2025年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第09講 三角形的證明 單元綜合檢測(cè)

第09講三角形的證明單元綜合檢測(cè)（難點(diǎn)）一、單選題1．下列命題中，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）個(gè)①中，已知兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊為5；②有一個(gè)內(nèi)角等于其他兩個(gè)內(nèi)角和的三角形是直角三角形；③三角形的三邊分別為，，若，則④在中，，則為直角三角形．A．1 B．2 C．3 D．42．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們探討利用不同畫圖工具畫角的平分線的方法，小旭說：我用兩塊含的直角三角板就可以畫角平分線，如圖，取，把直角三角板按如圖所示的位置放置，兩直角邊交于點(diǎn)，則射線是的平分線，小旭這樣畫的理論依據(jù)是（

）A． B． C． D．3．下列說法：①頂角和底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等；②等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等；③等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，三條高是它的三條對(duì)稱軸；④等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半．其中正確的有（）A．1 B．2 C．3 D．44．如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體的展開圖，點(diǎn)A，B，C是展開后小正方形的頂點(diǎn)，連接，則的大小是（

）A． B． C． D．5．如圖，中，，且垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)，若周長(zhǎng)為，則為（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5.56．如圖，的三邊、、的長(zhǎng)分別為、和，三條角平分線的交點(diǎn)為O，則（

）A． B． C． D．7．如圖，過邊長(zhǎng)為1的等邊三角形的邊上一點(diǎn)P，作于點(diǎn)E，Q為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，交于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．不能確定8．如圖，中，的角平分線BD和邊的垂直平分線交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰直角，連接．則長(zhǎng)度的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．310．如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接，以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④平分；⑤平分，恒成立的結(jié)論有（

）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤二、填空題11．如圖，是等邊三角形，，，則的度數(shù)為．12．如圖，中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，連接AD，過點(diǎn)C作的垂線，交的平分線于點(diǎn)E，則的度數(shù)為．13．如圖直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)．如果在軸上存在一點(diǎn)，使等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；14．如圖，中，的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F．點(diǎn)D在邊上，連接、，平分，若，則的面積為．15．如圖，在中，，，以點(diǎn)A為圓心長(zhǎng)度2為半徑作弧，分別交邊于兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)度r為半徑作弧交于點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G，點(diǎn)分別在邊上，且，．下列說法：①射線平分；②；③；④．正確的有：（填上所有符合要求的條件的序號(hào)）16．如圖，邊長(zhǎng)為的等邊面積是，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．17．如圖，在等邊三角形中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線折疊，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．18．如圖，在中，，分別以、和為邊在外部作等邊三角形、等邊三角形和等邊三角形，連接、和交于點(diǎn)P，則、、、中某三條線段存在等量關(guān)系是．三、解答題19．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：是等腰三角形；(3)若，求的長(zhǎng)．20．如圖，在等邊中，D、E分別是、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)作，垂足為G，求證：．21．如圖所示，在中：(1)下列操作中，作的平分線的正確順序是（將序號(hào)按正確的順序?qū)懺跈M線上）．①分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作圓弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P；②以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；③畫射線，交于點(diǎn)D．(2)能說明的依據(jù)是（填序號(hào)）．①，②，③，④角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等(3)如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，若，的面積是24，的周長(zhǎng)為12，求的長(zhǎng)．22．如圖，點(diǎn)在的平分線上，點(diǎn)分別在上，且．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)，連接，若平分，回答下列問題．①試說明平分；②若，，求點(diǎn)P到射線的距離．23．如圖，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于射線對(duì)稱，連接．點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)求證：直線是線段的垂直平分線；(2)點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．24．如圖，是等邊三角形，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度沿向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度沿折線向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．連接，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒）（）．(1)________，________；（用含x的式子表示）(2)當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求x的值；(3)當(dāng)是等邊三角形時(shí)，x的值為________；(4)當(dāng)或?yàn)橹苯侨切螘r(shí)，直接寫出x的值．25．如圖，Aa,0、，且滿足．(1)如圖，直接寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)在線段AB上（不與重合）移動(dòng)，，且，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；(3)如圖，若為軸上異于原點(diǎn)和點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以線段為邊作等腰直角，使得，直線交軸，當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，線段和線段中，請(qǐng)判斷哪條線段長(zhǎng)為定值，并求出該定值．26．如圖1，圖2，在和中，，，，與所在直線相交于點(diǎn)，于點(diǎn)．

(1)如圖1，連接，求證：平分；(2)如圖1，若，，則的長(zhǎng)為___________；(3)如圖2，若，，連接，交于點(diǎn)．①是否為線段的垂直平分線？并說明理由；②過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．27．【問題初探】（1）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給出如下問題：如圖①，在中，，，，，連接交于點(diǎn)，且．求證：．如圖②，丞丞同學(xué)從結(jié)論的角度出發(fā)給出如下解題思路：在上截取，連接，將和之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為和之間的數(shù)量關(guān)系；如圖③，霖霖同學(xué)從條件的角度出發(fā)給出如下解題思路：過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為和之間的數(shù)量關(guān)系．請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解題思路，寫出證明過程．【類比分析】（2）如圖④，在等邊中，是上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，此時(shí)恰好是的中點(diǎn)．求證：．

【學(xué)以致用】（3）如圖⑤，和都是等腰直角三角形，，，，分別交，于點(diǎn)，，其中是的中點(diǎn)，連接，若，求的長(zhǎng)．

第09講三角形的證明單元綜合檢測(cè)（難點(diǎn)）一、單選題1．下列命題中，其中正確命題的個(gè)數(shù)為（

）個(gè)①中，已知兩邊長(zhǎng)分別為3和4，則第三邊為5；②有一個(gè)內(nèi)角等于其他兩個(gè)內(nèi)角和的三角形是直角三角形；③三角形的三邊分別為，，若，則④在中，，則為直角三角形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題主要考查直角三角形的判定，利用勾股定理及其逆定理、三角形內(nèi)角和定理即可判定．【解析】解：若4是斜邊，則第三邊為,若4是直角邊，則第三邊為,故①錯(cuò)誤；∵三角形的內(nèi)角和為，∴若三角形中一個(gè)內(nèi)角等于其它兩個(gè)內(nèi)角的和，則這個(gè)角的度數(shù)為，∴這個(gè)三角形是直角三角形，故②正確；∵三角形的三邊a、b、c滿足，∴中，，故③錯(cuò)誤；∵在中，，∴，∴是直角三角形，故④正確；綜上所述，上述四個(gè)命題中，正確的有2個(gè)．故選：B．2．?dāng)?shù)學(xué)課上，同學(xué)們探討利用不同畫圖工具畫角的平分線的方法，小旭說：我用兩塊含的直角三角板就可以畫角平分線，如圖，取，把直角三角板按如圖所示的位置放置，兩直角邊交于點(diǎn)，則射線是的平分線，小旭這樣畫的理論依據(jù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用證明得出，即可得解．【解析】解：由題意可得：，在和中，，∴，∴，∴射線是的平分線，故選：D．3．下列說法：①頂角和底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等；②等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等；③等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，三條高是它的三條對(duì)稱軸；④等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半．其中正確的有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題主要考查等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．利用等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等逐一判斷即可得解．【解析】解：在和中，∵，，∴，，又，∴又，∴，故頂角和底邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等腰三角形全等，說法正確，故①符合題意；在中，∵D是中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，故等腰三角形底邊上的中點(diǎn)到兩腰的距離相等，說法正確，故②符合題意；等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，三條高所在的直線是其對(duì)稱軸，原說法錯(cuò)誤，故③不符合題意；在中，∵，∴，∵，∴，∴，故等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半，說法正確，故④符合題意；正確的為：①②④，共3個(gè)；故選：C．4．如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體的展開圖，點(diǎn)A，B，C是展開后小正方形的頂點(diǎn)，連接，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，考查了等腰直角三角形底角為的性質(zhì)，本題中求證是直角三角形是解題的關(guān)鍵．連接，由勾股定理可知，簡(jiǎn)單計(jì)算即可發(fā)現(xiàn)．【解析】解：連接，由勾股定理可得，則，故，則是一個(gè)直角等腰三角形，則，故選：B．5．如圖，中，，且垂直平分，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)，若周長(zhǎng)為，則為（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【答案】C【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的運(yùn)用，根據(jù)周長(zhǎng)為，，可得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)，可得，所以，由此即可求解．【解析】解：∵周長(zhǎng)為，∴，∵，∴，∵垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．6．如圖，的三邊、、的長(zhǎng)分別為、和，三條角平分線的交點(diǎn)為O，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，過O作于M，于N，于K，由角平分線的性質(zhì)推出，由三角形面積公式得到的面積，的面積，的面積，于是得到．【解析】解：過O作于M，于N，于K，∵的三條角平分線的交點(diǎn)為O，∴，∴的面積，的面積，的面積，∵、、的長(zhǎng)分別為、和，∴．故選：A．7．如圖，過邊長(zhǎng)為1的等邊三角形的邊上一點(diǎn)P，作于點(diǎn)E，Q為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，交于點(diǎn)D，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．過點(diǎn)作AD的延長(zhǎng)線的垂線于點(diǎn)，證明，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得，即可求解．【解析】解：過點(diǎn)作AD的延長(zhǎng)線的垂線于點(diǎn)，是等邊三角形，，，，，，，又，，，同理可證，，，，，故選：B．8．如圖，中，的角平分線BD和邊的垂直平分線交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，連接，由“”可證，可得，，由線段垂直平分線的性質(zhì)的得到，進(jìn)而由“”可證，可得，即得到，據(jù)此即可求解，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．【解析】解：連接∵BD是的平分線，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵DE是的垂直平分線，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，故選：．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)作等腰直角，連接．則長(zhǎng)度的最小值是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】D【分析】作軸且，連接，延長(zhǎng)交軸于，求出點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，得出，得出點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，證明得出，，得出，，三點(diǎn)共線，從而得到，得出，再由勾股定理表示出，即可得出答案．【解析】解：如圖，作軸且，連接，作軸于，，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，令，則，解得，令，，點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，，軸，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，則，是等腰直角三角形，，，，，在和中，，，，，，，，，三點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，都為，，，三點(diǎn)共線，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，，當(dāng)即時(shí)，最小，為，的最小值為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合程度較高，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．10．如圖，C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在同側(cè)分別作等邊和等邊，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)P，與交于點(diǎn)Q，連接，以下五個(gè)結(jié)論：①；②；③；④平分；⑤平分，恒成立的結(jié)論有（

）A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】B【分析】根據(jù)可得，則，因此結(jié)論①正確；根據(jù)可得，則，因此結(jié)論③正確；證明是等邊三角形，則可得，則可得，因此結(jié)論②正確；過C點(diǎn)作于F，于利用等面積法可得對(duì)應(yīng)高相等，再用角平分線的判定定理即可得平分，因此結(jié)論④正確；在和中，先證，由則可得，又由可得，因此結(jié)論⑤不正確．本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的判定和性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【解析】∵和都是等邊三角形，，，，，即，，，∴結(jié)論①正確；，．，，．又，，，∴結(jié)論③正確；，，是等邊三角形，，，，∴結(jié)論②正確；如圖，過C點(diǎn)作于F，于G，，，，，，∴C點(diǎn)在的平分線上，∴平分，∴結(jié)論④正確；，，，，又∵平分，，，，，即，∴不平分，∴結(jié)論⑤不正確；故選：B二、填空題11．如圖，是等邊三角形，，，則的度數(shù)為．【答案】30°/度【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出，由可得出為等腰直角三角形，進(jìn)而可得出及，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)即可得出結(jié)論．【解析】解：∵為等邊三角形，∴．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．故答案為：．12．如圖，中，，延長(zhǎng)至點(diǎn)D，使，連接AD，過點(diǎn)C作的垂線，交的平分線于點(diǎn)E，則的度數(shù)為．【答案】/55度【分析】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，先利用三線合一得出平分，平分，然后利用角平分線的判定與性質(zhì)可得出平分，求出，利用等邊對(duì)等角得出，，即可求解．【解析】解：過E作于H，作于G，于M，連接，∵平分，∴，∵，，∴平分，平分，∴，是的垂直平分線，∴，，又，，∴平分，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，即，∴，故答案為：．13．如圖直線與軸、軸分別交于點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)．如果在軸上存在一點(diǎn)，使等腰三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是；【答案】或或或【分析】本題考查兩直線的交點(diǎn)與二元一次方程組的解，等腰三角形的定義．聯(lián)立，求得A點(diǎn)坐標(biāo)；再分類討論，①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)和③當(dāng)時(shí)，分別畫出圖形即可得解．【解析】解：聯(lián)立，解得：，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為2,3；分類討論：①當(dāng)時(shí)，如圖點(diǎn)和點(diǎn)．∵，∴，∴，；②當(dāng)時(shí)，如圖點(diǎn)，過點(diǎn)A作軸于點(diǎn)Q．設(shè)，則，，在中，，∴，解得：，∴；③當(dāng)時(shí)，如圖點(diǎn)，∴，∴．

綜上可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為或或或．故答案為：或或或．14．如圖，中，的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F．點(diǎn)D在邊上，連接、，平分，若，則的面積為．【答案】7【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)得到，由三角形面積公式得到．過作于于，由角平分線的性質(zhì)推出，由三角形面積公式得到，求出，即可求出的面積．【解析】解：過作于于，平分平分，，，，，，，，的面積，故答案為：7．15．如圖，在中，，，以點(diǎn)A為圓心長(zhǎng)度2為半徑作弧，分別交邊于兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)度r為半徑作弧交于點(diǎn)F，連接并延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)G，點(diǎn)分別在邊上，且，．下列說法：①射線平分；②；③；④．正確的有：（填上所有符合要求的條件的序號(hào)）【答案】①④/④①【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作已知角的角平分線，角平分線的性質(zhì)，勾股定理．利用角平分線的作法，角平分線的性質(zhì)，30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可．【解析】解：①根據(jù)作圖痕跡知射線平分，故①說法正確；②因?yàn)槠椒郑?，，，，，，，故②說法錯(cuò)誤；③、，，，，，故③說法錯(cuò)誤；④、，，∴為等邊三角形，，，故④說法正確；故答案為：①④．16．如圖，邊長(zhǎng)為的等邊面積是，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【分析】本題考查軸對(duì)稱最短問題、平行線間的距離最短、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用軸對(duì)稱以及垂線段最短解決最短問題．作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過作于，則，的值最小，就是的長(zhǎng)，【解析】解：如圖示，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過作于，則，

∴，，∵在等邊中，，∴，∴∵邊長(zhǎng)為的等邊面積是，，，解得，，故當(dāng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)三點(diǎn)一線，并垂直于時(shí)，的最小值是；故答案為：．17．如圖，在等邊三角形中，，于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，沿所在直線折疊，使點(diǎn)C落在上的點(diǎn)處，當(dāng)是直角三角形時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】或【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得，由是直角三角形，分兩種情況討論：①若，②若，由直角三角形的性質(zhì)分別求解即可．【解析】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，由折疊可得，分兩種情況：①若，如圖所示：

∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理，可得，又∵，∴，∴，∴；②若，如圖所示：

∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為或．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的應(yīng)用，二次根式的運(yùn)算，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意分情況討論．18．如圖，在中，，分別以、和為邊在外部作等邊三角形、等邊三角形和等邊三角形，連接、和交于點(diǎn)P，則、、、中某三條線段存在等量關(guān)系是．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；證明，，可得，，求出，在上截取，連接，證明，再證，可得，進(jìn)而可得．【解析】解：∵，是等邊三角形，∴，，，∴，∴，∴，同理可得，∴，∵，∴，∵，∴，∴，同理可得，∴，如圖，在上截取，連接，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題19．如圖，在等邊三角形中，點(diǎn)D，E分別在邊，上，且，過點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：是等腰三角形；(3)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，等腰三角形的判定與性質(zhì)，比較基礎(chǔ)，難度不大．（1）根據(jù)是等邊三角形和平行線的性質(zhì)，可證，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為，即可求得．（2）根據(jù)題意易證，從而可得到，故此可證為等腰三角形．（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)，可得，然后由進(jìn)行求解即可．【解析】（1）解：∵是等邊三角形，∴．∵，∴，∵，∴，∴．（2）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰三角形．（3）解：由（1）可知，∴，又∵，∴，∴．20．如圖，在等邊中，D、E分別是、上的點(diǎn)，且，與交于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)作，垂足為G，求證：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，（1）由等邊三角形的性質(zhì)得，，再證出，進(jìn)而即可得解；（2）由，可得，由，可得，再由直角三角形的性質(zhì)即可得解； 熟練利用全等三角形的判定得出是解題關(guān)鍵．【解析】（1）解：是等邊三角形，，，在和中，，；（2）證明：，垂足為，，．，，∴．21．如圖所示，在中：(1)下列操作中，作的平分線的正確順序是（將序號(hào)按正確的順序?qū)懺跈M線上）．①分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作圓弧，在內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)P；②以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作圓弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；③畫射線，交于點(diǎn)D．(2)能說明的依據(jù)是（填序號(hào)）．①，②，③，④角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等(3)如圖，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，若，的面積是24，的周長(zhǎng)為12，求的長(zhǎng)．【答案】(1)②①③(2)①(3)【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的作法等知識(shí)點(diǎn)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作圖作角平分線的步驟解答即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理即可解答；（3）過D作，垂足為F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理以及等面積法得到，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式得到，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【解析】（1）解：作的平分線的正確順序是②①③，故答案為：②①③；（2）解：如圖：連接，在和中，，∴，∴，故答案為：①；（3）解：過D作，垂足為F，∵，，∴，解得：，∵平分，，，∴，∵，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得：，即．22．如圖，點(diǎn)在的平分線上，點(diǎn)分別在上，且．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)，分別交于點(diǎn)，連接，若平分，回答下列問題．①試說明平分；②若，，求點(diǎn)P到射線的距離．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②點(diǎn)P到射線的距離為2．【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)和判定，線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明，即可證明；（2）①過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，利用角平分線的性質(zhì)求得，即可證明平分；②先證明是線段的垂直平分線，利用三角形的面積公式求得，據(jù)此求解即可．【解析】（1）證明：∵點(diǎn)在的平分線上，∴，∵，，∴，∴；（2）解：①過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，∵點(diǎn)在的平分線上，∴，∵平分，∴，∴，∴平分；②由（1）得，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)恰好是與的交點(diǎn)，∵，，∴，∴，∴，即點(diǎn)P到射線的距離為2．23．如圖，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于射線對(duì)稱，連接．點(diǎn)為射線上任意一點(diǎn)，連接．將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接．(1)求證：直線是線段的垂直平分線；(2)點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)你直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)當(dāng)為鈍角時(shí)，；當(dāng)為銳角時(shí)，【分析】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明是解題的關(guān)鍵．（1）連接，，，可得為等邊三角形，再利用證明，得，從而證明結(jié)論；（2）分為鈍角和為銳角兩種情形，分別畫出圖形，即可得出答案．【解析】（1）證明：連接，，，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于射線對(duì)稱，，，，，，為等邊三角形，，，，則，在和中，，，，，，又，垂直平分；（2）解：解：如圖，當(dāng)為鈍角時(shí)，由（1）知，，如圖，當(dāng)為銳角時(shí)，，，．24．如圖，是等邊三角形，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度沿向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度沿折線向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．連接，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（秒）（）．(1)________，________；（用含x的式子表示）(2)當(dāng)是等邊三角形時(shí)，求x的值；(3)當(dāng)是等邊三角形時(shí)，x的值為________；(4)當(dāng)或?yàn)橹苯侨切螘r(shí)，直接寫出x的值．【答案】(1)(2)(3)(4)秒或2秒或秒【分析】本題考查了列代數(shù)式，等邊三角形的性質(zhì)與判定，30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的起點(diǎn)，以及運(yùn)動(dòng)的方向和速度進(jìn)行分類討論，再結(jié)合勾股定理列式化簡(jiǎn)，即可作答．（2）根據(jù)是等邊三角形，，得出，，結(jié)合是等邊三角形，，代入計(jì)算，即可作答．（3）因?yàn)槭堑冗吶切?，，所以，，再結(jié)合是等邊三角形，得，，代入計(jì)算，即可作答．（4）進(jìn)行分類討論，再結(jié)合30度所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，進(jìn)行列式計(jì)算，即可作答．【解析】（1）解：∵動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度沿向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以的速度沿折線向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．∴，過點(diǎn)B作,∵是等邊三角形，∴當(dāng)，則，則則則即故答案為：；（2）解：∵是等邊三角形，，∴，，∵是等邊三角形，∴，即，解得；（3）解：依題意，如圖所示：∵是等邊三角形，，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，解得，故答案為：；（4）解：∵是等邊三角形，，∴，，∵為直角三角形，∴或當(dāng)則，∴，即，解得；當(dāng)則，∴即解得；∵為直角三角形，∴或當(dāng)則∴，即，解得；當(dāng)則，∴，即，解得；綜上：當(dāng)或?yàn)橹苯侨切螘r(shí)，x的值為秒或2秒或秒．25．如圖，Aa,0、，且滿足．(1)如圖，直接寫出兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖，點(diǎn)在線段AB上（不與重合）移動(dòng)，，且，猜想線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；(3)如圖，若為軸上異于原點(diǎn)和點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，以線段為邊作等腰直角，使得，直線交軸，當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，線段和線段中，請(qǐng)判斷哪條線段長(zhǎng)為定值，并求出該定值．【答案】(1)，(2)，理由見解析(3)是定值，【分析】（）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答即可求解；（）如圖?，延長(zhǎng)DB至，使得，連接，證明得到，，即得，進(jìn)而可證，得到，據(jù)此即可求證；（）如圖，作于，在上截取，證明得到，進(jìn)而得到，即得到，得到，據(jù)此即可求解．【解析】（1）解：∵,∴，，∴，，∴，B0,3；（2）解：；理由如下：如圖，延長(zhǎng)DB至，使得，連接，由（）知：，B0,3，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在與中，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，在與中，，∴，

∴，∴；（3）解：是定值．如圖，作于，在上截取，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，在與中，∴，∴，∴，即，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全都三角形的判定和性質(zhì)，余角性質(zhì)，正確作出輔助線證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．26．如圖1，圖2，在和中，，，，與所在直線相交于點(diǎn)，于點(diǎn)．

(1)如圖1，連接，求證：平分；(2)如圖1，若，，則的長(zhǎng)為___________；(3)如圖2，若，，連接，交于點(diǎn)．①是否為線段的垂直平分線？并說明理由；②過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)