換元積分法教學課件

換元積分法一、第一類換元積分法

運用不定積分的線性運算法則和基本積分公式，可以求一些簡單函數的不定積分．為了求出一些更復雜函數的不定積分，我們來學習與復合函數求導法則相對應的積分方法．通常的做法是通過適當的變量代換，將某些比較復雜的被積函數變換成符合基本積分表中的形式，從而容易求出積分，這種積分的方法叫換元積分法．不定積分換元積分法通常分為第一類換元積分法和第二類換元積分法兩種．一、第一類換元積分法

例如，上節(jié)思考題中提到的積分：∫2xcosx2dx，觀察被積函數發(fā)現，不能用直接積分法積出，但被積表達式中的一部分2xdx如果湊微分變成dx2，再將積分變量換成變量u=x2,這樣被積表達式就和基本積分公式(7)相同了．因此，本題可這樣求解

上述這種解題方法的關鍵是將被積函數的一部分與dx湊微分，然后引入中間變量，把中間變量看成新的積分變量的情況下，被積函數就符合了基本積分公式的形式，利用積分公式求出結果，再把中間變量換回原變量即可，即如果不定積分∫g(x)dx不能直接利用基本積分公式求解，但被積函數g(x)可變形為g(x)=f［φ(x)］φ′(x)．作變量代換u=φ(x)，并將φ′(x)dx湊微分成dφ(x)，則可將關于變量x的積分轉化為關于變量u的積分，于是有∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．如果∫f(u)du可以求出，那么∫g(x)dx的問題也就解決了，這就是第一類換元積分法，又稱為湊微分法．一、第一類換元積分法定理1

(第一類換元積分法)若已知∫f(u)du=F(u)+C，并且u=φ(x)是可微函數，則有∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．(4-1)證因為∫f(u)du=F(u)+C，所以F′(u)=f(u)．根據復合函數的求導法則，得因此∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．證畢．一、第一類換元積分法解本題的關鍵是將2xdx湊微分得dx2，然后令u=x2，則【例1】解先將被積表達式中的sec2xdx湊微分得dtanx，然后令u=tanx，再積分，即【例2】一、第一類換元積分法【例3】一、第一類換元積分法（1）求不定積分的方法不唯一，不同方法算出的答案也不相同，但它們的導數都是被積函數，經過恒等變形后可以互化，其結果本質上只相差一個常數．（2）熟練掌握第一類換元積分法的運用以后，可以省略寫出引進變量u的步驟．注意一、第一類換元積分法

下面是常用的湊微分等式，請熟記，對以后解題大有幫助．一、第一類換元積分法

【例4】【例5】一、第一類換元積分法【例7】一、第一類換元積分法

解

被積函數中含有正弦函數且為偶次方，在計算這種積分時，往往要運用三角恒等式，將被積函數降冪轉化為積分公式表中所列的形式．本題利用半角公式sin2x=1－cos2x/2，將被積函數降為一次冪后再積分．【例8】一、第一類換元積分法【例9】【例10】一、第一類換元積分法【例11】當被積函數為兩個三角函數（正弦函數和余弦函數）的一次乘積時，一般要先積化和差再積分．注意一、第一類換元積分法【例12】一、第一類換元積分法

解凡是分母可以分解因式的分式，一般都需要先將復雜分式化成幾個最簡單的分式，再積分．由于【例13】一、第一類換元積分法【例14】一、第一類換元積分法

解

本題的關鍵是首先要把被積函數分母中的前一項變成1，將1/adx湊微分得d(x/a)，而后利用第二節(jié)中基本積分公式(12)．【例15】一、第一類換元積分法【例16】一、第一類換元積分法【例17】一、第一類換元積分法

類似地，有另一方面一、第一類換元積分法【例18】【例19】一、第一類換元積分法（1）使用湊微分法的重點在于如何“湊”出一個函數的微分．一方面要求熟悉一些常見函數的微分形式；另一方面對那些不常見的，則不妨從被積函數中拿出一個表達式來，求其導數，從而決定如何湊微分．（2）把式（4-2）~式（4-9）的結果擴充到本章第二節(jié)的基本積分公式表中，以后可以直接用．總結如下：注意一、第一類換元積分法

一、第一類換元積分法二、第二類換元積分法

第一類換元積分法(湊微分法)是通過變量代換u=φ(x)，將φ′(x)dx湊微分得到dφ(x),把∫f［φ(x)］φ′(x)dx轉化為∫f(u)du，從而易于積分．湊微分法能解決一部分積分問題，但是還有一類不定積分使用湊微分法卻不奏效，如∫11+xd和∫x2－9xd等這些被積函數含有根號的無理函數的積分問題．針對這些問題，如果我們做適當的變量代換將被積函數中的根號去掉，就能順利積分了，這就是第二類換元積分法的思想．詳細敘述成下面的定理．定理2(第二類換元積分法)若x=φ(t)單調可微且φ′(t)≠0，f［φ(t)］φ′(t)有原函數Φ(t)，則∫f(x)dx=∫f［φ(t)］φ′(t)dt=Φ(t)+C=Φ［ψ(x)］+C，即∫f(x)dx=Φ［ψ(x)］+C．（4-10）其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函數．二、第二類換元積分法證明由假設知：Φ′(t)=f［φ(t)］φ′(t)，利用復合函數和反函數求導法則，得下面舉例說明如何使用第二類換元積分法．二、第二類換元積分法【例20】二、第二類換元積分法

以上兩例是通過令nax+b=t

將被積函數有理化，如果被積函數中含有根指數不同的幾個根式，又該如何將被積函數有理化呢？請看下面例題．【例21】二、第二類換元積分法

解

被積函數中所含的兩個根式的根指數分別為2和3，最小公倍數為6，故應設

=t(t>0)，才能把被積函數中所含的兩個根式都去掉，則有【例22】二、第二類換元積分法【例23】二、第二類換元積分法

二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法

為了由假設x=asint方便地求出其他三角函數值，常作一輔助直角三角形（見圖4-2），由圖容易看出，這樣可以省去許多沒必要的計算．

利用三角公式消去根號的方法通常稱為三角代換法．（1）例20和例23的解答表明，使用第二類換元積分法往往要指明中間變量的取值范圍．只有這樣，才能保證將中間變量換回原變量時，有確定的函數關系．例如，例20中的t=x，例23中的，都是根據預先指明的中間變量的取值范圍，確定根號前的符號的．（2）第二類換元積分法是針對被積函數是無理數，即被積函數含有根式的情況，作變換x=x(t)后，可使被積函數去掉根式，達到有理化的目的．常用的變換如下：注意二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法【例24】二、第二類換元積分法二、第二類換元積分法【例25】二、第二類換元積分法

二、第二類換元積分法【例26】二、第二類換元積分法

二、第二類換元積分法式（4-11）~式（4-13）常?？梢援敼街苯佑茫钥梢蕴砑拥降交痉e分公式表中．注意二、第二類換元積分法

求下列不定積分【例27】二、第二類換元積分法一般的，當被積函數為分式，而分子的積分變元冪次低于分母的積分變元冪次減1時，可采用倒代換．由例27解法可知，我們在實際解題時，除常用的變量代換以外，要具體問題具體分析，采取靈活的代換，將被積函數有理化．二、第二類換元積分法