2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯縣高二上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省福州市閩侯縣高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．曲線與曲線（）的（

）A．長軸長相等 B．短軸長相等 C．離心率相等 D．焦距相等2．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且和是中的兩項(xiàng)，則（）A． B． C． D．3．已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的一條漸近線的斜率為2，且一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．4．設(shè)p為“”，q為“是等差數(shù)列”，則p是q的（）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．若直線與圓相離，則點(diǎn)（

）A．在圓外 B．在圓內(nèi)C．在圓上 D．位置不確定6．設(shè)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，分別為橢圓的左?右焦點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．8 B．7 C．6 D．47．設(shè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，若，則（

）A． B． C． D．28．已知為拋物線的焦點(diǎn)，的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，且為的重心.若的最大值為10，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A． B． C． D．10．已知直線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)不可能在直線上B．直線恒過點(diǎn)C．若點(diǎn)到直線的距離相等，則D．直線上恒存在點(diǎn)，滿足11．如圖，在三棱錐中，平面分別為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．存在，使得B．不存在點(diǎn)，使得C．的最小值為D．異面直線與所成角的余弦值為三、填空題（本大題共3小題）12．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.13．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知且，則.14．已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓，這個(gè)圓被稱為“蒙日?qǐng)A”，它的圓心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓及其蒙日?qǐng)A的離心率為，點(diǎn)分別為蒙日?qǐng)A與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，分別與相切于點(diǎn)，則四邊形與四邊形EFGH的面積的比值為.四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)為遞增的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求使成立的的最小值.16．如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，為的中點(diǎn).(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.17．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且在的準(zhǔn)線上的射影為.(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作斜率大于的直線與交于另一點(diǎn)，若的面積為3，求的方程.18．已知雙曲線的離心率為2，左?右焦點(diǎn)分別是是的右支上一點(diǎn)，的中點(diǎn)為，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），是的右頂點(diǎn)，是上兩點(diǎn)（均與點(diǎn)不重合）.(1)求的方程；(2)若不關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)對(duì)稱，且的中點(diǎn)為，證明：直線與直線的斜率之積為定值；(3)若不關(guān)于軸對(duì)稱，且，證明：直線過定點(diǎn).19．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，點(diǎn).若平面以為法向量且經(jīng)過點(diǎn)，則平面的點(diǎn)法式方程可表示為，一般式方程可表示為.(1)若平面，平面，直線為平面和平面的交線，求直線的方向向量（寫出一個(gè)即可）；(2)若三棱柱的三個(gè)側(cè)面所在平面分別記為，其中平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，平面，平面，求出點(diǎn)到平面的距離;(3)已知集合，記集合中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體的體積為，求和的值.

答案1．【正確答案】D【詳解】曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為；曲線表示焦點(diǎn)在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為.對(duì)照選項(xiàng)可知：焦距相等.故選：D.2．【正確答案】B【詳解】設(shè)，（，，為正整數(shù)），則，，即有，可得，解得，可得．故選：B．3．【正確答案】D【詳解】由題意，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，，即，利用可聯(lián)立求得，故雙曲線的方程為.故選：D.4．【正確答案】C【詳解】若p成立，即成立時(shí)，數(shù)列不一定為等差數(shù)列，例如，即充分性不成立，當(dāng)為等差數(shù)列，則由等差數(shù)列的性質(zhì)可知p成立，即必要性成立，所以p是q的必要不充分條件．故選：C．5．【正確答案】B【詳解】由題意，到的距離，即，所以在在圓內(nèi).故選：B6．【正確答案】B【詳解】如圖，連接,因，則，由圖知，當(dāng)三點(diǎn)共線，且點(diǎn)在之間時(shí)，的值最小，最小值為,此時(shí)，的最小值為.故選：B.7．【正確答案】A【詳解】對(duì)于等差數(shù)列，，所以是關(guān)于的不含常數(shù)項(xiàng)的二次多項(xiàng)式，同理，也是關(guān)于的不含常數(shù)項(xiàng)的二次多項(xiàng)式，因?yàn)椋栽O(shè)，，，故，，則.故選：A.8．【正確答案】D【詳解】如圖，作拋物線的準(zhǔn)線，分別過點(diǎn)作，垂足為，，設(shè)，則（*），因點(diǎn)為的重心，則，即，代入（*），可得，因點(diǎn)在拋物線上，故，故，依題，，解得.故選：D.9．【正確答案】ACD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，又等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，∴，解得，，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，∴，故C正確；，，∴，故D正確．故選：ACD．10．【正確答案】ABD【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)不可能在直線上，故A正確；B：直線方程可化為，所以直線恒過定點(diǎn)，故B正確；C：因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，所以，解得或，故C錯(cuò)誤；D：設(shè)，則，所以，整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為.又直線恒過定點(diǎn)，且，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以直線與圓恒有公共點(diǎn)，即直線上恒存在點(diǎn)，滿足，故D正確.故選：ABD11．【正確答案】BCD【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，E0,0,1，，，，所以，，，因?yàn)?，則，方程無解，故不存在、使得，故A錯(cuò)誤；因?yàn)槭蔷€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，所以，，所以，所以不存在點(diǎn)，使得，故B正確；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)取得最小值，即，故C正確；因?yàn)?，，所以，所以異面直線與所成角的余弦值為，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】【詳解】依題意，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故13．【正確答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，即，因?yàn)?，所以，所以，，則，又滿足上式，故，故．14．【正確答案】/【詳解】由題意得蒙日?qǐng)A為，則，，直線的方程為：，聯(lián)立得，，解得，，所以.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)5【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，因?yàn)?，且，所以，解得或（舍），?（2）由（1）可得：，若，則，解得：，故的最小值為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2).【詳解】（1）證明：，，.，，.平面，平面，又平面，.（2）解：四邊形是矩形，，平面，平面，，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸?軸?軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)平面的法向量為n=x,y,z則，令，可得，平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則，直線與平面所成角的正弦值為.17．【正確答案】(1)；(2).【詳解】（1）是上一點(diǎn)，，則，由拋物線的定義，知，，則，的方程為.（2）由（1），知.設(shè)直線，即，代入，整理得，，，又點(diǎn)到的距離為，，即，解得或（舍去），直線的方程為，即.18．【正確答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.【詳解】（1）設(shè)，連接.是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，則.又.，的方程為.（2）設(shè)且.的中點(diǎn)為，則，是上的兩點(diǎn)，①，②，①②，得，即，即，可得，，直線與直線的斜率之積為定值3.（3）易知，且不關(guān)于軸對(duì)稱，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，代入，整理得，，，，解得或（舍去），直線過定點(diǎn).19．【正確答案】(1)；(2)；(3)，.【詳解】（1）平面的法向量為，平面的法向量為，設(shè)平面與平面的交線的方向向量為，則，取，得，所以直線的一個(gè)方向向量為.（2）設(shè)平面，由平面經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，得，解得，即平面，記平面、、的法向量分別為：，設(shè)平面、的交