河北大學自控課件8

8.1非線件控制系統(tǒng)概述一、為什么研究非線性控制系統(tǒng)理想的線性系統(tǒng)并不存在，實際系統(tǒng)往往都是非線性系統(tǒng)，只是做了一些合理的假設以后把他們看成線性系統(tǒng)來處理。但是，這種線性方法并不是在一切情況下都適用的。系統(tǒng)中的非線性主要存在于兩個部分1）控制儀表和傳動機構2）對象本身的特性1/20/20251電子信息工程學院小偏差線性化：實質：將連續(xù)變化的非線性函數(shù)y=f(x)在平衡工作點（x0y0）展開為泰勒級數(shù)：xyy=f(x)x0增量較小時略去其高次冪項，則有1/20/20252電子信息工程學院例單擺運動

lMgsinθMgθ單擺運動示意圖根據(jù)牛頓運動定律可以直接導出此系統(tǒng)的動態(tài)方程為非線性項這是一輸入為零，輸出量為擺幅的二階非線性微分方程。當控制系統(tǒng)處在自動調節(jié)狀態(tài)的小擺幅下運行時，可應用小偏差線性化方法將非線性系統(tǒng)線性化。平衡狀態(tài)為

線性二階微分方程1/20/20253電子信息工程學院小偏差線性化條件：（1）系統(tǒng)中的變量在某一額定工作點附近做微小變化。（2）非線性特性在此工作點可導，也就是曲線光滑。在許多情況下，上述條件并不能夠滿足，如：存在有本質非線性情況。1、飽和特性－aak0ue放大器等很多元件都具有飽和特性2、死區(qū)特性－aak0ue測量元件，電機等都有死區(qū)1/20/20254電子信息工程學院3、間隙特性－aak0xe齒輪間隙是典型的間隙特性4、繼電器特性1/20/20255電子信息工程學院二、非線性控制系統(tǒng)的特點2、穩(wěn)定性分析復雜。

1、非線性系統(tǒng)的重要特征是不滿足線性疊加原理。例：一階非線性系統(tǒng)：兩個平衡狀態(tài)，其解為平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡狀態(tài)—小范圍穩(wěn)定平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)c=1c(t)c=0tc0>1c0<1由于描述非線性系統(tǒng)運動的數(shù)學模型為非線性微分方程，因此疊加原理不能應用。故能否應用疊加原理是兩類系統(tǒng)的本質區(qū)別。1/20/20256電子信息工程學院對于線性系統(tǒng)，只有一個平衡狀態(tài)，而且其穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結構和參數(shù)，與外作用和初始條件無關。對于非線性系統(tǒng)，系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)，系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要考慮各個平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，而且其平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性與外作用和初始條件有關。總結：3、可能存在自激振蕩現(xiàn)象所謂自激振蕩是指沒有外界周期變化信號的作用時，系統(tǒng)內產生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運動。范德波爾方程非線性阻尼項1/20/20257電子信息工程學院當擾動使時—系統(tǒng)具有負阻尼此時系統(tǒng)從外部獲得能量，的運動呈發(fā)散形式當擾動使時—系統(tǒng)具有正阻尼此時系統(tǒng)消耗能量，的運動呈收斂形式當時，系統(tǒng)為零阻尼，其運動呈等幅振蕩形式系統(tǒng)能克服擾動的影響，保持幅值為1的等幅振蕩——自持振蕩

tc(t)10-1非線性系統(tǒng)的自持振蕩1/20/20258電子信息工程學院4、頻率響應發(fā)生畸變非線性系統(tǒng)的頻率響應除了含有與輸入同頻率的正弦信號分量(基頻分量)外，還含有關于的高次諧波分量，使輸出波形發(fā)生非線性畸變。例：死區(qū)非線性特性三、非線性系統(tǒng)的分析與設計方法(1)相平面法相平面法是推廣應用時域分析法的一種圖解分析方法。該方法既能提供穩(wěn)定性信息，又能提供時間響應信息，特別適用于分析非線性系統(tǒng)在不同初始條件下或非周期信號輸入(脈沖、階躍、斜坡等)作用下的瞬態(tài)響應特性。但相平面法只限于一階、二階系統(tǒng)的分析和設計。(2)描述函數(shù)法描述函數(shù)法是基于頻域分析法和非線性特性諧波線性化的一種圖解分析方法。特別適用于分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性或自激振蕩。(3)逆系統(tǒng)法1/20/20259電子信息工程學院常見的本質非線性－aak0ue－aak0ue－aak0xe1/20/202510電子信息工程學院8.2相平面法一、相平面的基本概念描述二階時不變系統(tǒng)的常微分方程為是和的線性或非線性函數(shù)——系統(tǒng)運動的相變量(狀態(tài)變量)

—橫坐標—縱坐標0相平面（，）直角坐標平面稱為相平面

在一定的初始條件下，求解相變量從初始時刻對應的狀態(tài)點起，隨著時間的推移，狀態(tài)點在相平面上運動形成的曲線稱為相軌跡。不同的初始狀態(tài)對應不同的相軌跡—相軌跡簇。1/20/202511電子信息工程學院相平面圖相軌跡簇相平面相平面法——根據(jù)相平面圖分析系統(tǒng)的運動特征0t1t2t3t4t1t2t3t4t1t2t3t41/20/202512電子信息工程學院例8-1某彈簧-質量運動系統(tǒng)如圖所示，若初始條件為，，試確定系統(tǒng)自由運動的相軌跡。描述系統(tǒng)自由運動的微分方程式為該系統(tǒng)自由運動的相軌跡為以坐標原點為圓心、為半徑的圓分離變量積分得：01/20/202513電子信息工程學院例8-2已知系統(tǒng)的結構圖如下圖所示，求零初始條件，單位階躍輸入下系統(tǒng)運動的相軌跡。-系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)對單位階躍輸入關于誤差的微分方程為由給定零初始條件得(1,0)0MP1/20/202514電子信息工程學院二、相軌跡的性質：（1）相軌跡上每一點斜率—相軌跡斜率（2）相軌跡的奇點

當相軌跡同時滿足，時，該點相軌跡的斜率為0/0，是一個不定值，因此通過該點的相軌跡就有無數(shù)多條。同時滿足，的點稱為奇點。如果在一條線上滿足，則該直線為奇線。1/20/202515電子信息工程學院（3）相軌跡正交于軸在軸上，因而除去奇點外，在這些點上的斜率為∞，這表示相軌跡與相平面的橫軸正交。（4）相軌跡的運動方向在相平面的上半平面，隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運動方向是的增大方向，即向右運動。在相平面的下半平面，隨著時間的推移，系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運動方向是的減小方向，即向左運動。01/20/202516電子信息工程學院三、相軌跡的繪制方法（1）解析法（2）等傾線法直接由微分方程獲得和的解析關系式。基本思想：基本思想：先確定相軌跡的等傾線，進而繪出相軌跡的切線方向場，然后從初始條件出發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡。（不需求解微分方程）等傾線：相平面上相軌跡具有相等斜率的點的連線。該方程給出了相軌跡在相平面上任一點處切線的斜率。取相軌跡切線的斜率為某一常數(shù)，得等傾線方程：對于線性系統(tǒng)，等傾線為直線，非線性系統(tǒng)的等傾線為曲線。1/20/202517電子信息工程學院試用等傾線法繪制二階系統(tǒng)的相軌跡圖。例8-3—等傾線方程，

設，等傾線方程為—過原點，斜率的直線據(jù)此，求得取不同值時的等傾線：當取不同的值時，就得到不同斜率的等傾線，在每一條等傾線上作一系列相應斜率為的短線段。1/20/202518電子信息工程學院（3）法（圓弧近似法）在繪制相軌跡時，只要從初始點出發(fā)，沿著方向場依次連接各等傾線上的短線段。就得到系統(tǒng)在確定初始條件下的完整的相軌跡。由圖可見，由任何初始狀態(tài)出發(fā)的相軌跡是一卷向坐標原點的螺旋線。使用等傾線法繪制相軌跡應注意：坐標軸小和應選用相同的比例尺，以便于根據(jù)等傾線斜率準確繪制等傾線上一點的相軌跡切線；一般地，等傾線分布越密，則所作的相軌跡越準確。但隨所取等傾線的增加，繪圖工作量增加，同時也使作圖產生的積累誤差增大。為提高作圖精度，可采用平均斜率法，即取相鄰兩條等傾線所對應的斜率的平均值為兩條等傾線間直線的斜率。1/20/202519電子信息工程學院四、線性系統(tǒng)的相軌跡一階線性系統(tǒng)一階線性系統(tǒng)自由運動的微分方程：T<0T>0穩(wěn)定不穩(wěn)定1/20/202520電子信息工程學院二階線性系統(tǒng)二階線性系統(tǒng)自由運動的微分方程：對應的特征方程的特征根求其等傾線方程：令等傾線方程等傾線斜率為：兩條特殊的等傾線：等傾線斜率＝過等傾線的相軌跡的斜率當相軌跡運動至特殊的等傾線時，將沿著等傾線收斂或發(fā)散——漸近線1/20/202521電子信息工程學院兩條特殊的等傾線斜率滿足：——二階線性系統(tǒng)自由運動的微分方程所對應的特征方程的特征根1、1/20/202522電子信息工程學院2、—奇線發(fā)散收斂1/20/202523電子信息工程學院3、?。?）0相軌跡是以振蕩的方式卷向平衡點（2）兩個相等的負實根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點1/20/202524電子信息工程學院（3）兩個互異的負實根相軌跡是以非振蕩的方式趨向平衡點（4）一對純虛根0相軌跡為等幅振蕩1/20/202525電子信息工程學院（5）0（6）1/20/202526電子信息工程學院（6）總結：1/20/202527電子信息工程學院3、奇點與極限環(huán)（1）奇點同時滿足，的點稱為奇點。1/20/202528電子信息工程學院c&cwjawjac&c0wjac&c0wjac&cwjac&c0wjac&c穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點中心點鞍點1/20/202529電子信息工程學院00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量減小此類極限環(huán)的尺寸穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)1/20/202530電子信息工程學院00盡量增大此類極限環(huán)的尺寸盡量避免此類極限環(huán)的存在半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)1/20/202531電子信息工程學院非線性系統(tǒng)的相平面分析（針對于本質非線性）基本思想：分段線性化非線性系統(tǒng)分區(qū)線性系統(tǒng)相軌跡開關線-M－M繼電型非線性元件特性開關線：Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)繼電型非線性系統(tǒng)的分析例8-41/20/202532電子信息工程學院設在Ⅰ區(qū)內

系統(tǒng)誤差方程為由令等傾線方程顯然等傾線是平行于軸的一族直線，因此相軌跡是沿水平方向平移的一族曲線。漸近線：令Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)1/20/202533電子信息工程學院在Ⅱ區(qū)內

系統(tǒng)誤差方程為兩個區(qū)域的相平面圖關于原點對稱等傾線方程漸近線：Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)1/20/202534電子信息工程學院初始狀態(tài)(1，0)Ⅱ區(qū)Ⅰ區(qū)ABCD由A點開始，沿相軌跡曲線Ⅰ運動到開關線上的銜接點B；進入Ⅱ區(qū)，再從B點開始沿相軌跡曲線Ⅱ運動到分界線上的銜接點C；然后再進入I區(qū)，如此往復……。經過如此的往返振蕩，從理論上說系統(tǒng)狀態(tài)最后收斂于原點(0，0)。系統(tǒng)運動曲線呈衰減振蕩形式，靜態(tài)誤差為零。1/20/202535電子信息工程學院)(tc-)(tx)(ty0)(=tr)(sGN非線性環(huán)節(jié)線性部分設非線性環(huán)節(jié)輸入輸出描述為當非線性環(huán)節(jié)的輸入信號為正弦信號8.3描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念一般情況下，為非正弦周期信號，因而可以展開成傅里葉級數(shù)：直流分量第n次諧波分量1/20/202536電子信息工程學院直流分量當非線性元件的特性對坐標原點是奇對稱時，直流分量第n次諧波分量一般本質非線性均滿足當系統(tǒng)的線性環(huán)節(jié)具有低通濾波特性時，可認為中只有一次諧波分量會對輸出產生影響。非線性環(huán)節(jié)可近似認為具有和線性環(huán)節(jié)相類似的頻率響應形式。1/20/202537電子信息工程學院定義：正弦輸入信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的復數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。

非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應用有三個條件：

1、非線性系統(tǒng)應簡化成一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)連接的典型結構形式

。2、非線性元件的特性對坐標原點是奇對稱的。3、系統(tǒng)的線性部分應具有較好的低通濾波性能。1/20/202538電子信息工程學院二、描述函數(shù)的計算關于描述函數(shù)的計算，具有以下特點：若為奇函數(shù)，即，則為奇函數(shù)，且又為半周期內對稱描述函