調(diào)遞增，例4

函數(shù)f(x)＝x－

－ln(4－x)在x∈[1,3]上的最大值為_____.命題點(diǎn)3解函數(shù)不等式f(x)在定義域(－2，＋∞)上是減函數(shù)，且f(－1)＝3，由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，例5

已知函數(shù)f(x)＝

－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，則a的取值范圍是_______.(0,1)解得0<a<1.命題點(diǎn)4求參數(shù)的取值范圍例6

已知函數(shù)f(x)＝

是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是√(1)比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的單調(diào)性解決.(2)求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

(1)(2023·蘭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝

則滿足不等式f(2x－1)<2的解集是√函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，因?yàn)閒(4)＝2，所以f(2x－1)<2等價(jià)于f(2x－1)<f(4)，(2)若函數(shù)f(x)＝

在(a，＋∞)上是增加的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______.∵f(x)在(a，＋∞)上是增加的，[1,2)課時(shí)精練第三部分基礎(chǔ)保分練1.下列函數(shù)在R上為增函數(shù)的是A.y＝x2

B.y＝x1234567891011121314√y＝x2在(－∞，0]上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；y＝x在R上為增函數(shù)，故選項(xiàng)B正確；12345678910111213142.函數(shù)f(x)＝－|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間為A.(－∞，2] B.[2，＋∞)C.[0,2] D.[0，＋∞)∴函數(shù)y＝|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，2]，單調(diào)遞增區(qū)間為[2，＋∞)，∴f(x)＝－|x－2|的單調(diào)遞減區(qū)間是[2，＋∞).√1234567891011121314A.(－∞，3] B.(2,3)C.(2,3] D.[3，＋∞)∵x2≥0，∴x2＋1≥1，√∴f(x)∈(2,3].123456789101112131412345678910111213144.已知函數(shù)f(x)＝

則下列結(jié)論正確的是①f(x)在R上為增函數(shù)；②f(e)>f(2)；③若f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則a≤－1或a≥0；④當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閇1,2].A.①②③

B.②③④C.①④

D.②③√易知f(x)在(－∞，0]，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤，②正確；若f(x)在(a，a＋1)上單調(diào)遞增，則a≥0或a＋1≤0，即a≤－1或a≥0，故③正確；當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)∈[1,2]，當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)∈(－∞，2]，故當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，f(x)∈(－∞，2]，故④錯(cuò)誤.12345678910111213145.(2023·南通模擬)已知函數(shù)f(x)＝

若a＝50.01，b＝log32，c＝log20.9，則有A.f(a)>f(b)>f(c)B.f(b)>f(a)>f(c)C.f(a)>f(c)>f(b)D.f(c)>f(a)>f(b)√1234567891011121314因?yàn)閥＝ex是增函數(shù)，y＝e－x是減函數(shù)，所以f(x)＝ex－e－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(x)>0.又f(x)＝－x2在(－∞，0]上單調(diào)遞增，且f(x)≤0，所以f(x)在R上單調(diào)遞增.又c＝log20.9<0,0<b＝log32<1，a＝50.01>1，即a>b>c，所以f(a)>f(b)>f(c).123456789101112131412345678910111213146.已知函數(shù)f(x)＝x－

(a≠0)，下列說法正確的個(gè)數(shù)是①當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在定義域上單調(diào)遞增；②當(dāng)a＝－4時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)；③當(dāng)a＝－4時(shí)，f(x)的值域?yàn)?－∞，－4]∪[4，＋∞)；④當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的值域?yàn)镽.A.1B.2C.3D.4√定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞).∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤；又當(dāng)x→－∞時(shí)，f(x)→－∞，當(dāng)x→0－時(shí)，f(x)→＋∞，∴f(x)的值域?yàn)镽，故④正確；1234567891011121314由其圖象(圖略)可知，②③正確.12345678910111213147.函數(shù)f(x)＝x2－6|x|＋8的單調(diào)遞減區(qū)間是__________________.當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2－6x＋8的單調(diào)遞減區(qū)間為[0,3]，當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2＋6x＋8的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－3]，(－∞，－3]，[0,3]12345678910111213148.已知命題p：“若f(x)<f(4)對(duì)任意的x∈(0,4)都成立，則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞增”.能說明命題p為假命題的一個(gè)函數(shù)是__________________________________________________________________________.f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)由題意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)，則函數(shù)f(x)的圖象在(0,4)上先單調(diào)遞減再單調(diào)遞增，

當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)值最小，且f(x)<f(4)，滿足題意，所以函數(shù)f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)可以說明命題p為假命題.12345678910111213149.已知函數(shù)f(x)＝x|x－4|.(1)把f(x)寫成分段函數(shù)，并在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)f(x)的大致圖象；1234567891011121314函數(shù)圖象如圖所示.(2)寫出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間.1234567891011121314由(1)中函數(shù)的圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2,4).1234567891011121314(1)求f(0)的值；1234567891011121314(2)探究f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.f(x)在R上單調(diào)遞增.證明如下：∵f(x)的定義域?yàn)镽，∴任取x1，x2∈R且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝

，∵y＝2x在R上單調(diào)遞增且x1<x2，∴0<<，∴∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上單調(diào)遞增.1234567891011121314123456789101112131411.若函數(shù)f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為A.(0，＋∞) B.(2，＋∞)C.(0,2] D.[2，＋∞)√綜合提升練在函數(shù)f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函數(shù)y＝lnu在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，而函數(shù)f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則函數(shù)u＝ax－2在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，且?x>1，ax－2>0，因此

解得a≥2，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為[2，＋∞).1234567891011121314123456789101112131412.設(shè)函數(shù)f(x)＝x2022－

＋5，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________，不等式f(x－1)<5的解集為___________.由題意得f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞).因?yàn)閒(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函數(shù).