2024-2025學年遼寧省鞍山市高三上冊12月聯(lián)考數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年遼寧省鞍山市高三上學期12月聯(lián)考數(shù)學檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設全集，集合，，則集合中的元素個數(shù)有（）A．個 B．個 C．個 D．個2．已知，則下列說法一定正確的是（

）A． B．C． D．3．若，則的值為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．已知為等差數(shù)列的前項和，，，則的最小值為（

）A． B． C． D．6．過圓上的兩點分別作圓的切線，若兩切線的交點恰好在直線上，則的最小值為（

）A． B．3 C． D．7．某雕刻師在切割玉料時，切割出一塊如圖所示的三棱錐型邊料，測得在此三棱錐中，側面底面，且，該雕刻師計劃將其打磨成一顆球形玉珠，則磨成的球形玉珠的直徑的最大值為（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)，是的導函數(shù)，則下列說法錯誤的是（）A．“”是“為奇函數(shù)”的充要條件B．“”是“為增函數(shù)”的充要條件C．若不等式的解集為且，則的極小值為D．若、是方程的兩個不同的根，且，則或二、多選題（本大題共3小題）9．已知，，則（）A．的虛部為 B．是純虛數(shù)C．在復平面內所對應的點位于第一象限 D．10．已知在正方體中，，點，，分別在棱，和上，且，，，記平面與側面，底面的交線分別為，，則（）A．的長度為 B．的長度為C．的長度為 D．的長度為11．已知數(shù)列的首項為，且，則（）A．存在使數(shù)列為常數(shù)列B．存在使數(shù)列為遞增數(shù)列C．存在使數(shù)列為遞減數(shù)列D．存在使得恒成立三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，，則.13．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則.14．已知函數(shù)，若函數(shù)存在個零點，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求的值；(2)若，的面積為，求的周長．16．已知數(shù)列滿足，.(1)求證：為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和.17．在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進行翻折，使得平面，過點作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點，連接.

(1)求證：平面；(2)若，直線與平面所成角的正弦值為，求的值.18．已知的其中兩個頂點為，點為的重心，邊，上的兩條中線的長度之和為，記點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)過點作斜率存在且不為0的直線與相交于兩點，過原點且與直線垂直的直線與相交于兩點，記四邊形的面積為S，求的取值范圍.19．已知函數(shù).(1)求證：當時，；(2)求證：（）.

答案1．【正確答案】B【詳解】因為全集，，所以，，又因為，故.因此，集合中的元素個數(shù)為.故選：B.2．【正確答案】D【詳解】當時，，且，故，C項錯誤；因為，，所以，故B項錯誤；，故D項正確.故選：D.3．【正確答案】A【詳解】解：因為，所以，，故選：A4．【正確答案】C【詳解】令，因為且，則內層函數(shù)在上單調遞減，且，可得，因為函數(shù)且在區(qū)間上單調遞增，則外層函數(shù)為減函數(shù)，所以，，綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.5．【正確答案】D【分析】設的公差為，根據(jù)題意列出方程組，求得，得到和，進而求得答案.【詳解】設的公差為，因為，，可得，解得，所以，可得，所以當時，取得最小值.故選D.6．【正確答案】D【詳解】因為圓的方程為，所以圓心，半徑.因為是圓的兩條切線，所以，由圓的知識可知四點共圓，且，所以，又，所以當最小，即時，取得最小值，此時，所以.故選D.7．【正確答案】C【分析】利用等體積法求得三棱錐內切球的直徑，從而確定正確答案.【詳解】如圖，設的中點為，連接，因為，所以，所以，且，又側面底面且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以，由于平面，所以平面，又，所以，因為，所以．當球形玉珠為三棱錐的內切球時，球形玉珠的直徑最大．設三棱錐的表面積為，內切球的半徑為，則，又，

，故，所以，所以磨成的球形玉珠的直徑的最大值為．故選C.8．【正確答案】B【詳解】對于A選項，若函數(shù)為奇函數(shù)，則f?x且，所以，，即對任意的x∈R恒成立，則，可得，所以，“”是“為奇函數(shù)”的充要條件，A對；對于B選項，易得，因為函數(shù)為增函數(shù)，則，可得，所以，“”“”，若取，則成立，即“”“”，所以，“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件，B錯；對于C選項，因為不等式的解集為且，則、為方程的兩個根，設方程的第三個根為，則，若，則不等式的解集為，不合乎題意；若，則不等式的解集為，合乎題意；若，則不等式的解集為，不合乎題意；若，則不等式的解集為，不合乎題意；若，則不等式的解集為，不合乎題意.所以，，則，，列表如下：f增極大值減極小值增所以，函數(shù)的極小值為，C對；對于D選項，若、是方程的兩個不同的根，由韋達定理可得，，所以，，可得，由于，解得或，D對.故選：B.9．【正確答案】ABC【詳解】對于A選項，，所以，的虛部為，A對；對于B選項，為純虛數(shù)，B對；對于C選項，，所以，在復平面內所對應的點的坐標為，位于第一象限，C對；對于D選項，，所以，，，所以，，D錯.故選：ABC.10．【正確答案】AD【詳解】如圖所示，連接并延長交的延長線于，連接并延長交于點，交的延長線于點，連接，交于點，連接，則即為，即為，由，得，所以，，由，得，則，所以，故C錯誤，D項正確；由，得，又易知，得，所以，所以，故A項正確，B項錯，故選：AD.11．【正確答案】ABD【詳解】因為，所以，又，則，設，其中，所以，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，當時，，，故當使數(shù)列為常數(shù)列，故A正確；當時，由在上單調遞增，又，所以，故B正確；當時，由在上單調遞減，又，所以，又在上單調遞增且，所以，所以存在使得恒成立，即D正確；由上述分析可知，不存在使數(shù)列為遞減數(shù)列，故C錯誤.故選：ABD12．【正確答案】【詳解】由題意可得：，所以，故13．【正確答案】【詳解】由圖可知：，所以，可得：，又，所以，可得：，又，可得：，故14．【正確答案】【詳解】當時，，則，由f'x>0，可得；由f'所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則；當時，，，所以，函數(shù)在上單調遞增，因為函數(shù)存在個零點，令，可得，則直線與函數(shù)的圖象有個交點，如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖象有個交點，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：，且，可得，且，可知，可得.（2）由（1）可知：，，則，因為的面積為，可得，由余弦定理可得，即，可得，所以的周長為.16．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，所以，又，所以為等比數(shù)列，首項為1，公比為2.（2）由（1）知，故，所以，故，令，①則，其中，②得，故，所以.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)2【詳解】（1）證明.

在菱形中，，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面.因為分別為的中點，所以，，又，，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.（2）在菱形中，因為，所以和都是正三角形，取的中點，連接，則，又平面，所以，即兩兩垂直.以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則，則，.設平面的法向量為，則取，則.記直線與平面所成角為，則.，解得，即的值為2.18．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因為點為的重心，的邊上的兩條中線長度之和為，所以，故由橢圓的定義可知曲線是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點）.設分別為該橢圓的長半軸長?短半軸長?半焦距，所以，所以，所以的方程為.（2）設直線的方程為，聯(lián)立整理得，則，設，則，即，代入橢圓方程得，所以，則，所以.由對稱性知，又，所以.，又，所以的取值范圍為，故的取值范圍為.19．【正確答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）證明：因為，所以，且，．當時，設，，因為函數(shù)、在上均為減函數(shù)，則在內單調遞減，又因為，，所以，使得，且當時，；當時，.此時在內單調遞增，在內單調遞減，又，，故對任意的，，則在內單調遞增，所以.綜上，當時，得證；（2）證明：因為，所以，由（1）可得．接下來證明，其中，設，，設，因為