2025年春新湘教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)課件 2.1 平方根

2.1平方根第二章實(shí)數(shù)逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2平方根及其性質(zhì)算術(shù)平方根及其性質(zhì)無(wú)理數(shù)算術(shù)平方根的估算知識(shí)點(diǎn)平方根及其性質(zhì)感悟新知11.平方根的定義：如果有一個(gè)數(shù)r，使得r2=a，那么r叫作a

的一個(gè)平方根，也叫作二次方根.這就是說(shuō)，若r2=a，則r

是a

的一個(gè)平方根.表示方法：正數(shù)a的平方根記作±a

，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”.知1－練感悟新知2.平方根的性質(zhì)：(1)正數(shù)有兩個(gè)平方根，且它們互為相反數(shù)；(2)0的平方根就是0本身；(3)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.3.開(kāi)平方：求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根的運(yùn)算，叫作開(kāi)平方.這個(gè)非負(fù)數(shù)叫作被開(kāi)方數(shù).知1－練特別解讀1.平方根的定義中a是非負(fù)數(shù)，即a≥0.2.平方與開(kāi)平方是互逆運(yùn)算，平方的結(jié)果叫做冪，而開(kāi)平方的結(jié)果叫做平方根.3.一般地，如果r是正數(shù)a的一個(gè)平方根，那么a的平方根有且只有兩個(gè)：r與-r.知1－練感悟新知

例1解題秘方：先根據(jù)平方運(yùn)算找出平方等于這個(gè)數(shù)的數(shù)，然后根據(jù)平方根和算術(shù)平方根的定義確定.題型1利用平方根的定義求一個(gè)正數(shù)的平方根知1－練感悟新知

帶分?jǐn)?shù)要先化成假分?jǐn)?shù)，再求平方根.知1－練感悟新知

知1－練

知1－練感悟新知

例2

題型2利用平方根的定義解方程知1－練感悟新知

知1－練感悟新知

知1－練感悟新知方法利用平方根的定義解方程的一般步驟：1.移項(xiàng)，使含未知數(shù)的項(xiàng)在等號(hào)的一邊，常數(shù)項(xiàng)在等號(hào)的另一邊；2.系數(shù)化為1，將方程化為“x2=a”的形式；3.根據(jù)平方根的性質(zhì)求出未知數(shù)x的值.知1－練感悟新知(1)若a+1和a+3是正數(shù)m

的平方根，求m的值；(2)已知2a+3的平方根是±3，5a+2b-1的平方根是±4，求3a+2b

的平方根.解題秘方：根據(jù)平方根的性質(zhì)列方程（組）求解.例3題型3利用平方根的性質(zhì)求字母的值知1－練解：(1)因?yàn)閍+1和a+3是正數(shù)m

的平方根，且a+1≠a+3,所以a+1+a+3=0，解得a=-2.所以a+1=-1，a+3=1.因?yàn)?和-1是1的平方根，所以m=1.知1－練

知1－練解法提醒一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，這兩個(gè)平方根互為相反數(shù).知1－練知識(shí)點(diǎn)算術(shù)平方根及其性質(zhì)感悟新知2

知2－練感悟新知特別提醒●求一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)正數(shù)的平方剛好是互逆的兩個(gè)運(yùn)算；●任何一個(gè)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，所以求算術(shù)平方根時(shí)，被開(kāi)方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)，算術(shù)平方根也一定是非負(fù)數(shù).▲▲知2－練感悟新知2.性質(zhì)：(1)正數(shù)的算術(shù)平方根是一個(gè)正數(shù)；(2)0的算術(shù)平方根是0；(3)負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根；(4)被開(kāi)方數(shù)越大，對(duì)應(yīng)的算術(shù)平方根也越大.知2－練感悟新知3.平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系：平方根算術(shù)平方根區(qū)別定義不同如果有一個(gè)數(shù)r，使得r2=a，那么r

叫作a

的一個(gè)平方根，也叫作二次方根正數(shù)a

的正平方根叫作a的算術(shù)平方根個(gè)數(shù)不同一個(gè)正數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根只有一個(gè)感悟新知平方根算術(shù)平方根區(qū)別表示方法不同取值范圍不同正數(shù)的平方根是一正一負(fù)正數(shù)的算術(shù)平方根一定是正數(shù)知2－練感悟新知平方根算術(shù)平方根聯(lián)系具有包含關(guān)系平方根包含算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中正的那個(gè)(0除外)存在條件相同只有非負(fù)數(shù)才有平方根和算術(shù)平方根，0的平方根與算術(shù)平方根都是0知2－練感悟新知

a(a≥0)，－a(a

＜0).知2－練感悟新知

區(qū)別運(yùn)算順序先開(kāi)方再求平方先求平方再開(kāi)方a

的取值圍a≥0全體數(shù)聯(lián)系知2－練感悟新知

例4解題秘方：先根據(jù)平方運(yùn)算找出平方等于這個(gè)數(shù)的非負(fù)數(shù)，然后根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出算術(shù)平方根.考向：利用算術(shù)平方根的定義及性質(zhì)解決問(wèn)題題型1求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根知2－練知識(shí)儲(chǔ)備1.求帶分?jǐn)?shù)的算術(shù)平方根時(shí)，先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再求算術(shù)平方根.2.求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根必須明確兩點(diǎn)：(1)這個(gè)數(shù)是非負(fù)數(shù)；(2)求出的算術(shù)平方根（結(jié)果）必須是非負(fù)數(shù).知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

知2－練感悟新知(6)0的算術(shù)平方根是0，即0=0.

不要誤認(rèn)為是求81的算術(shù)平方根.知2－練

知2－練方法本題運(yùn)用了定義法.首先根據(jù)算術(shù)平方根的定義求出m，n的值，再求出m-n

的值，最后根據(jù)算術(shù)平方根的定義得出結(jié)果.知2－練感悟新知已知m-3的算術(shù)平方根是3，n+1=2，求m-n

的算術(shù)平方根.解題秘方：根據(jù)已知條件求出m，n

的值，然后求m-n

的算術(shù)平方根.例5題型2已知一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根求這個(gè)數(shù)知2－練感悟新知

知2－練感悟新知

解題秘方：首先觀察式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，弄清式子所表示的意義，即要明確是求算術(shù)平方根還是求平方根，然后根據(jù)算術(shù)平方根或平方根的定義求解.例6題型3利用平方根或算術(shù)平方根的定義求值知2－練

知2－練

知2－練

412-402

是一個(gè)整體，首先要將412-402

化簡(jiǎn)，再去計(jì)算化簡(jiǎn)后結(jié)果的算術(shù)平方根.知2－練知識(shí)點(diǎn)無(wú)理數(shù)感悟新知31.定義：若一個(gè)數(shù)是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)或可以表示成一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，則把這個(gè)數(shù)叫作無(wú)理數(shù).判斷標(biāo)準(zhǔn)：小數(shù)位數(shù)無(wú)限，小數(shù)部分的數(shù)字不循環(huán).知3－練感悟新知

知3－練

知3－練3.無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別(1)有理數(shù)是有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)；(2)所有的有理數(shù)都可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式（整數(shù)可以看成是分母為1的分?jǐn)?shù)），而無(wú)理數(shù)不能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式.知3－練感悟新知

解題秘方：根據(jù)無(wú)理數(shù)的定義進(jìn)行辨析.例7考向：利用無(wú)理數(shù)的定義識(shí)別無(wú)理數(shù)知3－練感悟新知

知3－練感悟新知由于0.1212212221…（相鄰兩個(gè)1之間2的個(gè)數(shù)逐次加1）是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，因此0.1212212221…（相鄰兩個(gè)1之間2的個(gè)數(shù)逐次加1）是無(wú)理數(shù).因此無(wú)理數(shù)有3個(gè).答案：3知3－練知識(shí)點(diǎn)算術(shù)平方根的估算感悟新知41.求一個(gè)正數(shù)(非平方數(shù))的算術(shù)平方根的近似值，一般采用夾逼法.“夾”就是從兩邊確定取值范圍；“逼”就是一點(diǎn)一點(diǎn)加強(qiáng)限制，使其所處范圍越來(lái)越小，從而達(dá)到理想的精確程度.???知4－練感悟新知2.大多數(shù)計(jì)算器都有鍵，用它可以求出一個(gè)正有理數(shù)的算術(shù)平方根(或其近似值).按鍵順序：先按鍵，再輸入被開(kāi)方數(shù)，最后按

鍵.計(jì)算器上就會(huì)顯示這個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根(或其近似值).知4－練感悟新知特別解讀計(jì)算器顯示屏顯示的數(shù)值中，許多都是近似值.知4－練感悟新知

例8解題秘方：找出與2026接近的兩個(gè)平方數(shù)，從而確定2026的算術(shù)平方根的取值范圍.考向：利用估算解決算術(shù)平方根問(wèn)題題型1利用估算法求算術(shù)平方根的取值范圍知4－練感悟新知

答案：D知4－練教你一招確定a的整數(shù)部分的方法：根據(jù)算術(shù)平方根的定義，有m2<a<n2,其中m，n是連續(xù)的非負(fù)整數(shù)，則m<a<n，則a

的整數(shù)部分為m.知4－練感悟新知

例9題型2利用計(jì)算器探究算術(shù)平方根的規(guī)律解題秘方：可利用計(jì)算器求出各個(gè)算術(shù)平方根，對(duì)照根號(hào)內(nèi)的數(shù)和算術(shù)平方根尋找小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的規(guī)律.知4－練感悟新知知4－練解：利用計(jì)算器探究發(fā)現(xiàn)：根號(hào)內(nèi)的數(shù)的小數(shù)點(diǎn)每向左（或向右）移動(dòng)兩位，其算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相