【初中數(shù)學(xué)】專項(xiàng)01-有理數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算-七大題型

有理數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算-七大題型【知識(shí)點(diǎn)1歸類法】運(yùn)用加法交換律、結(jié)合律歸類加減，將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計(jì)算，如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等.【題型1歸類法】【例1】（普陀區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：8+（﹣114）﹣5﹣（?34【變式1-1】（徐匯區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：?22【變式1-2】（青浦區(qū)期中）計(jì)算：21【變式1-3】（和平區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（1）?(?37（2）﹣556【知識(shí)點(diǎn)2湊整法】將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消.【題型2湊整法】【例2】（普陀區(qū)期末）計(jì)算：3.43﹣225+6.57﹣5【變式2-1】（濟(jì)南期末）計(jì)算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．【變式2-2】（上蔡縣月考）計(jì)算：（1）225+217+（﹣5（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【變式2-3】（石景山區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+33【知識(shí)點(diǎn)3逆向法】主要是將式子中的一些小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)互相轉(zhuǎn)化，然后將乘法分配率逆向使用，從而使得計(jì)算變得更加簡(jiǎn)單.【題型3逆向法】【例3】（紅谷灘區(qū)校級(jí)期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算?2【變式3-1】（蘭山區(qū)月考）25×34?25×【變式3-2】（紅谷灘區(qū)校級(jí)期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：（1）（﹣9）×31829?（﹣8）×（﹣31829（2）997172【變式3-3】（紅谷灘區(qū)校級(jí)期中）簡(jiǎn)便計(jì)算（﹣48）×0.125+48×【知識(shí)點(diǎn)4拆項(xiàng)法】將一個(gè)數(shù)拆分成兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計(jì)算變得簡(jiǎn)潔.【題型4拆項(xiàng)法】【例4】（安陸市期中）閱讀下面的計(jì)算過程，體會(huì)“拆項(xiàng)法”計(jì)算：﹣556解：原式=[(?5)+(?9)+17+(?3)]+[(?56啟發(fā)應(yīng)用用上面的方法完成下列計(jì)算：(?3【變式4-1】（鐵西區(qū)期末）計(jì)算：1.5﹣（﹣414）+3.75﹣（+81【變式4-2】（浦東新區(qū)期中）計(jì)算：51【變式4-3】（涼山州期末）：(?20212【知識(shí)點(diǎn)5組合法】找出規(guī)律，重新組合，然后通過約分或抵消簡(jiǎn)化題目.【題型5組合法】【例5】（南開區(qū)期中）計(jì)算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝．【變式5-1】（襄汾縣期中）計(jì)算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【變式5-2】（工業(yè)園區(qū)月考）計(jì)算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值為（）A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101【變式5-3】（工業(yè)園區(qū)月考）計(jì)算：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；（2）|1102?1101|+|【知識(shí)點(diǎn)6裂項(xiàng)相消法】將一個(gè)數(shù)拆分成兩個(gè)或兩個(gè)以上數(shù)和的形式，再利用加法交換律、結(jié)合率或者利用乘法分配率從而使得計(jì)算變得簡(jiǎn)潔.【題型6裂項(xiàng)相消法】【例6】（嘉定區(qū)期末）【閱讀材料】問題：如何計(jì)算11×2解：原式=(1?根據(jù)閱讀材料，請(qǐng)你完成下列問題：（1）計(jì)算：21×3（2）直接寫出結(jié)果：13+115（3）計(jì)算：11×5【變式6-1】（遂寧期末）請(qǐng)先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問題：先觀察下列等式：11×2=1?12將以上等式兩邊分別相加得：1然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：（1）猜想并寫出：1n(n?1)=1（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①11×2+12×3②11×2+12×3（3）探究并計(jì)算：12×4【變式6-2】（虹口區(qū)期末）先閱讀，再答題23=3?11×3=1?13根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出（1）299（2）2n(n+2)=1計(jì)算：23【變式6-3】（高安市期中）閱讀下面的文字，完成解答過程．（1）11×2=1?12，12×3=12?1（2）根據(jù)上述方法計(jì)算：11×3（3）根據(jù)（1），（2）的計(jì)算，我們可以猜測(cè)下列結(jié)論：1n(n+k)=1k（1n?1n+k）【題型7倒數(shù)求值法】【例7】（城廂區(qū)校級(jí)月考）先閱讀理解，再回答問題計(jì)算：(?1解：（方法一）原式＝(?1（方法二）原式的倒數(shù)為(＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10．故原式=?1請(qǐng)閱讀上述材料，選擇合適的方法計(jì)算：?1【變式7-1】（南開區(qū)期中）（?120）÷（【變式7-2】（寬城縣期末）閱讀下列材料：計(jì)算：124解法一：原式=1解法二：原式=1解法三：原式的倒數(shù)=(1所以原式=1（1）上述得到的結(jié)果不同，你認(rèn)為解法是錯(cuò)誤的；（2）計(jì)算：(12（3）請(qǐng)你選擇合適的解法計(jì)算：(?1【變式7-3】（懷安縣期末）先計(jì)算，再閱讀材料，解決問題：（1）計(jì)算：（14（2）選擇合適的方法計(jì)算：（?142）÷（

有理數(shù)的簡(jiǎn)便計(jì)算-七大題型（解析版）【題型1歸類法】【例1】（普陀區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：8+（﹣114）﹣5﹣（?【分析】根據(jù)加法交換律、加法結(jié)合律，求出算式的值即可．【解答】解：8+（﹣114）﹣5﹣（?＝（8﹣5）+[（﹣114）﹣（?＝3+（?1＝212【變式1-1】（徐匯區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：?22【分析】利用有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式=(?2=?6+61=1=31【變式1-2】（青浦區(qū)期中）計(jì)算：21【分析】運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律計(jì)算．【解答】解：原式＝219+＝（219?129=8＝189【變式1-3】（和平區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算：（1）?(?37（2）﹣556【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算和加法結(jié)合律計(jì)算即可；（2）根據(jù)有理數(shù)加減混合運(yùn)算和加法結(jié)合律計(jì)算即可．【解答】解：（1）?(?3＝3712?114?27＝（3712?2712）+（﹣114＝1﹣41=?25（2）﹣55＝（﹣556?923）+（173＝﹣1512+＝﹣114【題型2湊整法】【例2】（普陀區(qū)期末）計(jì)算：3.43﹣225+6.57﹣5【分析】先運(yùn)用加法的交換結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算，再進(jìn)行最后的減法運(yùn)算．【解答】解：3.43﹣225+＝（3.43+6.57）﹣（225+5＝10﹣8＝2．【變式2-1】（濟(jì)南期末）計(jì)算：（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）﹣（﹣2.5）．【分析】根據(jù)有理數(shù)加減法放入法則進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：原式＝（﹣3.2）+12.5+（﹣16.8）+2.5＝[（﹣3.2）+（﹣16.8）]+（12.5+2.5）＝﹣20+15＝﹣5．【變式2-2】（上蔡縣月考）計(jì)算：（1）225+217+（﹣5（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18．【分析】（1）先將加減統(tǒng)一為加法，再利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先將加減統(tǒng)一為加法，再利用加法的交換律與結(jié)合律進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）225+217+（﹣5＝225+217?＝（225+535）+（21＝8﹣3＝5；（2）3.75+（﹣5.18）﹣（﹣2.25）+5.18＝3.75﹣5.18+2.25+5.18＝（3.75+2.25）+（5.18﹣5.18）＝6．【變式2-3】（石景山區(qū)校級(jí)期中）計(jì)算：（﹣12.7）﹣（﹣525）﹣87.3+33【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果．【解答】解：(?12.7)?(?5=?12.7+52＝（﹣12.7﹣87.3）+（525+3＝﹣100+9＝﹣91．【題型3逆向法】【例3】（紅谷灘區(qū)校級(jí)期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算?2【分析】先根據(jù)同號(hào)得正異號(hào)得負(fù)進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算，然后逆運(yùn)用乘法分配律，提取29【解答】解：?29×（﹣92）+（?29=29×92?29=29×（92﹣343=2=2＝18．【變式3-1】（蘭山區(qū)月考）25×34?25×【分析】逆運(yùn)用乘法分配律進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：25×34?25×＝25×（34＝25×0＝0．【變式3-2】（紅谷灘區(qū)校級(jí)期中）用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：（1）（﹣9）×31829?（﹣8）×（﹣31829（2）997172【分析】（1）原式逆用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）原式變形后，利用乘法分配律計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）原式＝31829＝31829＝﹣31829（2）原式＝（100?1＝100×（﹣36）?1＝﹣3600+＝﹣359912【變式3-3】（紅谷灘區(qū)校級(jí)期中）簡(jiǎn)便計(jì)算（﹣48）×0.125+48×【分析】利用乘法的分配律先提取48，再進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；【解答】解：（﹣48）×0.125+48×＝48×（?1＝0.【題型4拆項(xiàng)法】【例4】（安陸市期中）閱讀下面的計(jì)算過程，體會(huì)“拆項(xiàng)法”計(jì)算：﹣556解：原式=[(?5)+(?9)+17+(?3)]+[(?56啟發(fā)應(yīng)用用上面的方法完成下列計(jì)算：(?3【分析】將原式利用“拆項(xiàng)法”得出原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（?3【解答】解：原式＝（﹣3﹣1+2﹣2）+（?3＝﹣4+（?7＝﹣4710【變式4-1】（鐵西區(qū)期末）計(jì)算：1.5﹣（﹣414）+3.75﹣（+81【分析】根據(jù)有理數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求出答案．【解答】解：原式＝1+12+4+1＝﹣7+8＝1．【變式4-2】（浦東新區(qū)期中）計(jì)算：51【分析】可按法則從左往右算求出結(jié)果；亦可把帶分?jǐn)?shù)寫成整數(shù)與分?jǐn)?shù)和的形式，再利用加法的交換律和結(jié)合律，把整數(shù)與分?jǐn)?shù)分別相加．【解答】解：原式＝5+13（5﹣2）+（13＝3+（412＝3+＝3512【變式4-3】（涼山州期末）：(?20212【分析】寫成幾個(gè)整數(shù)的和以及幾個(gè)分?jǐn)?shù)的和即可．【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（?27）]+[（﹣2022）+（?4＝（﹣2021﹣2022+4044）+（?2＝1+（﹣1）＝0．【題型5組合法】【例5】（南開區(qū)期中）計(jì)算：﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣97+98﹣99＝﹣50．【分析】根據(jù)結(jié)合律，可得答案．【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）]﹣99=1+1+1+?+1＝49﹣99＝﹣50，故答案為：﹣50．【變式5-1】（襄汾縣期中）計(jì)算：1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+……+2013+2014﹣2015﹣2016【分析】根據(jù)每四項(xiàng)運(yùn)算結(jié)果可知，每四項(xiàng)結(jié)果為﹣4，2016÷4＝504，正好為4的倍數(shù)，從而得出結(jié)論．【解答】解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四項(xiàng)結(jié)果為﹣4，2016÷4＝504，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×504＝﹣2016．【變式5-2】（工業(yè)園區(qū)月考）計(jì)算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+（﹣100）的值為（）A．50 B．﹣50 C．101 D．﹣101【分析】原式兩項(xiàng)兩項(xiàng)合并正好得50個(gè)（﹣1），最后計(jì)算結(jié)果即可．【解答】解：原式＝（1﹣2）+（3﹣4）+（4﹣5）+?+（99﹣100）=?1?1?1??1＝﹣50，故選：B．【變式5-3】（工業(yè)園區(qū)月考）計(jì)算：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99；（2）|1102?1101|+|【分析】（1）兩個(gè)一組計(jì)算，再相加即可求解；（2）先計(jì)算絕對(duì)值，再抵消計(jì)算即可求解．【解答】解：（1）1﹣3+5﹣7+9﹣11+…+97﹣99＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2）＝﹣2×25＝﹣50；（2）|1102?1101|+|=1＝0．【題型6裂項(xiàng)相消法】【例6】（嘉定區(qū)期末）【閱讀材料】問題：如何計(jì)算11×2解：原式=(1?根據(jù)閱讀材料，請(qǐng)你完成下列問題：（1）計(jì)算：21×3（2）直接寫出結(jié)果：13+115（3）計(jì)算：11×5【分析】（1）將原式裂項(xiàng)，再兩兩抵消計(jì)算可得；（2）原式利用1(2n?1)(2n+1)=1（3）利用相同的方法裂項(xiàng)計(jì)算可得．【解答】解：（1）原式=(1?1（2）原式=12×[（1?13）+（13?=12×=5故答案為：511（3）原式=【變式6-1】（遂寧期末）請(qǐng)先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問題：先觀察下列等式：11×2=1?12將以上等式兩邊分別相加得：1然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：（1）猜想并寫出：1n(n?1)=1（2）直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：①11×2+12×3②11×2+12×3（3）探究并計(jì)算：12×4【分析】（1）觀察上述式子，發(fā)現(xiàn)拆項(xiàng)規(guī)律，寫出即可；（2）利用得出的規(guī)律化簡(jiǎn)所求式子，計(jì)算即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)得出的規(guī)律將原式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：1n(n?1)（2）①原式＝1?12+②原式＝1?12+（3）原式=12×（12?14故答案為：（1）1n(n?1)=1n?1【變式6-2】（虹口區(qū)期末）先閱讀，再答題23=3?11×3=1?13根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出（1）299（2）2n(n+2)=1計(jì)算：23【分析】（1）根據(jù)題目中的式子，可以寫出相應(yīng)的結(jié)果；（2）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果；（3）根據(jù)題目中式子的特點(diǎn)，可以計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果．【解答】解：（1）299（2）2n(n+2)23＝1?＝1?=14故答案為：19?1【變式6-3】（高安市期中）閱讀下面的文字，完成解答過程．（1）11×2=1?12，12×3=12?1（2）根據(jù)上述方法計(jì)算：11×3（3）根據(jù)（1），（2）的計(jì)算，我們可以猜測(cè)下列結(jié)論：1n(n+k)=1k（1n?1n+k）【分析】（1）根據(jù)題中給出的列子可直接得出結(jié)論；（2）分別計(jì)算出11×3，13×5，（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論找出規(guī)律，并進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：（1）∵11×2=1?12，∴12007×2008故答案為：12007（2）∵11×3=13=12（1?13∴1=12（1=12（1=1003故答案為：10032007（3）根據(jù)（1），（2）的計(jì)算，我們可以猜測(cè)下列結(jié)論：1n(n+k)=111×4+14×7+故答案為：1k（1【題型7倒數(shù)求值法】【例7】（城廂區(qū)校級(jí)月考）先閱讀理解，再回答問題計(jì)算：(?1解：（方法一）原式＝(?1（方法二）原式的倒數(shù)為(＝﹣20+3﹣5+12＝﹣10．故原式=?1請(qǐng)閱讀上述材料，選