2-2-3-一元二次不等式的解法(人教B版2019必修第一冊(cè))

2.2.3一元二次不等式的解法溫故知新一元二次方程,一元二次函數(shù),一元二次不等式(1)一元二次方程因式分解法(十字相乘)公式法：(2)一元二次函數(shù)開口方向；對(duì)稱軸:頂點(diǎn)坐標(biāo)

我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式，稱為一元二次不等式.(3)一元二次不等式的定義：ax2+bx+c>0ax2+bx+c<0(a≠0)(a≠0)如：如何解一元二次不等式？二、一元二次不等式解法1.試一試:解一元二次不等式,(1)x2-x-6>0和(2)x2-x-6<0解：⑴x2-x-6>0(x-3)(x+2)>0∴x>3或x<-2∴不等式的解集為﹛x|x<-2或x>3﹜

⑵x2-x-6<0(x-3)(x+2)<0∴-2<x<3∴不等式的解集為﹛x|-2<x<3

﹜

(3)x2+x-1<0(3)x2+x-1<0?2.對(duì)“三個(gè)二次”的探究x2-x-6<0x2-x-6=0y=x2-x-6

分析.畫出函數(shù)y=x2-x-6的圖象，并根據(jù)圖象回答：

(1).相應(yīng)方程x2-x-6=0(2).當(dāng)y=0時(shí),x取

，

當(dāng)y>0時(shí),x取

，當(dāng)y<0時(shí),x取

.(3).由圖象寫出：不等式x2-x-6>0

的解集為

。不等式x2-x-6<0

的解集為

。x=-2或3x<-2或x>3-2<x<3﹛x|x<-2或x>3﹜﹛x|-2<x<3﹜yx0-23ooo

oy>0y>0y<0→(x+2)(x-3)=0的根x2-x-6<0

一元二次不等式x2-x-6=0

一元二次方程y=x2-x-6

一元二次函數(shù)“三個(gè)二次”的關(guān)系如下表(a>0)△=b2-4ac△>0△=0△<0

二次函數(shù)

y=ax2+bx+c

的圖象

二次方程ax2+bx+c=0

的根一元二次不等式ax2+bx+c>0

的解集

一元二次不等式ax2+bx+c<0

的解集有兩個(gè)不等實(shí)根x1≠x2有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2=無(wú)實(shí)根﹛x|x<x1或x>x2﹜{x|x∈R,x≠}R{x|x1<x<x2}φXY0x1XY0x1x2YX0φ例如：解不等式:x2－2x－15≥0解：∵x2－2x－15≥0

y-350x∴不等式的解集為:{x│x≤－3或x≥5}。。?！?x+3)(x-5)≥0∵△>0∴相應(yīng)的方程有兩個(gè)不同的實(shí)根練一練：

(1)x2+x-6>0(2)-x2+5x+6>0(3)x2+x-3<0{x│x<－3或x>2}{x│-1<x<6}解一元二次不等式的方法步驟是：(3)根據(jù)圖象寫出解集

步驟:(1)化成標(biāo)準(zhǔn)形式(a>0)：

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0

(2)求解方程，畫圖象；

方法：數(shù)形結(jié)合記憶：3.“取值”“小于取中間”“大于取兩邊”1.“化成標(biāo)準(zhǔn)型”

2.“解方程”→｝→

這張表是我們今后求解一元二次不等式的主要工具，必須熟練掌握，其關(guān)鍵是抓住相應(yīng)的二次函數(shù)的圖像。記憶口訣：大于0取兩邊，小于0取中間.(a>0且△>0)xyox1x2●●解一元二次不等式的步驟：①把二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；②解對(duì)應(yīng)的一元二次方程；③根據(jù)方程的根，結(jié)合不等號(hào)方向及二次函數(shù)圖象；④得出不等式的解集．兩邊同乘以-1即可化為

>0的情況課堂探究x1x2△=b2-4ac二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖像方程ax2+bx+c=0(a>0)的根ax2+bx+c>0（a>0）的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集x1(x2)△>0△=0△<0有兩個(gè)不相等實(shí)根x1,x2(x1<x2)﹛x|x<x1或x>x2﹜﹛x|x1<x<x2﹜有兩個(gè)相等實(shí)根x1=x2無(wú)實(shí)根﹛x|x≠x1﹜??R三個(gè)二次的關(guān)系分式不等式f(x)g(x)>0f(x)g(x)<0f(x)g(x)≥0且g(x)≠0f(x)g(x)<0或f(x)＝0[思路探索]將分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組．【例2】

分式不等式的解法規(guī)律方法

(1)解分式不等式關(guān)鍵是如何將它轉(zhuǎn)化為同解的整式不等式，化未知為已知．做題時(shí)要體會(huì)這種轉(zhuǎn)化的思想．(2)轉(zhuǎn)化的依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則，所以要將不等式一邊先化為零．一元高次不等式常用穿針引線法求解，其步驟要熟練掌握．另外，適合不等式的根在數(shù)軸上用“·”標(biāo)出，不適合的根用“?！保?/p>

簡(jiǎn)單高次不等式的解法分別令各個(gè)因式為零，可得根依次為－1,2,1，－4.在x軸上標(biāo)根，并從右上方引曲線可得圖如下：由上圖可得不等式的解集為{x|－4<x≤－1或x≥2}．【名師點(diǎn)評(píng)】

(1)解簡(jiǎn)單的高次不等式時(shí)要特別注意偶次方根要“穿而不過(guò)”，也就是要“反彈”起來(lái)．(2)對(duì)原不等式化簡(jiǎn)時(shí)，要化成右邊為0，左邊分解為乘積或商的形式。2．高次不等式的解法——穿根法穿根法不等式的步驟是：(1)將f(x)最高次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)；(2)將f(x)分解為若干個(gè)一次因式的積或二次不可分因式之積；(3)將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫曲線(注意重根情況，偶次方根穿而不過(guò)，奇次方根既穿又過(guò))；總結(jié)：奇過(guò)偶不過(guò)(4)根據(jù)曲線顯現(xiàn)出的f(x)值的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集．解

(1)各因式的根分別為0,1，－1，－2，其中1為二重根，－1為三重根．在x軸上標(biāo)根，并從右上方引曲線可得圖【訓(xùn)練】二次不等式的恒成立

例1

已知關(guān)于x下列不等式：(a-2)x2+(a-2)x+1試求a的取值范圍.≥0恒成立，≥0的解集為R恒為非負(fù)對(duì)任意x∈R都成立解：令y=(a-2)x2+(a-2)x+1,①當(dāng)a=2時(shí)，y=1符合題意；②當(dāng)a>2時(shí)，則△≤0，有2<a≤6；△＝(a-2)2-4(a-2)=(a-2)(a-6)③當(dāng)a<2時(shí)，則a∈｛｝；綜上，所求a的取值范圍為{a|2≤a≤6}.x2–ax–6a2<0例2

解關(guān)于x下列不等式：含參數(shù)的二次不等式解：原不等式可化為：(x–3a)(x+2a)

<0①當(dāng)a=0時(shí)，x2<0,無(wú)解；②當(dāng)a>0時(shí)，3a>

-2a，則有-2a<x<3a；③當(dāng)a<0時(shí)，3a<

-2a，則有3a<x<-2a.綜上，當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為空集；當(dāng)a>0時(shí)，原不等式的解集為{x|-2a<x<3a}；當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為{x|3a<x<-2a}.二次函數(shù)圖象的應(yīng)用例3

分別求使方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足下列條件的m值的集合：(1)兩根都大于0;(2)一個(gè)根大于0,另一個(gè)根小于0;(3)兩根都小于1;解：令f(x)=x2-mx-m+3且圖像與x軸相交x1x2X=m/2則△＝m2-4(-m+3)＝(m+6)(m-2)≥0得m≤-6或m≥2.二次函數(shù)圖象的應(yīng)用例3

分別求使方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足下列條件的m值的集合：(1)兩根都大于0;ox1x2X=m/2解：(1)∵兩根都大于0∴2≤

m<3.二次函數(shù)圖象的應(yīng)用例3

分別求使方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足下列條件的m值的集合：(2)一個(gè)根大于0,另一個(gè)根小于0;ox1x2X=m/2解：(2)∵一個(gè)根大于0,另一個(gè)根小于0;∴m>3.二次函數(shù)圖象的應(yīng)用例3

分別求使方程x2-mx-m+3=0的兩根滿足下列條件的m值的集合：(3)兩根都小于1;x1x2X=m/2解：(3)∵兩根都小于1∴m≤

-6.13.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是{x|-1/2＜x＜1/3}，則a+b=（2）關(guān)于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜-2或X＞1/2}，則關(guān)于x的不等式ax2-bx+c＜0的解集為：⑶對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，ax2+4x-1≥-2x2-a，對(duì)于任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為：4.當(dāng)m為何值時(shí)，