第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分

一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計算二、全微分第二節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分一.偏導(dǎo)數(shù)定義及其計算法定義1設(shè)函數(shù)在點有定義,的某鄰域內(nèi)固定y=y0

得到一個一元函數(shù)

z有關(guān)于

x的若自變量x有改變量△x,相應(yīng)地函數(shù)增量(稱為偏增量)如果極限:存在，在點則稱此極限值為函數(shù)

處對x的偏導(dǎo)數(shù),記作:或或或同理,函數(shù)導(dǎo)數(shù)定義為處對y的偏在點或或或記作:注意:若函數(shù)z=f(x,y)在域D

內(nèi)每一點

(x,y)處對x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù)

,記為或

y

偏導(dǎo)數(shù)存在,顯然,與分別是偏導(dǎo)數(shù)與在點處的函數(shù)值,即例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(x,y,z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).偏導(dǎo)數(shù)定義為偏導(dǎo)數(shù)的求法:

由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知,求二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),并不需要新的方法.對二元函數(shù)的某一個自變量(如)求偏導(dǎo)數(shù)時,只要把另一個自變量(如)看作常數(shù),而對該自變量用一元函數(shù)的求導(dǎo)方法求導(dǎo).求函數(shù)例1在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).解因為z是x,y的二元函數(shù),它有兩個偏導(dǎo)數(shù),把y看作常數(shù),對x求導(dǎo)數(shù),得把x看作常數(shù),對y求導(dǎo)數(shù),得因此,函數(shù)z在點(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù)為求例2的偏導(dǎo)數(shù).解利用一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,分別對x,y求偏導(dǎo),得例3(x＞0,x≠1)，求

設(shè)把y看作常數(shù)，解為關(guān)于x的冪函數(shù),則把x看作常數(shù),為關(guān)于y的指數(shù)函數(shù),則偏導(dǎo)數(shù)記號是一個例4.已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,整體記號,定義:如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D

的內(nèi)點(x,y)可表示成其中A,B

不依賴于

x,

y,僅與x,y有關(guān)，稱為函數(shù)在點(x,y)的全微分,記作若函數(shù)在域D

內(nèi)各點都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(x,y)可微，處全增量則稱此函數(shù)在D

內(nèi)可微.定理2(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(x,y)可微

,則該函數(shù)在該點偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證:由全增量公式必存在,且有得到對x

的偏增量因此有習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,于是例1計算函數(shù)的全微分.解因為由定理3,在