2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)樹人中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)樹人中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．（3分）圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史（）A． B． C． D．2．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．3a2﹣2a2＝1 B．a(chǎn)3÷a2＝a（a≠0） C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（2a）3＝6a33．（3分）據(jù)央視財(cái)經(jīng)《經(jīng)濟(jì)信息聯(lián)播》消息：甘肅天水憑借一碗香噴噴的麻辣燙成為最“熱辣滾燙”的頂流．2024年3月份，天水市累計(jì)接待游客464萬(wàn)人次，旅游綜合收入27億元．將數(shù)據(jù)“464萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4.64×106 B．0.464×107 C．4.64×107 D．464×1044．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正確的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝35．（3分）如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是（）A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≤﹣36．（3分）一次函數(shù)y＝kx﹣1（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，它的圖象不經(jīng)過(guò)的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（3分）折疊攔道閘如圖1所示．若想求解某些特殊狀態(tài)下的角度，需將其抽象為如圖2所示的幾何圖形，其中BA⊥AE，CD∥AE，則∠ABC+∠BCD＝（）A．200° B．230° C．250° D．270°8．（3分）甘肅博物館的“砂鍋娃娃”系列文創(chuàng)備受歡迎，一個(gè)“素砂鍋”中含有3個(gè)“戲精豆芽”和2個(gè)“彈彈粉條”，一名工作人員1天能縫制180個(gè)“戲精豆芽”或者240個(gè)“彈彈粉條”，為了使每天縫制的兩種娃娃剛好配套，假設(shè)x名工作人員縫制“戲精豆芽”，根據(jù)題意列方程組正確的是（）A． B． C． D．9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，AA′＝2OA．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（1，0.5）10．（3分）分式方程＝1﹣的解為正數(shù)（）A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣211．（3分）在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，BC＝6，CE＝2（）A． B． C．2 D．12．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，下列四個(gè)結(jié)論：①bc＜0；②3a+2c＜02+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，則﹣，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二.填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）分解因式：2x2﹣8＝．14．（3分）如圖，把“QQ”笑臉?lè)旁谥苯亲鴺?biāo)系中，已知左眼A的坐標(biāo)是（﹣2，3）（0，3），則將此“QQ”笑臉向右平移3個(gè)單位后，嘴唇C的坐標(biāo)是．15．（3分）將四個(gè)小球分別標(biāo)上C，O，H，F(xiàn)四種化學(xué)元素符號(hào)（除標(biāo)記符號(hào)外，其余均相同），放入一個(gè)不透明的袋中，能夠組成“一氧化碳”化學(xué)式的概率是．16．（3分）如圖，矩形ABCD中，，BC＝1，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)作直線l，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，則AG的最大值為．三.解答題（本大題共12小題，共72分）17．（4分）計(jì)算：．18．（4分）解不等式組：．19．（4分）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．20．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）和反比例函數(shù)y＝（m≠0）（4，1）與點(diǎn)B（﹣1，n）．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．21．（6分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的長(zhǎng)．22．（6分）2024年，中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲3A大作《黑神話：悟空》一經(jīng)上線，即火爆全球，也是中國(guó)現(xiàn)存最早、保存最完整的單層亭閣式佛塔．某興趣小組利用所學(xué)知識(shí)開(kāi)展以“測(cè)量四門塔的高度”為主題的活動(dòng)，并寫出如下報(bào)告：課題測(cè)量四門塔的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、無(wú)人機(jī)等測(cè)量示意圖測(cè)量過(guò)程如圖②，測(cè)量小組使無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處以6.8m/s的速度豎直上升5s后，飛行至點(diǎn)B處，然后沿水平方向向左飛行至點(diǎn)C處，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂D和點(diǎn)A的俯角均為45°．說(shuō)明點(diǎn)A，B，C，D，E均在同一豎直平面內(nèi)，且點(diǎn)A，DE⊥AE．結(jié)果精確到1m．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求無(wú)人機(jī)從點(diǎn)B到點(diǎn)C處的飛行距離；（2）求四門塔DE的高度．23．（6分）近年來(lái)，我國(guó)航天事業(yè)成果豐碩，某校為了加強(qiáng)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義教育，心向藍(lán)天”航天知識(shí)競(jìng)賽，為了解競(jìng)賽成績(jī)（成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C；85≤x＜90，D；85分以下，得分在90分及以上為優(yōu)秀）．下面給出了部分信息：七年級(jí)C組同學(xué)的分?jǐn)?shù)分別為：86，85，88；八年級(jí)C組同學(xué)的分?jǐn)?shù)分別為：86，87，88，89，89，89，89．七、八年級(jí)選取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率七年級(jí)88a95m八年級(jí)8889b35%（1）填空：a＝，b＝，m＝；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)學(xué)生在“強(qiáng)國(guó)有我，心向藍(lán)天”航天知識(shí)競(jìng)賽“中；（寫出一條理由即可）（3）該校七年級(jí)有750名學(xué)生，八年級(jí)有660名學(xué)生，估計(jì)這兩個(gè)年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)．24．（6分）如圖1描繪的就是宋詞《烏夜啼》中“繡香熏被梅煙潤(rùn)，枕簟碧紗廚”的場(chǎng)景：就寢前，被子也要放在熏爐和熏籠上加以熏烘，二來(lái)還可以讓爐中炭火把被子烘暖．熏籠是放在炭盆上的竹罩籠，古代一種烘烤和取暖的用具，其截面為拋物線形，如圖2．小明測(cè)得熏籠的跨度為80厘米，小明以熏籠的左邊緣為原點(diǎn)，水平線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一批直徑10厘米，高8厘米的熏爐，要使熏籠緊貼水平桌面（≈1.73）25．（6分）閱讀與思考如圖是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．×年×月×日星期日沒(méi)有直角尺也能作出直角今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖③所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線AB，要過(guò)AB上的一點(diǎn)C，作出AB的垂線，然而手頭沒(méi)有直角尺，怎么辦呢？辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分別以D，以50cm與40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E，則∠DCE必為90°．辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點(diǎn)出M，然后把木棒斜放在木板上，使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，保持點(diǎn)N不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，在木板上將點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)R．然后將RQ延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取線段QS＝MN，作直線SC，則∠RCS＝90°．我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？……任務(wù)：（1）填空：“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是；（2）根據(jù)“辦法二”的操作過(guò)程，證明∠RCS＝90°；（3）①尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D③的木板上，過(guò)點(diǎn)C作出AB的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）；②說(shuō)明你的作法所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)（寫出一個(gè)即可）．26．（7分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4）時(shí)，求△BCP的面積．（3）如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△BCF是直角三角形？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．27．（8分）如圖1，把一塊三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一個(gè)“U”形槽中，已知∠D＝∠E＝90°，在滑動(dòng)過(guò)程中【變式探究】如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，那么∠BED與∠CDF有何關(guān)系，并加以說(shuō)理；【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，BA＝BC，點(diǎn)D、F分別是邊BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)．以DF為腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，連接CE．①已知AF＝2BD，試判斷線段DC、BD、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖4，已知AC＝4，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，直接寫出EA+EG的最小值．28．（9分）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：如果點(diǎn)P繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)P′，點(diǎn)P′落在圖形M上或圖形M圍成的區(qū)域內(nèi)（1，1），B（3，1），C（3，2）．（1）在點(diǎn)P1（﹣2，0），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2）中，點(diǎn)是線段AB關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”；（2）如果點(diǎn)D（m，2）是△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，直接寫出m的取值范圍；（3）已知拋物線y＝﹣（x﹣1）2+n上存在△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的“伴隨點(diǎn)”，求n的最大值和最小值．

2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)樹人中學(xué)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號(hào)1234567891011答案DBA．CAADABBB題號(hào)12答案C一.選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分）1．（3分）圍棋起源于中國(guó)，古代稱之為“弈”，至今已有四千多年的歷史（）A． B． C． D．【解答】解：A、圖形不是軸對(duì)稱圖形；B、圖形不是軸對(duì)稱圖形；C、圖形不是軸對(duì)稱圖形；D、圖形是軸對(duì)稱圖形，故選：D．2．（3分）下列計(jì)算正確的是（）A．3a2﹣2a2＝1 B．a(chǎn)3÷a2＝a（a≠0） C．a(chǎn)2?a3＝a6 D．（2a）3＝6a3【解答】解：A、3a2﹣5a2＝a2，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；B、a3÷a2＝a（a≠0），正確；C、a4?a3＝a5，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意；D、（6a）3＝8a2，原計(jì)算錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．3．（3分）據(jù)央視財(cái)經(jīng)《經(jīng)濟(jì)信息聯(lián)播》消息：甘肅天水憑借一碗香噴噴的麻辣燙成為最“熱辣滾燙”的頂流．2024年3月份，天水市累計(jì)接待游客464萬(wàn)人次，旅游綜合收入27億元．將數(shù)據(jù)“464萬(wàn)”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．4.64×106 B．0.464×107 C．4.64×107 D．464×104【解答】解：464萬(wàn)＝4640000＝4.64×106．故選：A．4．（3分）用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正確的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x+2）2＝3【解答】解：原方程移項(xiàng)配方得：x2﹣4x+3＝﹣1+4，（x﹣4）2＝3，故選：C．5．（3分）如果二次根式有意義，那么x的取值范圍是（）A．x＞﹣3 B．x≥﹣3 C．x＜﹣3 D．x≤﹣3【解答】解：由題意得，x+3≥0且x+3≠0，解得x＞﹣3，故選：A．6．（3分）一次函數(shù)y＝kx﹣1（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，它的圖象不經(jīng)過(guò)的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：∵一次函數(shù)y＝kx﹣1（k≠0）的函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴k＜8，b＝﹣1＜0，∴該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，故選：A．7．（3分）折疊攔道閘如圖1所示．若想求解某些特殊狀態(tài)下的角度，需將其抽象為如圖2所示的幾何圖形，其中BA⊥AE，CD∥AE，則∠ABC+∠BCD＝（）A．200° B．230° C．250° D．270°【解答】解：過(guò)B作BK∥CD，∵CD∥AE，∴BK∥AE，∴∠C+∠CBK＝180°，∠ABK+∠BAE＝180°，∴∠C+∠CBK+∠ABK+∠BAE＝360°，∴∠ABC+∠BCD+∠BAE＝360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE＝90°，∴∠ABC+∠BCD＝270°．故選：D．8．（3分）甘肅博物館的“砂鍋娃娃”系列文創(chuàng)備受歡迎，一個(gè)“素砂鍋”中含有3個(gè)“戲精豆芽”和2個(gè)“彈彈粉條”，一名工作人員1天能縫制180個(gè)“戲精豆芽”或者240個(gè)“彈彈粉條”，為了使每天縫制的兩種娃娃剛好配套，假設(shè)x名工作人員縫制“戲精豆芽”，根據(jù)題意列方程組正確的是（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)題意得，，故選：A．9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC和△A′B′C′是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，AA′＝2OA．若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（）A．（4，2） B．（6，3） C．（8，4） D．（1，0.5）【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是位似圖形，AA′＝2OA，∴OA：OA′＝1：5．∴△ABC與△A′B′C′的位似比為：1：3，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，1），∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（6，7），故選：B．10．（3分）分式方程＝1﹣的解為正數(shù)（）A．m＞﹣3 B．m＞﹣3且m≠﹣2 C．m＜3 D．m＜3且m≠﹣2【解答】解：去分母得：2＝x﹣1﹣m，解得：x＝m+8，由方程的解為正數(shù)，得到m+3＞0，則m的范圍為m＞﹣3且m≠﹣2．故選：B．11．（3分）在?ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，在DC延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，BC＝6，CE＝2（）A． B． C．2 D．【解答】解：如圖，在?ABCD中，過(guò)O作OM∥BC交CD于M，∵在?ABCD中，BO＝DO，AD＝BC＝6，∴，∴OM是△BCD的中位線，∴，∵CE＝2，∴EM＝CM+CE＝7+2＝4，∵OM∥CF，∴△CFE∽△MOE，∴，即，∴．故選：B．12．（3分）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，下列四個(gè)結(jié)論：①bc＜0；②3a+2c＜02+bx≥a+b；④若﹣2＜c＜﹣1，則﹣，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①∵函數(shù)圖象開(kāi)口方向向上，∴a＞0；∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a、b異號(hào)，∴b＜0，∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸，∴c＜3，∴bc＞0，故①錯(cuò)誤；②∵二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0），對(duì)稱軸為直線x＝1，∴﹣，∵b＝﹣2a，∴x＝﹣4時(shí)，y＝0，∴a﹣b+c＝0，∴2a+c＝0，∴3a+3c＜0，故②正確；③∵對(duì)稱軸為直線x＝1，a＞7，∴y＝a+b+c最小值，ax2+bx≥a+b，故③正確；④∵﹣2＜c＜﹣5，∵x1x2＝（﹣7）×3＝﹣3＝，∴c＝﹣7a，∴﹣2＜﹣3a＜﹣4，∴，∵b＝﹣2a，∴a+b+c＝a﹣5a﹣3a＝﹣4a，∴，故④正確；綜上所述，正確的有②③④，故選：C．二.填空題（本大題共4小題，每小題3分，共12分）13．（3分）分解因式：2x2﹣8＝2（x+2）（x﹣2）．【解答】解：2x2﹣8＝2（x2﹣6）＝2（x+2）（x﹣3）；故答案為：2（x+2）（x﹣8）．14．（3分）如圖，把“QQ”笑臉?lè)旁谥苯亲鴺?biāo)系中，已知左眼A的坐標(biāo)是（﹣2，3）（0，3），則將此“QQ”笑臉向右平移3個(gè)單位后，嘴唇C的坐標(biāo)是（2，1）．【解答】解：∵左眼A的坐標(biāo)是（﹣2，3），6），∴嘴唇C的坐標(biāo)是（﹣1，1），∴將此“QQ”笑臉向右平移2個(gè)單位后，嘴唇C的坐標(biāo)是（2，故答案為：（2，4）．15．（3分）將四個(gè)小球分別標(biāo)上C，O，H，F(xiàn)四種化學(xué)元素符號(hào)（除標(biāo)記符號(hào)外，其余均相同），放入一個(gè)不透明的袋中，能夠組成“一氧化碳”化學(xué)式的概率是．【解答】解：列表如下：COHFC（C，O）（C，H）（C，F(xiàn)）O（O，C）（O，H）（O，F(xiàn)）H（H，C）（H，O）（H，F(xiàn)）F（F，C）（F，O）（F，H）共有12種等可能的結(jié)果，其中能夠組成“一氧化碳”化學(xué)式的結(jié)果有：（C，（O，共2種，∴能夠組成“一氧化碳”化學(xué)式的概率為＝．故答案為：．16．（3分）如圖，矩形ABCD中，，BC＝1，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，CD向終點(diǎn)B，D運(yùn)動(dòng)，F(xiàn)作直線l，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線，則AG的最大值為1．【解答】解：連接AC，交EF于O，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∠B＝90°，∵AB＝，BC＝1，∴AC＝＝＝2，∵動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)A，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB，D運(yùn)動(dòng)，∴CF＝AE，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，又∵∠COF＝∠AOE，∴△COF≌△AOE（AAS），∴AO＝CO＝8，∵AG⊥EF，∴點(diǎn)G在以AO為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，∴AG為直徑時(shí)，AG有最大值為1，故答案為：1．三.解答題（本大題共12小題，共72分）17．（4分）計(jì)算：．【解答】解：＝＝＝3．18．（4分）解不等式組：．【解答】解：，解不等式①，得x≥1，解不等式②，得x，∴此不等式組的解集為：x．19．（4分）先化簡(jiǎn)，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【解答】解：（﹣1）÷＝÷＝?＝，當(dāng)x＝7時(shí)，原式＝．20．（6分）如圖，一次函數(shù)y＝kx+b（k≠0）和反比例函數(shù)y＝（m≠0）（4，1）與點(diǎn)B（﹣1，n）．（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．【解答】（1）解：∵點(diǎn)A（4，1）與點(diǎn)B（﹣3（m≠0）圖象上，∴m＝4，即反比例函數(shù)的解析式為y＝，當(dāng)x＝1時(shí)，n＝﹣4，﹣6），∵點(diǎn)A（4，1）與點(diǎn)B（﹣6，∴，解得：∴一次函數(shù)解析式為y＝x﹣2；（2）解：對(duì)于y＝x﹣3，當(dāng)y＝0時(shí)，∴C（7，0）∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×3×4+；（3）解：由圖象可得，當(dāng)﹣8＜x＜0或x＞4時(shí)．21．（6分）如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，垂足為點(diǎn)E，使CF＝BE，連接DF．（1）求證：四邊形AEFD是矩形；（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，∴AD＝EF，∵AD∥EF，∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴四邊形AEFD是矩形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，∵AE⊥BC，∴S四邊形ABCD＝BC?AE，在Rt△ABO中，由勾股定理可得：∴，∴BD＝7BO＝24，∵S四邊形ABCD＝AC?BD＝BC?AE，∴，∴．22．（6分）2024年，中國(guó)國(guó)產(chǎn)游戲3A大作《黑神話：悟空》一經(jīng)上線，即火爆全球，也是中國(guó)現(xiàn)存最早、保存最完整的單層亭閣式佛塔．某興趣小組利用所學(xué)知識(shí)開(kāi)展以“測(cè)量四門塔的高度”為主題的活動(dòng)，并寫出如下報(bào)告：課題測(cè)量四門塔的高度測(cè)量工具測(cè)角儀、無(wú)人機(jī)等測(cè)量示意圖測(cè)量過(guò)程如圖②，測(cè)量小組使無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處以6.8m/s的速度豎直上升5s后，飛行至點(diǎn)B處，然后沿水平方向向左飛行至點(diǎn)C處，在點(diǎn)C處測(cè)得塔頂D和點(diǎn)A的俯角均為45°．說(shuō)明點(diǎn)A，B，C，D，E均在同一豎直平面內(nèi)，且點(diǎn)A，DE⊥AE．結(jié)果精確到1m．（參考數(shù)據(jù)：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）（1）求無(wú)人機(jī)從點(diǎn)B到點(diǎn)C處的飛行距離；（2）求四門塔DE的高度．【解答】解：（1）由題意可知：AB＝6.8×7＝34（m），在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，則BC＝AB＝34m，答：無(wú)人機(jī)從點(diǎn)B到點(diǎn)C處的飛行距離為34m；（2）如圖②，延長(zhǎng)ED交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則四邊形ABFE為矩形，∴EF＝AB＝34m，設(shè)DE＝xm，則DF＝（34﹣x）m，在Rt△DFC中，∠DFC＝45°，則FC＝DF＝（34﹣x）m，∴BF＝CF+BC＝（68﹣x）m，在Rt△BFD中，∠FBD＝20°，∵tan∠FBD＝，∴DF＝BF?tan∠FBD，即34﹣x＝（68﹣x）×0.36，解得：x≈15，答：四門塔DE的高度約為15m．23．（6分）近年來(lái)，我國(guó)航天事業(yè)成果豐碩，某校為了加強(qiáng)學(xué)生愛(ài)國(guó)主義教育，心向藍(lán)天”航天知識(shí)競(jìng)賽，為了解競(jìng)賽成績(jī)（成績(jī)得分用x表示，共分成四組：A：95≤x≤100，B：90≤x＜95，C；85≤x＜90，D；85分以下，得分在90分及以上為優(yōu)秀）．下面給出了部分信息：七年級(jí)C組同學(xué)的分?jǐn)?shù)分別為：86，85，88；八年級(jí)C組同學(xué)的分?jǐn)?shù)分別為：86，87，88，89，89，89，89．七、八年級(jí)選取的學(xué)生競(jìng)賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)表：年級(jí)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率七年級(jí)88a95m八年級(jí)8889b35%（1）填空：a＝87，b＝89，m＝40%；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為該校七、八年級(jí)學(xué)生在“強(qiáng)國(guó)有我，心向藍(lán)天”航天知識(shí)競(jìng)賽“中；（寫出一條理由即可）（3）該校七年級(jí)有750名學(xué)生，八年級(jí)有660名學(xué)生，估計(jì)這兩個(gè)年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)．【解答】解：（1）由條形統(tǒng)計(jì)圖可得：a＝（86+88）÷2＝87，由八年級(jí)C組同學(xué)的分?jǐn)?shù)可知：89出現(xiàn)的次數(shù)最多，所占的百分比為5÷20＝25%，∴b＝89，m＝（3+5）÷20×100%＝40%，故答案為：87，89；（2）七年級(jí)學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的了解情況更好，理由：由表格可知；（3）由題意可得，750×40%+660×35%＝300+231＝531（人），答：估計(jì)這兩個(gè)年級(jí)競(jìng)賽成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生有531人．24．（6分）如圖1描繪的就是宋詞《烏夜啼》中“繡香熏被梅煙潤(rùn)，枕簟碧紗廚”的場(chǎng)景：就寢前，被子也要放在熏爐和熏籠上加以熏烘，二來(lái)還可以讓爐中炭火把被子烘暖．熏籠是放在炭盆上的竹罩籠，古代一種烘烤和取暖的用具，其截面為拋物線形，如圖2．小明測(cè)得熏籠的跨度為80厘米，小明以熏籠的左邊緣為原點(diǎn)，水平線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）現(xiàn)有一批直徑10厘米，高8厘米的熏爐，要使熏籠緊貼水平桌面（≈1.73）【解答】解：（1）∵熏籠的跨度為80厘米，高度為32厘米，∴可知拋物線的頂點(diǎn)為（40，32），設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣40）2+32，根據(jù)圖象可知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，5），∴a（0﹣40）2+32＝4，解得：，∴拋物線的解析式為：；（2）令y＝8，可得，解得：，∴高為7厘米的水平距離為：，可放置的熏爐個(gè)數(shù)為：（個(gè)），故熏籠內(nèi)一排最多能放置6個(gè)熏爐．25．（6分）閱讀與思考如圖是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．×年×月×日星期日沒(méi)有直角尺也能作出直角今天，我在書店一本書上看到下面材料：木工師傅有一塊如圖③所示的四邊形木板，他已經(jīng)在木板上畫出一條裁割線AB，要過(guò)AB上的一點(diǎn)C，作出AB的垂線，然而手頭沒(méi)有直角尺，怎么辦呢？辦法一：如圖①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30cm，然后分別以D，以50cm與40cm為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)E，則∠DCE必為90°．辦法二：如圖②，可以取一根筆直的木棒，用鉛筆在木棒上點(diǎn)出M，然后把木棒斜放在木板上，使點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，保持點(diǎn)N不動(dòng)，將木棒繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)，在木板上將點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的位置標(biāo)記為點(diǎn)R．然后將RQ延長(zhǎng)，在延長(zhǎng)線上截取線段QS＝MN，作直線SC，則∠RCS＝90°．我有如下思考：以上兩種辦法依據(jù)的是什么數(shù)學(xué)原理呢？我還有什么辦法不用直角尺也能作出垂線呢？……任務(wù)：（1）填空：“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是勾股定理的逆定理；（2）根據(jù)“辦法二”的操作過(guò)程，證明∠RCS＝90°；（3）①尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D③的木板上，過(guò)點(diǎn)C作出AB的垂線（在木板上保留作圖痕跡，不寫作法）；②說(shuō)明你的作法所依據(jù)的數(shù)學(xué)定理或基本事實(shí)（寫出一個(gè)即可）．【解答】解：（1）∵CD＝30，DE＝50，∴CD2+CE2＝304+402＝502＝DE3，∴∠DCE＝90°，故“辦法一”依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是勾股定理的逆定理；故答案為：勾股定理的逆定理；（2）由作圖方法可知，QR＝QC，∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，∵∠SRC+∠QCS+∠QCR+∠QSC＝180°，∴2（∠QCR+∠QCS）＝180°，∴∠QCR+∠QCS＝90°，即∠RCS＝90°；（3）①如圖③所示，直線PC即為所求；②答案不唯一，到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)．26．（7分）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣2，0）、B（6，0）兩點(diǎn)（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，﹣4）時(shí)，求△BCP的面積．（3）如圖2，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△BCF是直角三角形？若存在；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）已知拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A（﹣2，0），0）兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：，解得，∴該拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）已知拋物線與y軸交于C點(diǎn)，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣3，∴C（0，﹣6）．設(shè)直線BC的關(guān)系式為y＝kx﹣3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：6k﹣8＝0，解得，∴直線BC的關(guān)系式為．過(guò)點(diǎn)P作PG∥y交BC于點(diǎn)G，如圖1．∵P（2，﹣4），∴G（2，﹣2），∴S△BCP＝PG?xG+PG?|xB﹣xG|＝PG?xB＝×2×8＝6；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使△BCF是直角三角形∵，∴拋物線得對(duì)稱軸為直線x＝2．設(shè)F（2，t），∴FB2＝16+t2，BC8＝45，F(xiàn)C2＝4+（t+8）2．當(dāng)∠BFC＝90°時(shí)，45＝16+t2+6+（t+3）2，解得，∴或；當(dāng)∠FBC＝90°時(shí)，4+（t+2）2＝45+16+t2，解得t＝3，∴F（2，3）；當(dāng)∠FCB＝90°時(shí)，16+t3＝45+4+（t+3）3，解得t＝﹣7，∴F（2，﹣7）．綜上所述，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F；點(diǎn)F的坐標(biāo)為或，3）或（2．27．（8分）如圖1，把一塊三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一個(gè)“U”形槽中，已知∠D＝∠E＝90°，在滑動(dòng)過(guò)程中【變式探究】如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在邊BC、AC、AB上，那么∠BED與∠CDF有何關(guān)系，并加以說(shuō)理；【拓展應(yīng)用】如圖3，在△ABC中，BA＝BC，點(diǎn)D、F分別是邊BC、AB上的動(dòng)點(diǎn)．以DF為腰向右作等腰△DEF，使得DE＝DF，連接CE．①已知AF＝2BD，試判斷線段DC、BD、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②如圖4，已知AC＝4，點(diǎn)G是AC的中點(diǎn)，直接寫出EA+EG的最小值．【解答】解：【變式探究】∠BED＝∠CDF，理由如下：∵∠B+∠BED＝∠EDC，∠EDC＝∠FDE+∠CDF，∴∠B+∠BED＝∠FDE+∠CDF，又∵∠B＝∠FDE，∴∠BED＝∠CDF；【拓展應(yīng)用】①BD+BF＝CD，理由：∵AB＝AC，∴AF+BF＝BD+CD，∵AF＝2BD，∴2BD+BF＝BD+CD，∴BD