矩陣的運算教學(xué)課件

矩陣的運算矩陣的運算矩陣的基本運算一、

涉及運算，首先應(yīng)該明確的就是相等的概念，沒有相等就無法定義運算.下面首先給出兩個矩陣相等的定義.定義2-2設(shè)兩個矩陣分別為A=(aij)m1×n1，B=(bij)

m2×n2，則只有當(dāng)m1=m2=m，n1=n2=n且aij=bij（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）時，稱矩陣A與B相等，簡記為A=B.即對于兩個矩陣，只有當(dāng)它們的行數(shù)和列數(shù)均相同（形狀相同），且對應(yīng)位置的元素也均相等時，才稱這兩個矩陣相等.引入矩陣相等這個記號以后，用一個矩陣等式就可以表達很多的數(shù)量等式，即A=(aij)m1×n1=B=(bij)m2×n2意味著m1=m2，n1=n2且aij=bij（i=1,2,…,m；j=1,2,…,n）下面給出矩陣的一些基本運算：矩陣的加法、數(shù)與矩陣的乘法、矩陣的乘法.這些運算可以認為是矩陣之間的最基本的關(guān)系.提示矩陣的加法1.定義2-3則矩陣A與B的和，簡記為A+B，規(guī)定為只有形狀相同（具有相同的行數(shù)和列數(shù)）的兩個矩陣才能夠相加，并且兩個矩陣相加就是矩陣的對應(yīng)位置的元素相加，這就是說矩陣的加法歸結(jié)為其元素的加法（數(shù)的加法）.由于數(shù)的加法滿足結(jié)合律和交換律，因此，根據(jù)上面提示，矩陣也滿足如下運算規(guī)律：(1)結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C).(2)交換律：A+B=B+A.(3)A+O=O+A=A.提示其中A,B,C均為m×n矩陣，O為m×n零矩陣.由結(jié)合律和交換律，對于多個形狀相同的矩陣相加，我們可以任意調(diào)換矩陣的前后順序，也可以任意添加或去掉括號.因此，s個m×n矩陣A1,A2,…,As的和就可以簡記為A1+A2+…+As.特別地，三個m×n矩陣A,B,C相加，就可以記為A+B+C.定義2-4由此，可以定義矩陣的減法，規(guī)定A－B=A+(－B)

其中A,B均為m×n矩陣.也就是說，只有兩個形狀相同的矩陣才能夠相減，并且兩個矩陣相減就是矩陣的對應(yīng)位置的元素相減.顯然A－A=A+(－A)=O，－(－A)=A，A－O=A，O－A=－A.數(shù)與矩陣的乘法2.定義2-5設(shè)矩陣則數(shù)k與矩陣A的乘積，簡記成kA或Ak，規(guī)定為有時，也將數(shù)與矩陣的乘積簡稱為矩陣的數(shù)乘.數(shù)k與矩陣A的乘積得到的是一個和A形狀相同的矩陣，這個矩陣是把矩陣A的每一個元素都乘以數(shù)k.數(shù)與矩陣的乘積滿足如下運算規(guī)律：(1)分配律：(k+l)A=kA+lA，k(A+B)=kA+kB.(2)結(jié)合律：(kl)A=k(lA).其中A,B均為m×n矩陣，k,l為常數(shù).提示有了數(shù)與矩陣相乘的定義以后，我們就可以把標(biāo)量矩陣寫成diag

(δ,δ,…,δ)=δE的形式，其中E是單位矩陣，這就說明標(biāo)量矩陣就是某個數(shù)與單位矩陣相乘得到的矩陣.另外，矩陣A的負矩陣-A即為數(shù)－1與矩陣A的乘積－1A.通常將矩陣的加法和矩陣的數(shù)乘這兩種運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.矩陣的乘法3.下面先看一個例子——這是引入矩陣乘法的一個問題.設(shè)x1,x2；y1,y2,y3及z1,z2,z

3是三組變量，且x1,x2與y1,y2,y3之間有如下關(guān)系【例2-4】（2-6）而y1,y2,y3與z1,z2,z3之間有下面的關(guān)系將式（2-7）代入式（2-6），很容易得到x1,x2與z1,z2,z3的關(guān)系（2-7）（2-8）定義2-6設(shè)A=(aij)是一個m×n矩陣，B=(bij)是一個n×p矩陣，即（1）矩陣A與矩陣B的乘積C的第i行第j列（i=1,2,…,m；j=1,2,…,p）元素cij等于矩陣A的第i行的元素與矩陣B的第j列的對應(yīng)元素的乘積之和.（2）不是任意兩個矩陣都能相乘.只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣A的列數(shù)等于第二個矩陣B的行數(shù)時，兩個矩陣才能夠相乘.且當(dāng)兩個矩陣A與B能夠相乘時，得到的乘積矩陣AB的行數(shù)等于第一個矩陣A的行數(shù)，列數(shù)等于第二個矩陣B的列數(shù)，即Am×nBn×p=Cm×p.提示【例2-5】解由于矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)，因此乘積AB是有意義的，且AB是一個3行2列的矩陣.設(shè)乘積AB=C=(cij)，則cij的值就可以通過式（2-12）進行計算.于是【例2-7】通過這幾個例題，我們發(fā)現(xiàn)：矩陣的乘法不滿足交換律，即AB不一定等于BA.這是因為，只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣A的列數(shù)等于第二個矩陣B的行數(shù)時，矩陣A與B的乘積才有意義；而且，當(dāng)AB有意義時，BA不一定有意義（見【例2-5】）；當(dāng)AB與BA都有意義時，AB與BA未必是形狀相同的矩陣（見【例2-6】）；即使AB與BA都有意義且形狀也相同時，AB與BA也不一定相等（見【例2-7】）.另外，我們還發(fā)現(xiàn)：兩個不為零的矩陣相乘可以是零矩陣（見【例2-7】），也就是由AB=

O不能推出A=O或B=O.這是我們在數(shù)的乘法中不曾碰見過的，是矩陣乘法的一個特點.由此得到，消去律在矩陣乘法中不成立，即由AB=AC不一定能夠得到B=C.雖然，我們原來所熟知的關(guān)于數(shù)的運算規(guī)律（乘法的交換律、消去律）在矩陣中已經(jīng)不再成立，但是矩陣的乘法滿足如下的規(guī)律：(1)乘法結(jié)合律(AB)C=A(BC)（2-13）(2)乘法與加法的分配律A(B+C)=AB+AC（2-14）(B+C)A=BA+CA（2-15）(3)k(AB)=(kA)B=A(kB)（k是一個常數(shù)）.（2-16）其中涉及的矩陣乘法和加法均假定是有意義的.證（1）設(shè)A=(aij)

m×n，B=(bij)n×p，C=(cij)p×q，那么矩陣AB是m×p矩陣，BC是n×q矩陣.從而(AB)C和A(BC)均為m×q矩陣.下面證明這兩個矩陣對應(yīng)位置的元素是相等的.（2）和（3）的證明留給讀者.設(shè)A=(aij)

m×n是任意一個m×n矩陣，則有AEn=A，EmA=AAOn=Om×n，OmA=Om×n下面只給出前兩個等式的證明，后兩個等式是顯然的.事實上，AEn和EmA均為m×n矩陣，我們只需驗證它們第i行第j列的元素也為aij就可以了.設(shè)B=(bij)n×n=En，即于是AEn=AB的第i行第j列（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）的元素為因此AEn=A.同理，EmA=A.上面的討論說明，任何一個矩陣與單位矩陣E相乘都等于其本身，任何一個矩陣與零矩陣O相乘都是零矩陣.也就是說，在矩陣乘法中單位矩陣和零矩陣起到數(shù)的乘法中1和0的作用，這也是我們稱這個矩陣為單位矩陣和零矩陣的原因.仿照數(shù)的方冪，也可以定義矩陣的方冪.由于矩陣的乘法要求第一個矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)，因此只能對行數(shù)與列數(shù)相等的方陣來定義.設(shè)A是任意一個n階方陣，規(guī)定即Ar就是r個A相乘.由矩陣乘法的結(jié)合律，對于任意的正整數(shù)r,s，有ArAs=Ar+s，(Ar)s=Ars（2-17）給出了矩陣乘法的概念以后，就可以將線性方程組表示成矩陣形式.由矩陣的乘法，式（2-18）中的第i個方程稱為方程組（2-18）的增廣矩陣，記為.矩陣的轉(zhuǎn)置二、定義2-7將一個m×n矩陣的行與列互換（行變成列，列變成行）得到一個n×m矩陣稱之為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT.如果簡記A=(aij)m×n，AT=(aTij)n×m，那么aTij=aji，i=1,2,…,m;j=1,2,…,n

事實上，A的轉(zhuǎn)置矩陣AT的第i行第j列（i=1,2,…,n;j=1,2,…,m）的元素即為矩陣A的第j行第i列元素aji.引入了轉(zhuǎn)置的符號以后，我們就能夠理解：為什么用希臘字母α,β,…表示列矩陣（向量），而用符號αT,βT,…表示行矩陣（向量）.這是因為列矩陣（向量）的轉(zhuǎn)置矩陣恰好是行矩陣（向量）.矩陣的轉(zhuǎn)置滿足如下的規(guī)律：(1)(AT)T=A.(2)(A+B)

T=AT+BT.(3)(kA)

T=kAT（k是一個常數(shù)）.(4)(AB)T=BTAT.證明(1）將一個矩陣行列互換兩次，就還原成了最初的矩陣.（2）和（3）都是顯然的.下面證明(4）.設(shè)則AB是m×p矩陣，其轉(zhuǎn)置(AB)T是p×m矩陣.又因為AT是n×m矩陣，BT是p×n矩陣，即BT的列數(shù)與AT的行數(shù)是相等的，所以BTAT是有意義的，且是一個p×m矩陣.由矩陣轉(zhuǎn)置的定義知，矩陣(AB)T的第i行第j列（i=1,2,…,p;

j=

1,2,…,m）的元素是AB的第j行第i列元素，即為

.如果將A和B的轉(zhuǎn)置分別記為AT=(aTij)

n×m，BT=(bTij)

p×n

則有aTij=aji，i=1,2,…,n;j=1,2,…,mbTij=bji，i=1,2,…,p;j=1,2,…,n

于是BTAT的第i行第j列（i=1,2,…,p;j=1,2,…,m）的元素為BT的第i行與AT的第j列對應(yīng)元素相乘之和，即為因此(AB)

T和BTAT對應(yīng)位置的元素相等.從而(AB)

T=BTAT.也可以將規(guī)律（4）推廣到多個矩陣乘積的情形，即(A1A2…As)T=ATs…AT2AT1

這個公式只需要借助歸納法，并利用矩陣的結(jié)合律，很容易就可以得到.下面介紹與矩陣的轉(zhuǎn)置相關(guān)的兩類重要的矩陣.定義2-8設(shè)是一個n階方陣.如果AT=A，即aij=aji，i,j=1,2,…,n

則稱A為對稱矩陣；如果AT=－A，即aij=－aji，i,j=1,2,…,n

則稱A為反對稱矩陣.對稱矩陣的元素以矩陣的主對角線為對稱軸對應(yīng)相等；反對稱矩陣的元素以矩陣的主對角線為對稱軸對應(yīng)互為相反數(shù).值得注意的是，反對稱矩陣的主對角線元素全為0.提示證明：任意一個n階方陣都可以表示成一個對稱矩陣與一個反對稱矩陣的和.證明設(shè)A是一個n階方陣.顯然【例2-8】設(shè)A與B均為對稱矩陣，則AB是對稱矩陣的充分必要條件是AB=BA.證明充分性：設(shè)AB=BA.由于AT=A，BT=B，則有(AB)T=BTAT=BA=AB

由對稱矩陣的定義知，AB是對稱矩陣.必要性：設(shè)AB是對稱矩陣，即(AB)T=AB.又因為(AB)T=BTAT=BA.因此，AB=BA.【例2-9】方陣的行列式三、定義1-1設(shè)將由A的元素按照矩陣的位置關(guān)系所構(gòu)成的行列式，稱為方陣A的行列式，記為|A|或detA.雖然n階方陣和n階行列式均為n2個數(shù)的一個表達，但是我們必須注意它們的區(qū)別.這是兩個不同的概念，n階行列式是n2個數(shù)按照一定的運算法則所確定的數(shù)，而n階方陣是這n2個數(shù)按照一定的方式排成的矩形數(shù)陣.提示方陣的行列式滿足如下的運算規(guī)律：(1)|AT|=|A|.(2)|kA|=kn|A|.(3)|AB|=|A||B|.其中A,B均為n階方陣，k是一個常數(shù).證明(1）和(2）的證明比較簡單，留給讀者.下面證明(3）.設(shè)構(gòu)造2n階行列式可知D=|A‖B|.對于2n階行列式D，將第n+1行乘以a11加到第1行，將第n+2行乘以a12加到第1行，…，將第2n行