中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)幾何專(zhuān)項(xiàng)知識(shí)精講+基礎(chǔ)提優(yōu)訓(xùn)練專(zhuān)題26 三角形的外接圓（提優(yōu)）-（解析版）

專(zhuān)題26三角形的外接圓（提優(yōu)）一．選擇題1．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，連接OB，若∠OBC＝30°，則∠A的度數(shù)為（）A．55° B．60° C．65° D．70°【分析】連接OA，OC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OA，OC，∵點(diǎn)O是△ABC的外心，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OAC＝∠OCA，∵∠OBC＝30°，∴∠OCB＝30°，∴∠BAC=12（180°﹣30°﹣30°）＝60故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，三角形的內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2．如圖，△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，AB為圓O的直徑，點(diǎn)D在圓O上，∠BAC＝35°，則∠ADC的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．65°【分析】由圓周角定理得出∠ACB＝90°，由直角三角形的性質(zhì)求出∠B＝50°，再由圓周角定理得出∠ADC＝∠B＝55°即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠B＝90°﹣35°＝55°，∴∠ADC＝∠B＝55°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的外接圓、圓周角定理以及直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．3．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，半徑為2cm，若BC＝2cm，則∠A的度數(shù)為（）A．30° B．25° C．15° D．10°【分析】連接OB和OC，證明△OBC為等邊三角形，得到∠BOC的度數(shù)，再利用圓周角定理得出∠A．【解答】解：連接OB和OC，∵圓O半徑為2，BC＝2，∴OB＝OC＝BC，∴△OBC為等邊三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠A=12∠BOC＝30故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理和等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線．4．如圖，點(diǎn)D，E分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC的AB，AC邊的中點(diǎn)，若DE＝1，則⊙O的直徑為（）A．32 B．3 C．233【分析】連接OB、OC，作OF⊥BC于F，根據(jù)三角形中位線定理求出BC，根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝120°，利用余弦的概念計(jì)算即可．【解答】解：連接OB、OC，作OF⊥BC于F，則BF＝CF=12∵點(diǎn)D，E分別AB，AC邊的中點(diǎn)，∴BC＝2DE＝2，由圓周角定理得，∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠OBF＝30°，∴OB=BF∴⊙O的直徑為43故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握三角形中位線定理、圓周角定理以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A＝50°．E是邊BC的中點(diǎn)，連接OE并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，則∠D的大小為（）A．55° B．65° C．60° D．75°【分析】連接CD，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是邊BC的中點(diǎn)，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∴∠ODB＝∠ODC=12∠BDC故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．6．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長(zhǎng)為（）A．4 B．43 C．833 【分析】連接CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直徑，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD=12∴AC=AD2故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，已知圓心〇在AB邊上，CD平分∠ACB交圓于點(diǎn)D，連接BD，若BD＝BC，則∠ABC的度數(shù)為（）A．30° B．42.5° C．45° D．60°【分析】易證AB為⊙O的直徑，∠ACB＝90°，由角平分線的性質(zhì)得出∠ACD＝∠BCD＝45°，由等腰三角形的性質(zhì)得出∠BCD＝∠BDC＝45°，再∠DBC＝90°，由圓周角定理得出∠ABD＝∠ACD＝45°，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，圓心〇在AB邊上，∴AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝45°，∴∠DBC＝90°，∵∠ABD＝∠ACD＝45°，∴∠ABC＝90°﹣45°＝45°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心、角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和三角形外接圓與外心性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖，圓O是△ABC的外接圓，連接OA、OC，∠OAC＝20°，則∠ABC的度數(shù)為（）A．140° B．110° C．70° D．40°【分析】在優(yōu)弧AMC上任取一點(diǎn)P，連接AP，CP，易求∠AOC的度數(shù)，則∠P的度數(shù)可得，再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形定理即可求出∠ABC的度數(shù)．【解答】解：在優(yōu)弧AMC上任取一點(diǎn)P，連接AP，CP，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝20°，∴∠AOC＝180°﹣2×20°＝140°，∴∠P＝70°，∵∠ABC+∠P＝180°，∴∠ABC＝110°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心的有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，熟記和圓有關(guān)的各種性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，△ABC，AC＝3，BC＝43，∠ACB＝60°，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線l，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點(diǎn)，則AE的最小值為（）A．3?1 B．7﹣43 C．3 【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC＝120°，由此推出點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的BC上運(yùn)動(dòng)，連接O'A交BC于E′，此時(shí)AE′的值最?。窘獯稹拷猓喝鐖D，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的BC上運(yùn)動(dòng)，連接O'A交BC于E′，此時(shí)AE′的值最?。藭r(shí)⊙O與⊙O'交點(diǎn)為E'．∵∠BE'C＝120°∴BC所對(duì)圓周角為60°，∴∠BOC＝2×60°＝120°，∵△BO′C是等腰三角形，BC＝43，∴O′B＝O′C＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO'＝90°∴O'A=O'C∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線，構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題．10．如圖△ABC為圓O的內(nèi)接三角形，D為BC中點(diǎn)，E為OA中點(diǎn)，∠ABC＝40°，∠BCA＝80°，則∠OED的大小為（）A．15° B．18° C．20° D．22°【分析】如圖，連接OC，取OC中點(diǎn)F，連接EF、DF，根據(jù)圓周角定理得到∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，求得∠OEF＝∠OFE=12（180°﹣80°）＝50°，連接OB，推出△OFD為等邊三角形，得到OD＝OF＝【解答】解：如圖，連接OC，取OC中點(diǎn)F，連接EF、DF，∴∠AOC＝2∠ABC＝80°，OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE=12（180°﹣80°）＝50連接OB，∵D為BC中點(diǎn)，∴BD＝CD，OD⊥BC，∴∠DOC=1∵∠BAC=12∴∠DOC＝∠BAC，∴∠DOC＝∠BAC＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵F為OC中點(diǎn)，∴OF＝FD，∴△OFD為等邊三角形，∴OD＝OF＝OE，∴O、E、F、D四點(diǎn)共圓，∴∠FED=1∴∠OED＝50°﹣30°＝20°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵．11．如圖，△ABC的外接圓⊙O的直徑BE交AC于點(diǎn)D，已知弧BC等于120°，cotC=233，則關(guān)于xA．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根【分析】BD為直徑，連接CE，構(gòu)成直角三角形．過(guò)O點(diǎn)作OF⊥BC．在Rt△CDF中，運(yùn)用銳角三角函數(shù)求邊長(zhǎng)；在Rt△BCE中，因?yàn)榛C等于120°，可求其兩銳角分別為60°、30°，根據(jù)銳角三角函數(shù)可求BD、DE的長(zhǎng)，代入判別式中，確定判別式的符號(hào)．【解答】解：過(guò)O點(diǎn)作OF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，連接CE．在Rt△CDF中，cotC=2設(shè)CF＝2，則DF=3已知弧BC等于120°，BE為直徑，所以∠E＝60°，∠ECB＝90°，∠EBC＝30°．在Rt△BDF中，BD＝2DF＝23，BF＝3．在Rt△BCE中，BC＝BF+CF＝5，BE=5DE＝BE﹣BD=4∵△＝（3BD）2﹣4?BD?DE＝（3×23）2﹣4×2＝36﹣32＝4＞0，又x1+x2=3BD＞0，x1?x2＝BD?DE∴方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的問(wèn)題、銳角三角函數(shù)與一元二次方程根的判別式的綜合運(yùn)用，一般需要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用銳角三角函數(shù)設(shè)邊長(zhǎng)，求邊長(zhǎng)，再用判別式判斷方程根的情況．二．填空題12．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD是直徑，AD＝8，則AC的長(zhǎng)為43．【分析】連接CD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠D＝180°﹣∠B＝60°，求得∠CAD＝30°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：連接CD，∵AB＝BC，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∴∠B＝180°﹣30°﹣30°＝120°，∴∠D＝180°﹣∠B＝60°，∵AD是直徑，∴∠ACD＝90°，∵∠CAD＝30°，AD＝8，∴CD=12∴AC=82?故答案為：43．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．13．如圖，AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，若∠BAD＝50°，則∠ACD＝40°．【分析】根據(jù)直徑所對(duì)圓周角是直角和同弧所對(duì)圓周角相等即可求出∠ACD的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接BD，∵AB為△ADC的外接圓⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝50°，∴∠ABD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACD＝∠ABD＝40°．故答案為：40．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的外接圓與外心．14．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)O是圓心，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，若DA＝EB，則∠DOE的度數(shù)是120度．【分析】連接OA，OB，根據(jù)已知條件得到∠AOB＝120°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OAB＝∠OBA＝30°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠DOA＝∠BOE，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接OA，OB，∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，∴∠AOB＝120°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠OAD＝30°，∴∠OAD＝∠OBE，∵AD＝BE，∴△OAD≌△OBE（SAS），∴∠DOA＝∠BOE，∴∠DOE＝∠DOA+∠AOE＝∠AOE+∠BOE＝∠AOB＝120°，故答案為：120．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8）．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），⊙D過(guò)A，B，O三點(diǎn)，C為優(yōu)弧OAB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)O重合），則cosC的值為45【分析】連接AB，由勾股定理可求AB的長(zhǎng)，由圓周角定理可得∠C＝∠BAO，由銳角三角函數(shù)可求解．【解答】解：如圖，連接AB，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8）．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），∴AO＝8，BO＝6，∴AB=AO∵∠C＝∠BAO，∴cosC＝cos∠BAO=AO故答案為：45【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，解直角三角形等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．16．已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，圓O過(guò)D、B、C三點(diǎn)，∠DOC＝2∠ACD＝90°．如果∠ACB＝75°，圓O的半徑為2，則BD的長(zhǎng)為2．【分析】可以連接OB，根據(jù)∠DOC＝2∠ACD＝90°．得∠ACD＝45°，進(jìn)而得∠BCD＝30°，∠BOC＝150°，∠DOB＝60°，證明△BOD是等邊三角形，即可求得BD的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接OB，∵∠DOC＝2∠ACD＝90°．∴∠ACD＝45°，∵∠ACB＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∵OC＝OD，∠DOC＝90°，∴∠DCO＝45°，∴∠BCO＝∠DCO﹣∠BCD＝15°，∵OB＝OC，∴∠CBO＝∠BCO＝15°，∴∠BOC＝150°，∴∠DOB＝∠BOC﹣∠DOC＝150°﹣90°＝60°，∵OB＝OD，∴△BOD是等邊三角形，∴BD＝OD＝2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的外接圓的性質(zhì)．17．如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，點(diǎn)D，E是⊙O上兩點(diǎn)，且∠DOE＝120°，若OD＝2，則圖中陰影部分的面積為4π3?【分析】連接OB，OC，過(guò)O作OH⊥BC于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和扇形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：連接OB，OC，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BOC＝120°，∵∠DOE＝120°，∴S扇形DOE＝S扇形BOC，過(guò)O作OH⊥BC于H，∴∠OBH＝30°，∠OHB＝90°，BC＝3BH，∴BH=32OB=3，OH∴BC＝23，∴圖中陰影部分的面積=120?π×22360?故答案為：4π3【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的外接圓與外心，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．18．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過(guò)BC邊的中點(diǎn)D，且EF∥AB，若AB＝6，則EF＝35．【分析】由相交弦定理可得ED?DF＝BD?DC＝9，EG?FG＝AG?GC＝9，DG=12【解答】解：設(shè)AC，EF相較于G，∵△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，AB＝6，∴AC＝BC＝AB＝6，∵弦EF經(jīng)過(guò)BC邊的中點(diǎn)D，且EF∥AB，∴BD＝CD＝3，AG＝CG＝3由相交弦定理可得ED?DF＝BD?DC＝9，EG?FG＝AG?GC＝9，∴DE?（3+FG）＝9，F(xiàn)G?（3+DE）＝9，∴DE＝FG=?3+3∴EF＝35，故答案為：35．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、垂徑定理、三角形中位線定理、相交弦定理等知識(shí)，能夠證得DE、GF的數(shù)量關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵．19．△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△EDC，點(diǎn)E在⊙O上，已知AE＝2，tanD＝3，則AB＝103【分析】根據(jù)圓周角定理得到∠AEB＝∠ACB＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，設(shè)CE＝3x，CD＝x，由勾股定理得到DE=10x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BD=【解答】解：∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∵將△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△EDC，∴AC＝CE，BC＝CD，∠ACE＝∠BCD，∠ECD＝∠ACB＝90°，∵tanD=CE∴設(shè)CE＝3x，CD＝x，∴DE=10x∵∠ACE＝∠BCD，∠D＝∠ABC＝∠AEC，∴△ACE∽△BCD，∴ACBC=CECD=AEBD∵AE＝2，∴BD=∵∠EAC+∠CBE＝180°，∴∠CBD+∠CBE＝180°，∴D，B，E三點(diǎn)共線，∴BE＝DE﹣BD=10x?∵AE2+BE2＝AB2，∴22+（10x?23）2＝（10x）∴x=10∴AB＝DE=10故答案為：103【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，勾股定理，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．20．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，延長(zhǎng)AC交DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BF=152，連接AO、CO．CO與AB相交于點(diǎn)G，∠CGE＝3∠CAB，OC＝10，將圓心O繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)O′，若點(diǎn)O′恰好落△ADF某一邊上時(shí)，則OO′的長(zhǎng)度為45或210【分析】延長(zhǎng)AO交BD于H，連接OB，OD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AB＝AD，推出AH垂直平分BD，根據(jù)平行線分線段成比例得到OHBH=OABF=43，根據(jù)勾股定理得到OO′=O'H2+OH2=45，過(guò)O作OO′⊥AB【解答】解：延長(zhǎng)AO交BD于H，連接OB，OD，∵∠ADC=12∠AOC=12（180°﹣∠OAC﹣∠OCA）=12（180°﹣4∠CAB∴∠DAB＝90°﹣∠ADC＝2∠CAB＝2∠OAB，∴∠OAD＝∠OAB，∵OA＝OB＝OD，∴∠OBA＝∠OAB＝∠OAD＝∠ODA，∴∠AOB＝∠AOD，在△OAB與△OAD中OA=OA∠AOB=∠AOD∴△OAB≌△OAD，∴AB＝AD，∵∠OAB＝∠OAD，∴AH垂直平分BD，∵∠OBA＝∠OAB＝∠BAC，∴OB∥AF，∴OHBH令OH＝4a，則BH＝3a，OB＝5a＝10，∴a＝2，∴BD＝2BH＝12，當(dāng)O′在BD上時(shí)，O′H＝O′B﹣BH＝4，∴OO′=O'H2過(guò)O作OO′⊥AB于K交AF于O′，則四邊形OAO′B是菱形，∴O′B＝OB＝5，BK=12AB＝3∴OK=O∴OO′＝2OK＝210．故答案為：45或210．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．三．解答題21．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB為⊙O的直徑，AB＝8，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD．（1）求證：∠DBA＝∠CAD；（2）若BC的長(zhǎng)度為2π，求∠AEB的度數(shù)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠CBD＝∠DBA，由圓周角定理可得∠DAC＝∠CBD，繼而可得出結(jié)論；（2）連接OC，根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到n＝90，根據(jù)圓周角定理得到∠BAC＝45°，根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA，∵∠DAC與∠CBD都是弧CD所對(duì)的圓周角，∴∠DAC＝∠CBD，∴∠DBA＝∠CAD；（2）解：連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB＝8，∴OB＝OC＝4，∵BC的長(zhǎng)度為2π，設(shè)∠BOC＝n°，∴n?π×4180=2∴n＝90，∴∠BOC＝90°，∴∠BAC＝45°，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=12∠ABC∴∠AEB＝∠CBD+∠ACB＝112.5°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，弧長(zhǎng)的計(jì)算公式，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．22．如圖，△ABC為⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB＝60°，弦CD平分∠ADB．（1）求證：△ABC為等邊三角形；（2）若BD＝3，AD＝5，過(guò)C點(diǎn)作BD的平行線交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，試求△CAE面積．【分析】（1）根據(jù)圓周角定理和等邊三角形的判定即可證明；（2）作CM⊥ED于點(diǎn)M，結(jié)合（1）可得△CDE是等邊三角形，然后證明△BCD≌△ACE，可得BD＝AE＝3，根據(jù)等邊三角形三線合一可得DM的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理得CM的長(zhǎng)進(jìn)而可得△CAE面積．【解答】解：（1）∵CD平分∠ADB，∴∠BDC＝∠ADC，∴BC=∴BC＝AC，∵∠ACB＝60°，∴△ABC為等邊三角形；（2）如圖，作CM⊥ED于點(diǎn)M，由（1）知：∠CDA＝∠BDC＝60°，∵CE∥BD，∴∠DCE＝∠BDC＝60°，∴△CDE是等邊三角形，∴CD＝CE，∵∠BCD＝60°﹣∠ACD＝∠ACE，在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD＝AE＝3，∴DC＝DE＝DA+AE＝8，∵CM⊥ED，∴DM=12∴CM=DC2∴△CAE面積為：12AE?CM＝63【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，垂徑定理，圓周角定理，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．23．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，M為AB上一點(diǎn)，過(guò)M，C，B三點(diǎn)的⊙O交AC于P，過(guò)點(diǎn)P作PD∥AB，交⊙O于點(diǎn)D．（1）若M是AB中點(diǎn)，連接MD，求證：四邊形APDM是平行四邊形；（2）連接PM，當(dāng)PM＝PC，且AC＝4，tanA=12，求線段【分析】（1）連接CM，PB，DM，證∠BMP＝90°，BP為⊙O的直徑，證MD為⊙O的直徑，由直角三角形的性質(zhì)得出CM=12AB＝BM，則CM=BM，得出DM垂直平分BC，則（2）連接BD、CD、BP，由圓周角定理得出∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，則四邊形PDBM為矩形，則PM＝BD，證PC＝BD，證Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），得出PD＝BC，在Rt△ACB中，由三角函數(shù)定義求出BC即可．【解答】（1）證明：連接CM，PB，DM，如圖1所示：∵∠C＝90°，四邊形BCPM為圓內(nèi)接四邊形，∴∠C+∠BMP＝180°，∴∠BMP＝90°，BP為⊙O的直徑，又∵PD∥AB，∴∠DPM＝180°﹣∠BMP＝90°，∴MD為⊙O的直徑，∵∠C＝90°，M為AB的中點(diǎn)，∴CM=12AB＝∴CM=又∵M(jìn)D為⊙O的直徑，∴DM垂直平分BC，∴PC∥MD，∴四邊形APDM為平行四邊形；（2）解：連接BD、CD、BP，如圖2所示：∵M(jìn)D和BP均為⊙O的直徑，∴∠DPM＝∠PMB＝∠PDB＝90°，∴四邊形PDBM為矩形，∴PM＝BD，∵PM＝PC，∴PC＝BD，在Rt△BPD和Rt△PBC中，BP=PBBD=PC∴Rt△BPD≌Rt△PBC（HL），∴PD＝BC，在Rt△ACB中，AC＝4，tanA=BC∴BC＝4tanA＝2，∴PD＝BC＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓、圓周角定理、垂徑定理、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)定義等知識(shí)；熟練掌握?qǐng)A周角定理和矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD平分∠ABC，BD與AC交于E點(diǎn)，AD⊥BD，過(guò)D作DF⊥AB于F，交AC于G，F(xiàn)D與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)H．（1）求證：點(diǎn)G是△ADE的外心；（2）若FG＝2，DH＝5，求EG的長(zhǎng)．【分析】（1）證得∠DEG＝∠FDB，得出DG＝EG，由∠ADE＝90°可證得DG＝AG＝EG，則結(jié)論得證；（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BH于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，證明△HDM∽△HGC，得出DHHG=DMGC，設(shè)EG＝x，則DG＝x，DF＝DM＝2+x，可得出CG，則CE可用x表示出來(lái)，證得EN＝2FG＝4，由角平分線的性質(zhì)可得出【解答】（1）證明：∵AD⊥BD，DF⊥AB，∴∠ADE＝90°，∠DFB＝90°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBE＝∠FBE，∵∠FDB+∠FBE＝90°，∠CEB+∠CBE＝90°，∴∠FDB＝∠CEB，又∠CEB＝∠DEG，∴∠DEG＝∠FDB，∴DG＝EG，∵∠ADG+∠GDE＝∠DAG+∠DEF＝90°，∴∠ADG＝∠DAG，∴DG＝AG，∴DG＝AG＝EG，∴點(diǎn)G是△ADE的外心；（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BH于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，∵BD平分∠ABC，DF⊥AB，DM⊥AH，EN⊥AB，EC⊥BH，∴DF＝DM，EN＝EC，∵DM⊥BH，∠ACB＝90°，∴DM∥GC，∴△HDM∽△HGC，∴DHHG設(shè)EG＝x，則DG＝x，DF＝DM＝2+x，∴55+x∴CG=x∴CE＝CG﹣EG=x2+7x+10∵GF⊥AB，EN⊥AB，∴GF∥EN，又∵AG＝EG，∴AF＝FN，∴EN＝2GF＝4，∴x2解得x=11?1，x∴EG=11【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，直角三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)及方程思想是解題的關(guān)鍵．25．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BD交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．（1）若AE＝4，AB＝5，求⊙O的半徑；（2）若BD＝2DF，求sin∠ACB的值．【分析】（1）連接OA，求BE＝3，設(shè)OA＝x，則OB＝x，OE＝x﹣3，得出（x﹣3）2+42＝x2，易求出半徑256（2）連接CD，先證OA⊥BC，再得OA∥CD，設(shè)OA與BC交于點(diǎn)H，OH＝a，則CD＝2a，OA＝4a，得出AH＝3a，由勾股定理得BH=15a，求出AB＝26a，則可得出sin∠ACB=【解答】解：（1）如圖1，連接OA，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∵AE＝4，AB＝5，∴BE=A設(shè)OA＝x，則OB＝x，∴OE＝x﹣3，在Rt△OAE中，OE2+AE2＝OA2，∴（x﹣3）2+42＝x2，解得x=25∴⊙O的半徑為256（2）如圖2，連接CD，設(shè)OA與BC交于點(diǎn)H，∵AB＝AC，∴OA⊥BC，∴∠BHO＝90°，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝90°，∴∠BHO＝∠BCD，∴OA∥CD，設(shè)OH＝a，則CD＝2a，∵BD＝2DF，BD＝2OD，∴DF＝OD，∴OA＝2CD＝4a，∴AH＝3a，∴BH=OB∴AB=AH2+B∴sin∠ACB＝sin∠ABC=AH【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，銳角三角函數(shù)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．26．如圖，在Rt∠ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE⊥BD交AB于點(diǎn)E，作△BDE的外接圓．（1）判斷直線AC與△BDE外接圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若tan∠ABD=22，AD＝6，求【分析】（1）取BE中點(diǎn)O，連接OD，根據(jù)已知條件證明OD⊥AC，即可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）證明△ADE~△ABD，利用銳角三角函數(shù)可得AE=32，AB=62，再證明△AOD~△【解答】解：（1）直線AC與△DBE外接圓相切．理由：∵DE⊥BD．∴BE為△BDE外接圓的直徑，如圖，取BE中點(diǎn)O，連接OD，∴OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD．∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠OBD，∴∠ODB＝∠CBD．∵∠C＝90°∴∠CBD+∠BDC＝90°，∴∠ODB+∠BDC＝90°，即OD⊥AC，又點(diǎn)D在AC上，∴直線AC與△BDE外接圓相切；（2）∵OD⊥AC，∴∠ADE+∠ODE＝90°，∵DE⊥BD，∴∠ODB+∠ODE＝90°，∴∠ADE＝∠ODB，∴∠ADE＝∠ABD，又∠A＝∠A，∴△ADE~△ABD，∴AEAD=ADAB=即AE6解得AE=32，AB=6∴OD=OE=1∴AO＝AE+EO＝92,∵∠A＝∠A，∠ADO＝∠C＝90°，∴△AOD~△ABC，∴ODBC∴BC=OD?AB【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外接圓與外心，圓周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．屬于中考題型．27．如圖，已知點(diǎn)D是△ABC外接圓⊙O上的一點(diǎn)，AC⊥BD于G，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作直線BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若點(diǎn)F是弧CD的中點(diǎn)，連接OG，OD，CD（1）求證：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG=62GE，試探究∠GOD與∠【分析】（1）根據(jù)平行線性質(zhì)及圓周角性質(zhì)直接得出結(jié)論．（2）作OM⊥DC于點(diǎn)M，連接OC．先證明∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，再根據(jù)AG與GE的關(guān)系推出DG＝OD，然后可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝∠ACB；（2）∠GOD與∠ADC之間的數(shù)量關(guān)系為：2∠GOD+∠ADC＝240°．理由如下：作OM⊥DC于點(diǎn)M，連接OC．∵AD∥BF，∴AB＝DF，∵F為CD中點(diǎn)，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，∵AC⊥BD于G，∴∠BGC＝∠AGD＝90°，∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°，設(shè)GE＝x，則AG=62∴DG=322x，BG＝√3x，GC＝3x，DC=362x，DM=∴DG＝OD，∴2∠GOD+∠ODG＝180°，∵∠ADB+∠ODC＝60°，∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，即2∠GOD+∠ADC＝240°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外接圓及其性質(zhì)、圓中各種角度的相互轉(zhuǎn)化、含30°的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，判斷出∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°以及證明DG＝OD是解答的關(guān)鍵．28．如圖，D是△ABC外接圓上的動(dòng)點(diǎn)，且B，D位于AC的兩側(cè)，DE⊥AB，垂足為E，DE的延長(zhǎng)線交此圓于點(diǎn)F．BG⊥AD，垂足為G，BG交DE于點(diǎn)H，DC，F(xiàn)B的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，且PC＝PB．（1）求證：BG∥CD；（2）設(shè)△ABC外接圓的圓心為O，若AB=3DH，∠OHD＝80°，求∠BDE【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得：∠PCB＝∠PBC，由四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得：∠BAD+∠BCD＝180°，從而得：∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，根據(jù)平行線的判定得：BC∥DF，可得∠ABC＝90°，AC是⊙O的直徑，從而得：∠ADC＝∠AGB＝90°，根據(jù)同位角相等可得結(jié)論；（2）先證明四邊形BCDH是平行四邊形，得BC＝DH，根據(jù)特殊的三角函數(shù)值得：∠ACB＝60°，∠BAC＝30°，所以DH=12①當(dāng)點(diǎn)O在DE的左側(cè)時(shí)，如圖2，作輔助線，構(gòu)建直角三角形，由同弧所對(duì)的圓周角相等和互余的性質(zhì)得：∠AMD＝∠ABD，則∠ADM＝∠BDE，并由DH＝OD，可得結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)O在DE的右側(cè)時(shí)，如圖3，同理作輔助線，同理有∠ADE＝∠BDN＝20°，∠ODH＝20°，得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1，∵PC＝PB，∴∠PCB＝∠PBC，∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠PCB＝180°，∴∠BAD＝∠PCB，∵∠BAD＝∠BFD，∴∠BFD＝∠PCB＝∠PBC，∴BC∥DF，