高中數(shù)學(xué)【統(tǒng)計與統(tǒng)計案例】專題練習(xí)

高中數(shù)學(xué)【統(tǒng)計與統(tǒng)計案例】專題練習(xí)1.(多選)下列統(tǒng)計量中，能度量樣本x1，x2，…，xn的離散程度的是()A.樣本x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本x1，x2，…，xn的中位數(shù)C.樣本x1，x2，…，xn的極差D.樣本x1，x2，…，xn的平均數(shù)答案AC解析由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢；故選AC.2.某廠研制了一種生產(chǎn)高精產(chǎn)品的設(shè)備，為檢驗新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的某項指標(biāo)有無提高，用一臺舊設(shè)備和一臺新設(shè)備各生產(chǎn)了10件產(chǎn)品，得到各件產(chǎn)品該項指標(biāo)數(shù)據(jù)如下：舊設(shè)備9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新設(shè)備10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5舊設(shè)備和新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的樣本平均數(shù)分別記為eq\o(x,\s\up6(－))和eq\o(y,\s\up6(－))，樣本方差分別記為seq\o\al(2,1)和seq\o\al(2,2).(1)求eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))，seq\o\al(2,1)，seq\o\al(2,2)；(2)判斷新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備是否有顯著提高(如果eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))≥2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))，則認(rèn)為新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高，否則不認(rèn)為有顯著提高).解(1)eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(9.8＋10.3＋10.0＋10.2＋9.9＋9.8＋10.0＋10.1＋10.2＋9.7,10)＝10，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(10.1＋10.4＋10.1＋10.0＋10.1＋10.3＋10.6＋10.5＋10.4＋10.5,10)＝10.3，seq\o\al(2,1)＝eq\f(0.22＋0.32＋0＋0.22＋0.12＋0.22＋0＋0.12＋0.22＋0.32,10)＝0.036，seq\o\al(2,2)＝eq\f(0.22＋0.12＋0.22＋0.32＋0.22＋0＋0.32＋0.22＋0.12＋0.22,10)＝0.04.(2)由(1)知，eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))＝0.3；2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))＝2eq\r(\f(0.036＋0.04,10))＝2eq\r(0.0076).又(eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝0.09>(2eq\r(0.0076))2＝0.0304，則eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(x,\s\up6(－))>2eq\r(\f(seq\o\al(2,1)＋seq\o\al(2,2),10))，所以新設(shè)備生產(chǎn)產(chǎn)品的該項指標(biāo)的均值較舊設(shè)備有顯著提高.3.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得eq\o(∑,\s\up10(20),\s\do8(i＝1))xi＝60，eq\o(∑,\s\up10(20),\s\do8(i＝1))yi＝1200，eq\o(∑,\s\up10(20),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝80，eq\o(∑,\s\up10(20),\s\do8(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2＝9000，eq\o(∑,\s\up10(20),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.附：相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))，eq\r(2)≈1.414.解(1)由已知得樣本平均數(shù)eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,20)eq\o(∑,\s\up10(20),\s\do8(i＝1))yi＝60，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200＝12000.(2)樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up10(20),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\r(\o(∑,\s\up10(20),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2\o(∑,\s\up10(20),\s\do8(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分層隨機抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進(jìn)行分層隨機抽樣.理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)性.由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用分層隨機抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.1.抽樣方法抽樣方法包括簡單隨機抽樣、分層隨機抽樣，兩種抽樣方法都是等概率抽樣，體現(xiàn)了抽樣的公平性，但又各有其特點和適用范圍.2.統(tǒng)計中的五個數(shù)據(jù)特征(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).(2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小順序排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù)，就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn).(4)第p百分位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)(共n個)按從小到大排列，計算i＝n×p%，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).(5)方差與標(biāo)準(zhǔn)差.s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]，s＝eq\r(\f(1,n)[（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2]).3.頻率分布直方圖的兩個結(jié)論(1)小長方形的面積＝組距×eq\f(頻率,組距)＝頻率.(2)各小長方形的面積之和等于1.4.回歸分析與獨立性檢驗(1)回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))經(jīng)過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，若x取某一個值代入回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中，可求出y的估計值.(2)獨立性檢驗對于取值分別是{x1，x2}和{y1，y2}的分類變量X和Y，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是：XY合計y1y2x1aba＋bx2cdc＋d合計a＋cb＋dn則χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量).熱點一用樣本估計總體考向1數(shù)字特征與統(tǒng)計圖表的應(yīng)用【例1】(1)空氣質(zhì)量指數(shù)分為六級，指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對人體危害越大，其中指數(shù)范圍[0，50]，[51，100]，[101，150]，[151，200]，[201，300]分別對應(yīng)“優(yōu)”“良”“輕度污染”“中度污染”“重度污染”五個等級.如圖是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，下列說法不正確的是()A.這14天中有4天空氣質(zhì)量為“良”B.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103C.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小的是9日到11日(2)2020年我國突發(fā)新冠肺炎疫情，疫情期間中小學(xué)生“停課不停學(xué)”.已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)情況如甲圖所示，各學(xué)段學(xué)生在疫情期間“家務(wù)勞動”的參與率如乙圖所示.為了進(jìn)一步了解該地區(qū)中小學(xué)生參與“家務(wù)勞動”的情況，現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則抽取的樣本容量、抽取的高中生中參與“家務(wù)勞動”的人數(shù)分別為()A.2750，200 B.2750，110C.1120，110 D.1120，200答案(1)B(2)C解析(1)在這14天中，1日、3日、12日、13日的空氣質(zhì)量為良，共4天，故A正確.14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)為eq\f(86＋121,2)＝103.5，故B錯誤.從2日到5日，空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，C正確.觀察題圖可得，9日至11日空氣質(zhì)量指數(shù)偏差最小，因此方差最小，D正確.綜上知，說法不正確的是B.(2)學(xué)生總數(shù)為15500＋5000＋7500＝28000(人)，由于抽取4%的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則抽取的樣本容量為28000×4%＝1120.故高中生應(yīng)抽取的人數(shù)為5000×4%＝200，而抽取的高中生中參與“家務(wù)勞動”的比率為0.55，故抽取的高中生中參與“家務(wù)勞動”的人數(shù)為200×0.55＝110.探究提高1.解題的關(guān)鍵是理解統(tǒng)計圖表的含義，從中提取數(shù)字信息，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)描述數(shù)據(jù)的集中趨勢，方差與標(biāo)準(zhǔn)差描述數(shù)據(jù)的波動大小，標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小，越穩(wěn)定.2.進(jìn)行分層隨機抽樣的相關(guān)計算時，常用到的兩個關(guān)系：(1)eq\f(樣本容量n,總體的個數(shù)N)＝eq\f(該層抽取的個體數(shù),該層的個體數(shù))；(2)總體中某兩層的個體數(shù)之比等于樣本中這兩層抽取的個體數(shù)之比.【訓(xùn)練1】(1)以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學(xué)競賽決賽的15人的成績：(單位：分)78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，則這15人成績的第80百分位數(shù)是()A.90 B.90.5 C.91 D.91.5(2)(多選)2020年上半年，中國養(yǎng)豬企業(yè)受豬價高位的利好影響，大多收獲史上最佳半年報業(yè)績，部分企業(yè)半年報營業(yè)收入同比增長超過1倍.某養(yǎng)豬場抓住機遇，加大了生豬養(yǎng)殖規(guī)模，為了檢測生豬的養(yǎng)殖情況，該養(yǎng)豬場對2000頭生豬的體重(單位：kg)進(jìn)行了統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是()A.這2000頭生豬體重的眾數(shù)為160kgB.這2000頭生豬中體重不低于200kg的有80頭C.這2000頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間[140，160)內(nèi)D.這2000頭生豬體重的平均數(shù)為152.8kg答案(1)B(2)BCD解析(1)把成績按從小到大的順序排列為：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因為15×80%＝12，所以這15人成績的第80百分位數(shù)是eq\f(90＋91,2)＝90.5.(2)由頻率分布直方圖可知，[140，160)這一組的數(shù)據(jù)對應(yīng)的小長方形最高，所以這2000頭生豬的體重的眾數(shù)為150kg，A錯誤；這2000頭生豬中體重不低于200kg的有0.002×20×2000＝80(頭)，B正確；因為生豬的體重在[80，140)內(nèi)的頻率為(0.001＋0.004＋0.01)×20＝0.3，在[140，160)內(nèi)的頻率為0.016×20＝0.32，且0.3＋0.32＝0.62>0.5，所以這2000頭生豬體重的中位數(shù)落在區(qū)間[140，160)內(nèi)，C正確；這2000頭生豬體重的平均數(shù)為(0.001×90＋0.004×110＋0.01×130＋0.016×150＋0.012×170＋0.005×190＋0.002×210)×20＝152.8(kg)，D正確.考向2用樣本的頻率分布估計總體分布【例2】為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0.70.(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；(2)分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表).解(1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計值為2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙離子殘留百分比的平均值的估計值為3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.探究提高1.平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對數(shù)據(jù)的一種簡明描述，它們所反映的情況有著重要的實際意義.2.在例2中，抓住頻率分布直方圖各小長方形的面積之和為1，這是求解的關(guān)鍵；本題易混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當(dāng)成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯.【訓(xùn)練2】(多選)為了更好地支持中小型企業(yè)的發(fā)展，某市決定對部分企業(yè)的稅收進(jìn)行適當(dāng)?shù)臏p免，現(xiàn)調(diào)查了當(dāng)?shù)?00家中小型企業(yè)年收入(單位：萬元)情況，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結(jié)論正確的是()A.樣本在區(qū)間[500，700]內(nèi)的頻數(shù)為18B.如果規(guī)定年收入在300萬元以內(nèi)的企業(yè)才能享受減免稅收政策，估計有30%的當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)能享受到減免稅收政策C.樣本的中位數(shù)大于350萬元D.可估計當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)超過400萬元(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)答案ABC解析依題意，(0.001＋0.002＋0.0026×2＋a＋0.0004)×100＝1，所以a＝0.0014.對于A，樣本在[500，700]內(nèi)的頻率為(0.0014＋0.0004)×100＝0.18，故頻數(shù)為0.18×100＝18，故A正確.對于B，年收入在300萬元以內(nèi)的頻率為(0.001＋0.002)×100＝0.3，故B正確.對于C，設(shè)樣本的中位數(shù)為x，易知中位數(shù)位于[300，400]內(nèi)，則0.3＋(x－300)×0.0026＝0.5，解得x≈376.9，376.9>350，故C正確.因為樣本的平均數(shù)為150×0.1＋250×0.2＋350×0.26＋450×0.26＋550×0.14＋650×0.04＝376<400，所以估計當(dāng)?shù)刂行⌒推髽I(yè)年收入的平均數(shù)小于400萬元，故D錯誤.熱點二回歸分析【例3】某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到如圖所示散點圖及一些統(tǒng)計量的值.eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(w,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do8(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))2eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do8(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do8(i＝1))(wi－eq\o(w,\s\up6(－)))·(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))46.65636.8289.81.61469108.8表中wi＝eq\r(xi)，eq\o(w,\s\up6(－))＝eq\f(1,8)eq\o(∑,\s\up10(8),\s\do8(i＝1))wi.(1)根據(jù)散點圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋deq\r(x)哪一個更適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程.(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：①年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為：eq\o(β,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）（vi－\o(v,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（ui－\o(u,\s\up6(－))）2)，eq\o(α,\s\up6(^))＝eq\o(v,\s\up6(－))－eq\o(β,\s\up6(^))eq\o(u,\s\up6(－)).解(1)由散點圖可以判斷，y＝c＋deq\r(x)更適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程.(2)易知w＝eq\r(x)，則eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(d,\s\up6(^))w＋eq\o(c,\s\up6(^)).由題意得eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(8),\s\do8(i＝1))（wi－\o(w,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up10(8),\s\do8(i＝1))（wi－\o(w,\s\up6(－))）2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，所以eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(d,\s\up6(^))eq\o(w,\s\up6(－))＝563－68×6.8＝100.6.所以y關(guān)于w的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，所以y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時，年銷售量y的預(yù)報值為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的預(yù)報值為eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的預(yù)報值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12，所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值.故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預(yù)報值最大.探究提高1.求回歸直線方程的關(guān)鍵及實際應(yīng)用(1)關(guān)鍵：正確理解eq\o(b,\s\up6(^))，eq\o(a,\s\up6(^))的計算公式并準(zhǔn)確地計算.(2)實際應(yīng)用：在分析實際中兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點圖來確定兩個變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過線性回歸方程估計和預(yù)測變量的值.2.相關(guān)系數(shù)(1)當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān).(2)當(dāng)|r|>0.75時，認(rèn)為兩個變量具有較強的線性相關(guān)關(guān)系.【訓(xùn)練3】(多選)我國5G技術(shù)研發(fā)試驗在2016～2018年進(jìn)行，分為5G關(guān)鍵技術(shù)試驗、5G技術(shù)方案驗證和5G系統(tǒng)驗證三個階段.2020年初以來，5G技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G手機的銷量也逐漸上升.某手機商城統(tǒng)計了2021年5個月5G手機的實際銷量，如下表所示：月份2021年1月2021年2月2021年3月2021年4月2021年5月月份編號x12345銷量y/部5096a185227若y與x線性相關(guān)，且求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝45x＋5，則下列說法正確的是()A.a＝142B.y與x正相關(guān)C.y與x的相關(guān)系數(shù)為負(fù)數(shù)D.2021年7月該手機商城的5G手機銷量約為365部答案AB解析eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(50＋96＋a＋185＋227,5)＝eq\f(558＋a,5)，因為點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))在回歸直線上，所以eq\f(558＋a,5)＝45×3＋5，解得a＝142，所以選項A正確；從表格數(shù)據(jù)看，y隨x的增大而增大，所以y與x正相關(guān)，所以選項B正確；因為y與x正相關(guān)，所以y與x的相關(guān)系數(shù)為正數(shù)，所以選項C錯誤；2021年7月對應(yīng)的月份編號x＝7，當(dāng)x＝7時，eq\o(y,\s\up6(^))＝45×7＋5＝320，所以2021年7月該手機商城的5G手機銷量約為320部，所以選項D錯誤.故選AB.熱點三獨立性檢驗【例4】為加強環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：μg/m3)，得下表：SO2PM2.5[0，50)[50，150)[150，475] [0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：PM2.5濃度SO2濃度合計[0，150)[150，475][0，75](75，115]合計(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，能否認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解(1)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的天數(shù)為32＋18＋6＋8＝64，因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150的概率的估計值為eq\f(64,100)＝0.64.(2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：PM2.5濃度SO2濃度合計[0，150)[150，475][0，75]641680(75，115]101020合計7426100(3)零假設(shè)為H0：該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān)．根據(jù)(2)的列聯(lián)表得χ2＝eq\f(100×（64×10－16×10）2,80×20×74×26)≈7.484>6.635＝x0.01.根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.探究提高1.獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，計算χ2的值；(3)查表比較χ2與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計判斷．2．χ2的值越大，對應(yīng)假設(shè)事件H0成立(兩類變量相互獨立)的概率越小，H0不成立的概率越大．【訓(xùn)練4】甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：機床級別合計一級品二級品甲15050200乙12080200合計270130400(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少？(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，能否認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異？附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解(1)根據(jù)2×2列聯(lián)表知：甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為eq\f(150,200)＝75%，乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為eq\f(120,200)＝60%.(2)零假設(shè)為H0：甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量沒有差異．由2×2列聯(lián)表，得χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)＝eq\f(400×（150×80－120×50）2,270×130×200×200)＝eq\f(400,39)≈10.256>6.635＝x0.01.根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.一、選擇題1.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的方差為0.01，則數(shù)據(jù)10x1，10x2，…，10xn的方差為()A.0.01 B.0.1C.1 D.10答案C解析10x1，10x2，…，10xn的方差為102×0.01＝1.2.為了研究某班學(xué)生的腳長x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學(xué)生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).已知eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝225，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝1600，eq\o(b,\s\up6(^))＝4.該班某學(xué)生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為()A.160 B.163C.166 D.170答案C解析∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xi＝eq\f(1,10)×225＝22.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,10)eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))yi＝160，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝160－4×22.5＝70，∴回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝4x＋70.因此估計其身高eq\o(y,\s\up6(^))＝4×24＋70＝166.3.從一批零件中抽取80個，測量其直徑(單位：mm)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間[5.43，5.47)內(nèi)的個數(shù)為()A.10 B.18C.20 D.36答案B解析因為直徑落在區(qū)間[5.43，5.47)內(nèi)的頻率為0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以零件的個數(shù)為0.225×80＝18.4.某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達(dá)圖.圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃.下面敘述不正確的是()A.各月的平均最低氣溫都在0℃以上B.七月的平均溫差比一月的平均溫差大C.三月和十一月的平均最高氣溫基本相同D.平均最高氣溫高于20℃的月份有5個答案D解析由雷達(dá)圖易知A，C正確；七月的平均最高氣溫超過20℃，平均最低氣溫約為12℃，一月的平均最高氣溫約為6℃，平均最低氣溫約為2℃，所以七月的平均溫差比一月的平均溫差大，B正確；由雷達(dá)圖知平均最高氣溫超過20℃的月份有3個月，D錯誤.5.(多選)5G時代已經(jīng)到來，5G的發(fā)展將直接帶動包括運營、制造、服務(wù)在內(nèi)的通信行業(yè)整體的快速發(fā)展，進(jìn)而對GDP增長產(chǎn)生直接貢獻(xiàn)，并通過產(chǎn)業(yè)間的關(guān)聯(lián)效應(yīng)，間接帶動國民經(jīng)濟各行業(yè)的發(fā)展，創(chuàng)造出更多的經(jīng)濟增加值.如圖，某單位結(jié)合近年數(shù)據(jù)，對今后幾年的5G經(jīng)濟產(chǎn)出作出預(yù)測.由上圖提供的信息可知()A.運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加B.設(shè)備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)出前期增長較快，后期放緩C.設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟產(chǎn)出中一直處于領(lǐng)先地位D.信息服務(wù)商與運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出的差距有逐步拉大的趨勢答案ABD解析對于A，由圖知，運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出逐年增加，故A正確；對于B，由圖知，設(shè)備制造商的經(jīng)濟產(chǎn)出在2020～2023年間增長較快，后幾年增長逐漸趨于平緩，故B正確；對于C，由圖可知，設(shè)備制造商在各年的總經(jīng)濟產(chǎn)出中在前期處于領(lǐng)先地位，而后期是信息服務(wù)商處于領(lǐng)先地位，故C錯誤；對于D，由圖知，在2020～2025年間信息服務(wù)商與運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出的差距不大，后幾年中信息服務(wù)商的經(jīng)濟產(chǎn)出增長速度明顯高于運營商的經(jīng)濟產(chǎn)出增長速度，兩者間的差距有逐步拉大的趨勢，故D正確.綜上所述，選ABD.6.已知某7個數(shù)的平均數(shù)為4，方差為2，現(xiàn)加入一個新數(shù)據(jù)4，此時這8個數(shù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2，則()A.eq\o(x,\s\up6(－))＝4，s2<2 B.eq\o(x,\s\up6(－))＝4，s2>2C.eq\o(x,\s\up6(－))>4，s2<2 D.eq\o(x,\s\up6(－))>4，s2>2答案A解析∵某7個數(shù)的平均數(shù)為4，∴這7個數(shù)的和為4×7＝28.∵加入一個新數(shù)據(jù)4，∴eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(28＋4,8)＝4.又∵這7個數(shù)的方差為2，且加入一個新數(shù)據(jù)4，∴這8個數(shù)的方差s2＝eq\f(7×2＋（4－4）2,8)＝eq\f(7,4)<2，故選A.二、填空題7．給出如下列聯(lián)表高血壓患病合計心臟病其他病是201030非305080合計5060110根據(jù)獨立性檢驗，__________在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“高血壓與患心臟病有關(guān)”(填“能”或“不能”)．答案能解析零假設(shè)為H0：高血壓與患心臟病無關(guān)．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得χ2＝eq\f(110×（20×50－10×30）2,30×80×50×60)≈7.486＞6.635＝x0.01，根據(jù)小概率值α＝0.01的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為高血壓與患心臟病有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不超過0.01，即能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為高血壓與患心臟病有關(guān)．8.為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學(xué)隨機抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試，測試成績(單位：分)如圖所示，假設(shè)得分值的中位數(shù)為me，眾數(shù)為m0，平均值為eq\o(x,\s\up6(－))，則me，m0與eq\o(x,\s\up6(－))的大小關(guān)系是________.答案m0<me<eq\o(x,\s\up6(－))解析由圖可知，30名學(xué)生的得分情況依次為得3分的有2人，得4分的有3人，得5分的有10人，得6分的有6人，得7分的有3人，得8分的有2人，得9分的有2人，得10分的有2人.中位數(shù)為第15、16個數(shù)(分別為5、6)的平均數(shù)，即me＝5.5.5出現(xiàn)的次數(shù)最多，故m0＝5，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)≈5.97.于是得m0<me<eq\o(x,\s\up6(－)).9.下面的折線圖給出的是甲、乙兩只股票在某年中每月的收盤價格，已知股票甲的極差是6.88元，標(biāo)準(zhǔn)差為2.04元；股票乙的極差為27.47元，標(biāo)準(zhǔn)差為9.63元，根據(jù)這兩只股票在這一年中的波動程度，給出下列結(jié)論：①股票甲在這一年中波動相對較小，表現(xiàn)的更加穩(wěn)定；②購買股票乙風(fēng)險高但可能獲得高回報；③股票甲的走勢相對平穩(wěn)，股票乙的收盤價格波動較大；④兩只股票在全年都處于上升趨勢.其中正確的結(jié)論是________(填序號).答案①②③解析由題意可知，甲的標(biāo)準(zhǔn)差為2.04元，乙的標(biāo)準(zhǔn)差為9.63元，可知股票甲在這一年中波動相對較小，表現(xiàn)的更加穩(wěn)定，故①正確；甲的極差是6.88元，乙的極差為27.47元，可知購買股票乙風(fēng)險高但可能獲得高回報，故②正確；通過折線圖可知股票甲的走勢相對平穩(wěn)，股票乙的收盤價格波動較大，故③正確；通過折線圖可得乙在6月到8月明顯是下降趨勢，故④錯誤.三、解答題10．某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：性別對該商場的服務(wù)合計滿意不滿意男401050女302050合計7030100(1)分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；(2)依據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨立性檢驗，能否認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828解(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為eq\f(40,50)＝0.8，因此男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為eq\f(30,50)＝0.6，因此女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.6.(2)零假設(shè)為H0：男、女顧客對該商場服務(wù)的評價沒有差異．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得χ2＝eq\f(100×（40×20－30×10）2,50×50×70×30)≈4.762>3.841＝x0.05.根據(jù)小概率值α＝0.05的χ2獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為男、女顧客對商場服務(wù)的評價有差異，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.11.某互聯(lián)網(wǎng)公司為了確定下季度的前期廣告投入計劃，收集了近6個月廣告投入量x(單位：萬元)和收益y(單位：萬元)的數(shù)據(jù)如表：月份123456廣告投入量24681012收益14.2120.3131.831.1837.8344.67他們分別用兩種模型①y＝bx＋a，②y＝aebx進(jìn)行擬合，得到相應(yīng)的回歸方程并進(jìn)行殘差分析，得到如圖所示的殘差圖及一些統(tǒng)計量的值.eq\o(x,\s\up6(－))eq\o(y,\s\up6(－))eq\o(∑,\s\up10(6),\s\do8(i＝1))xiyieq\o(∑,\s\up10(6),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)7301464.24364(1)根據(jù)殘差圖，比較模型①，②的擬合效果，應(yīng)選擇哪個模型？并說明理由；(2)殘差絕對值大于2的數(shù)據(jù)被認(rèn)為是異常數(shù)據(jù)，需要剔除.(ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)后，求出(1)中所選模型的回歸方程；(ⅱ)若廣告投入量x＝18，則該模型收益的預(yù)報值是多少？附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估計分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）（yi－\o(y,\s\up6(－))）,\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))（xi－\o(x,\s\up6(－))）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))·\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up10(n),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n·\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)由于模型①殘差波動小，應(yīng)該選擇模型①.(2)(ⅰ)剔除異常數(shù)據(jù)，即3月份的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(7×6－6)＝7.2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,5)×(30×6－31.8)＝29.64，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))xiyi－5eq\o(x,\s\up6(－))·eq\o(y,\s\up6(－))＝206.4，eq\o(∑,\s\up10(5),\s\do8(i＝1))xeq\o\al(2,i)－5·eq\o(x,\s\up6(－))2＝68.8.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(206.4,68.8)＝3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝29.64－3×7.2＝8.04.∴所選模型的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝3x＋8.04.(ⅱ)若廣告投入量x＝18，則該模型收益的預(yù)報值是3×18＋8.04＝62.04(萬元).12.(多選)2020年7月國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國2020年上半年國內(nèi)經(jīng)濟數(shù)據(jù)，圖1為國內(nèi)三大產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值的比重，圖2為第三產(chǎn)業(yè)中各行業(yè)生產(chǎn)總值的比重.以下關(guān)于我國2020年上半年經(jīng)濟數(shù)據(jù)的說法正確的是()A.在第三產(chǎn)業(yè)中，“批發(fā)和零售業(yè)”與“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值之和同“其他服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值基本持平B.若“租賃和商務(wù)服務(wù)業(yè)”生產(chǎn)總值為15000億元，則“房地產(chǎn)業(yè)”生產(chǎn)總值為32500億元C.若“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值為42000億元，則第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為262500億元D.若“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值為42000億元，則第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為45000億元答案ABC解析對于選項A，在第三產(chǎn)業(yè)中，“批發(fā)和零售業(yè)”與“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值之和占比為16%＋16%＝32%，“其他服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值占比為32%，所以“批發(fā)和零售業(yè)”與“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值之和同“其他服務(wù)業(yè)”的生產(chǎn)總值基本持平，故選項A正確.對于選項B，若“租賃和商務(wù)服務(wù)業(yè)”生產(chǎn)總值為15000億元，在第三產(chǎn)業(yè)中，因為“租賃和商務(wù)服務(wù)業(yè)”生產(chǎn)總值占比為6%，所以第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為eq\f(15000,6%)＝250000(億元)，又“房地產(chǎn)業(yè)”生產(chǎn)總值占比為13%，所以“房地產(chǎn)業(yè)”生產(chǎn)總值為13%×250000＝32500(億元)，故選項B正確.對于選項C，在第三產(chǎn)業(yè)中，若“金融業(yè)”的生產(chǎn)總值為42000億元，因為“金融業(yè)”生產(chǎn)總值占比為16%，所以第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為eq\f(42000,16%)＝262500(億元)，故選項C正確.對于選項D，第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值在三大產(chǎn)業(yè)中占比為57%，第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值在三大產(chǎn)業(yè)中占比為6%，由C選項知第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為262500億元，所以第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值為eq\f(262500,57%)×6%≈27632(億元)，所以選項D錯誤.13.由于受到網(wǎng)絡(luò)電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失統(tǒng)計如圖所示，估算月經(jīng)濟損失的平均數(shù)為m，中位數(shù)為n，則m－n＝________.答案360解析第一塊小矩形的面積S1＝0.3，第二塊小矩形的面積S2＝0.4，故n＝2000＋eq\f(0.5－0.3,0.0002)＝3000；又第四、五塊小矩形的面積均為S＝0.06，故a＝eq\