山東省德州市2024-2025學年高三上學期校際聯(lián)考（二）數(shù)學試題【含答案解析】

2024級校際聯(lián)考（二）數(shù)學學科試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求得集合,再根據(jù)交集定義求解．【詳解】，又，所以，故選：B．2.已知均為第一象限的角，那么是的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【詳解】均為第一象限的角，滿足，但，因此不充分；均為第一象限的角，滿足，但，因此不必要；所以選D.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性排除兩個選項，再由函數(shù)值的正負排除一個選項后得正確結(jié)論．【詳解】易知函數(shù)定義域是，又，故是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，排除CD，當時，，排除B，故選：A．4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷．【詳解】，且，，所以，故選：C．5.已知函數(shù)的圖象過點，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知求得得且是增函數(shù)，由復合函數(shù)單調(diào)性得在上遞減，且最小值大于0，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)可得參數(shù)范圍．【詳解】函數(shù)的圖象過點，則，解得，所以，它是增函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則在上遞減，且最小值大于0，所以，解得，故選：A．6.中國5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學原理之一便是香農(nóng)公式：，它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，將信噪比從2000提升至10000，則大約增加了（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知公式，將信噪比看作整體，分別取求出相應的值，再利用對數(shù)運算性質(zhì)與換底公式變形即可得解.【詳解】由題意，將信噪比從2000提升至10000，則最大信息傳遞速率從增加至，所以.故選：B.7.體育老師為了方便學生練習擲鉛球，在操場上畫了一塊扇環(huán)形區(qū)域（圖中陰影部分），其中和均以為圓心，．若，，且（表示弧長），則這塊扇環(huán)形區(qū)域的面積最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合扇形的弧長公式可得，再結(jié)合扇形面積公式及二次函數(shù)性質(zhì)可得最值.【詳解】由扇形弧長公式可得，即，又，所以，所以當時，最大為，故選：C.8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)．，且，恒有．若，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】已知不等式轉(zhuǎn)化后得出函數(shù)在上是增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為，然后由偶函數(shù)與單調(diào)性求解即可．【詳解】不妨設(shè)，所以，則fx所以，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又是偶函數(shù)，所以，即也是偶函數(shù)，則其在上單調(diào)遞減，因為，所以，則，所以，解之得x∈?1,1．故選：D二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上是減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性的定義和判定方法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)，以及復合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以為偶函數(shù)，又由函數(shù)在單調(diào)遞增，且，結(jié)合函數(shù)在定義域0,1單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，所以A正確；對于B中，函數(shù)定義域為，且f?x=fx，所以為偶函數(shù)，當時，可得為單調(diào)遞減函數(shù)，所以B正確；對于C中，由的定義域為，且f?x=fx，所以為偶函數(shù)，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且函數(shù)為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以C正確；對于D中，函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以D錯誤．故選：ABC．10.已知，，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由平方關(guān)系求得，從而確定可提范圍，再由平方關(guān)系求得，用方程組思想求得，最后由商數(shù)關(guān)系求得【詳解】由得，，又，，所以，所以，A正確；，D正確；結(jié)合可得，，B正確；，C不正確．故選：ABD．11.關(guān)于函數(shù)，實數(shù)，滿足，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】將函數(shù)化為分段函數(shù)形式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可判斷A，結(jié)合及基本不等式判斷B，利用表示出，結(jié)合范圍確定范圍判斷CD．【詳解】因為，當時，則，當時，則，所以的圖象如下所示：對于A，因為實數(shù)，滿足，且，即與y=fx圖象有兩個交點，由圖可知，故A正確；對于B，因為，所以，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，因為，所以等號不成立，即，則，所以，即，因為，所以，故B正確；對于C，當時，則，即，又，即，所以，即，又，所以，所以，則，又，所以，所以，即，故C錯誤；對于D，由C選項知，所以當時，所以，所以，所以，即，故D正確．故選：ABD．【點睛】方法點睛：本題考查方程根的分布問題，解題方法是把方程根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的（函數(shù)圖象）的交點問題，作出函數(shù)圖象后利用數(shù)形結(jié)合思想得出根與參數(shù)關(guān)系，從而求得結(jié)論．三、填空題（本題共3題，每小題5分，共15分）12.已知函數(shù)，則________．【答案】2025【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義及對數(shù)、指數(shù)的運算法則計算．【詳解】由已知，，，所以，故答案為：2025．13.定義運算，已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義確定的解析式，得出的最大值，然后解相應的不等式可得參數(shù)范圍．【詳解】由，得，因為函數(shù)和都是上的增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，又時，，所以方程有唯一解；函數(shù)和的圖象如下：根據(jù)，可得，函數(shù)的圖象如下：由恒成立，得恒成立，即，由圖可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；所以，則，解得或，則的取值范圍是故答案為：．14.已知，若方程有四個根，，，，且，則的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】方程的四個根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點的橫坐標，由圖象可得，，，然后結(jié)合勾形函數(shù)的性質(zhì)得所求取值范圍．【詳解】因為方程有四個根，，，，故函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點，它們的橫坐標分別為，，，，如圖所示，當時，，且，故，當時，，且，所以，解得，因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有四個交點，由圖可得，，故，所以，令，，在單調(diào)遞增，所以，，故的取值范圍是．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合運用，解題關(guān)鍵是把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與直線的交點的橫坐標，由數(shù)形結(jié)合思想得出根的關(guān)系與性質(zhì)．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在單位圓中，銳角的終邊與單位圓相交于點，連接圓心和得到射線，將射線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后與單位圓相交于點，其中．（1）求出的值和銳角的大??；（2）求的值；（3）記點的橫坐標為，若，求的值．【答案】（1），（2）1（3）【解析】【分析】（1）由單位圓與三角函數(shù)定義求解；（2）用誘導公式化簡后可得；（3）已知條件代入得，由同角三角函數(shù)關(guān)系得，再由誘導公式化簡后可得．【小問1詳解】由于點在單位圓上，且是銳角，可得，，則，所以，且為銳角，可得；【小問2詳解】；【小問3詳解】由（1）可知，根據(jù)三角函數(shù)定義可得：，因為，且，因此，所以．所以．16.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若，使成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）減函數(shù)，證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義求解；（2）由復合函數(shù)的單調(diào)性判斷，并用定義證明；（3）由奇偶性變形，由單調(diào)性化簡，然后分離參數(shù)轉(zhuǎn)化求函數(shù)最值．【小問1詳解】因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以f?x=?fx即，整理得恒成立，即．所以；【小問2詳解】函數(shù)在上是減函數(shù)，證明如下：由（1）可得，函數(shù)，任取，，，因為，所以，又，，所以，即，所以函數(shù)在上是減函數(shù)；【小問3詳解】因為存在，使成立，又因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以不等式可轉(zhuǎn)化為，因為函數(shù)在上是減函數(shù)，故，即，因為，因為，所以有最大值9，所以，故的取值范圍為：．17.已知函數(shù)．（1）當時，求的定義域及單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程在上有解，求的最小值．【答案】（1）定義域為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）由對數(shù)的真數(shù)大于0得定義域，由對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性得增區(qū)間；（2）問題為方程在有解且恒成立，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為，從而轉(zhuǎn)化為用基本不等式求的最小值即可得．【小問1詳解】當時，，令，即，解得或，所以函數(shù)的定義域為；因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在定義域上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；即的單調(diào)遞增區(qū)間為；【小問2詳解】因為關(guān)于的方程在0,2上有解，所以關(guān)于的方程在0,2上有解且恒成立，即在0,2上有解，因為，當且僅當，即時等號成立，又當時，注意到在0,2上恒成立，所以的最小值為．18.在國家大力推廣新能源汽車的背景下，各大車企紛紛加大對新能源汽車的研發(fā)投入．某車企研發(fā)部有100名研發(fā)人員，原年人均投入40萬元，現(xiàn)準備將這100名研發(fā)人員分成兩部分：燃油車研發(fā)部和新能源車研發(fā)部，其中燃油車研發(fā)部有名研究人員．調(diào)整后新能源車研發(fā)部的年人均投入比原來增加，而燃油車研發(fā)部的年人均投入調(diào)整為萬元．（1）若要使新能源車研發(fā)部的年總投入不低于調(diào)整前原100名研發(fā)人員的年總投入，求調(diào)整后新能源車研發(fā)人員最少為多少人？（2）若要使新能源車研發(fā)部的年總投入始終不低于燃油車研發(fā)部的年總投入，求正整數(shù)的最大值．【答案】（1）34；（2）6【解析】【分析】（1）列出新能源車研發(fā)部的年人均投入表達式，建立不等式，求得的最大值，即可得到調(diào)整后新能源車研發(fā)部最少的人數(shù)；（2）根據(jù)題意，列出不等式，解出含的取值范圍表達式，根據(jù)基本不等式，即可求得正整數(shù)的最大值.【小問1詳解】由題意，原100名研發(fā)人員年總投入為萬元，調(diào)整后新能源車研發(fā)部共有名研究人員，年人均投入為萬元，則有：，即：，所以，即燃油車研發(fā)部最多有66名研究人員，所以新能源車研發(fā)部人員最少為34人.【小問2詳解】要使新能源車研發(fā)部的年總投入始終不低于燃油車研發(fā)部的年總投入，則有：，即：，顯然，當且僅當即時，取“＝”，所以，即正整數(shù)的最大值為6.19.對于函數(shù)，若其定義域內(nèi)存在實數(shù)滿足，則稱為“偽奇函數(shù)”．（1）已知函數(shù)，試問是否為“偽奇函數(shù)”？說明理由；（2）若冪函數(shù)使得為定義在上的“偽奇函數(shù)”，試求實數(shù)的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)，使得是定義在上的“偽奇函數(shù)”，若存在，試求實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）不是，理由見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）先假設(shè)為“偽奇函數(shù)”，然后推導出矛盾的結(jié)論即可得證；（2）由冪函數(shù)定義求得解析式，然后將問題轉(zhuǎn)化為“在上有解”，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域以及對勾函數(shù)的單調(diào)性求解出的取值范圍；（3）將問題轉(zhuǎn)化為“”在R上有解，然后通過換元法，結(jié)合二次函數(shù)的零點分布知識求解．【小問1詳解】假設(shè)為“偽奇函數(shù)”，∴存在滿足f?x=?fx∴有解，化為，無解，不“偽奇函數(shù)”；【小問2詳解】為冪函數(shù)，∴，∴．∴，∵為定義在的“偽奇函數(shù)”，∴在上有解，∴在上有解，令，∴在上有解，又對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)