初中生數(shù)學(xué)模型觀(guān)念的培養(yǎng)

【摘要】數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng)是新一輪課程改革的熱點(diǎn)問(wèn)題，初中數(shù)學(xué)教師要全面精準(zhǔn)把握新課標(biāo)精神，進(jìn)一步提升模型觀(guān)念培養(yǎng)能力。文章在解讀數(shù)學(xué)模型概念的基礎(chǔ)上，提出了深入解讀課標(biāo)，把握教學(xué)任務(wù)；積極挖掘教學(xué)資源，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境；注重建構(gòu)過(guò)程，強(qiáng)化模型觀(guān)念；突出項(xiàng)目學(xué)習(xí)，促進(jìn)模型應(yīng)用等培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神和解決實(shí)際問(wèn)題能力的方法?！娟P(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；模型觀(guān)念；提升途徑；培養(yǎng)策略數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的某種特定對(duì)象或現(xiàn)象，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和符號(hào)描述和表達(dá)而形成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型思想是“能夠有意識(shí)地用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法，理解、描述以及解決現(xiàn)實(shí)世界中一類(lèi)問(wèn)題的思想”[1]。數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該注重模型思想的滲透和應(yīng)用，促使學(xué)生深刻領(lǐng)悟抽象難懂的數(shù)學(xué)概念，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、邏輯思維能力、創(chuàng)新精神和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，最終使學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以全面提升。具體而言，初中階段模型觀(guān)念的主要表現(xiàn)包含如下幾個(gè)方面：通過(guò)數(shù)學(xué)模型，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界交流的基本方式；能運(yùn)用方程、不等式、函數(shù)、統(tǒng)計(jì)量、分布概率等工具構(gòu)建模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；體驗(yàn)從現(xiàn)實(shí)情境中提出問(wèn)題，構(gòu)建模型解決問(wèn)題的過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)建模的思想方法[2]。一、深入解讀課標(biāo)，把握教學(xué)任務(wù)初中數(shù)學(xué)教師應(yīng)通過(guò)多種途徑不斷提升自己對(duì)數(shù)學(xué)模型觀(guān)念培養(yǎng)的理解和教學(xué)能力，努力將數(shù)學(xué)模型思想滲透到日常教學(xué)中，為學(xué)生的全面發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是教學(xué)的指南針，教師應(yīng)細(xì)致研讀其中關(guān)于模型觀(guān)念培養(yǎng)的過(guò)程和具體要求，理解其背后的教育理念和目標(biāo)，如何通過(guò)數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯推理、創(chuàng)新能力和問(wèn)題解決能力[3]。模型觀(guān)念培養(yǎng)的過(guò)程不僅僅是構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，更包括識(shí)別問(wèn)題、選擇模型、應(yīng)用模型、驗(yàn)證模型及優(yōu)化模型等完整流程。教師應(yīng)深刻理解這一過(guò)程的每個(gè)環(huán)節(jié)及其教育價(jià)值。通過(guò)閱讀國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的專(zhuān)業(yè)文獻(xiàn)，尤其是關(guān)于數(shù)學(xué)模型觀(guān)念培養(yǎng)的研究論文和教學(xué)案例，教師可以了解到最新的教育理念和教學(xué)方法，以及不同文化背景下模型教學(xué)的實(shí)踐探索，借鑒成功案例中的教學(xué)策略和技巧，結(jié)合自己學(xué)生的實(shí)際情況，設(shè)計(jì)符合他們認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)模型教學(xué)活動(dòng)。雖然各學(xué)段對(duì)模型思想的教學(xué)要求和目標(biāo)是不同的，但是它們是相輔相成、層層遞進(jìn)，呈螺旋式上升的。比如，在小學(xué)，人教版從學(xué)生身邊熟悉的情境——學(xué)科競(jìng)賽引入，讓學(xué)生體驗(yàn)了韋恩圖（模型）的構(gòu)建過(guò)程，感悟其中蘊(yùn)含的集合思想方法，用邏輯推理解決生活中較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題。初中數(shù)學(xué)中，有數(shù)的集合、多項(xiàng)式的集合、方程（組）解的集合、平面圖形的集合，以及符合特定條件的點(diǎn)的集合（軌跡）的直觀(guān)理解；也有利用韋恩圖的特點(diǎn)解決數(shù)學(xué)或生活中的問(wèn)題，如，表示特殊四邊形的相互關(guān)系，以及“取公共部分”求不等式（組）解集的應(yīng)用過(guò)程，都為高中系統(tǒng)學(xué)習(xí)集合思想和利用相關(guān)模型解決問(wèn)題奠定扎實(shí)的基礎(chǔ)。初中數(shù)學(xué)培養(yǎng)模型觀(guān)念需要注意提高模型構(gòu)建的深度與廣度，注重模型應(yīng)用的實(shí)踐性，以便培養(yǎng)學(xué)生的模型意識(shí)與觀(guān)念。課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)模型觀(guān)念的培養(yǎng)，每個(gè)年級(jí)的要求有所不同，七年級(jí)的學(xué)生主要是經(jīng)歷知識(shí)生成的過(guò)程，初步感受模型觀(guān)念；八年級(jí)學(xué)生要求會(huì)用方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型解決一些實(shí)際生活問(wèn)題；九年級(jí)學(xué)生則要求能夠比較完整地體驗(yàn)數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程。因此，我們要梳理統(tǒng)整初中三年的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)系統(tǒng)地以數(shù)學(xué)模型思想為主線(xiàn)，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和學(xué)習(xí)內(nèi)容的具體要求，設(shè)計(jì)出有針對(duì)性、有實(shí)踐性的教學(xué)方案，然后有系統(tǒng)地組織教學(xué)。比如，n個(gè)點(diǎn)可以連幾條線(xiàn)段、從同一個(gè)點(diǎn)引出的n條射線(xiàn)能形成幾個(gè)角、正多邊形的邊與對(duì)角線(xiàn)條數(shù)、某個(gè)集合的子集個(gè)數(shù)，到現(xiàn)實(shí)生活中的n個(gè)人的互相握手次數(shù)、單循環(huán)比賽場(chǎng)數(shù)、車(chē)票種類(lèi)數(shù)等，都是排列組合模型中的特殊情況，且貫穿于教材的多個(gè)章節(jié)中。因此，教師要注意根據(jù)學(xué)情，適時(shí)適度地學(xué)習(xí)與總結(jié)，并讓學(xué)生能熟練應(yīng)用，為今后高中的繼續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。二、積極挖掘教學(xué)資源，創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境教師既要深入研讀數(shù)學(xué)教材，又要開(kāi)發(fā)和利用課外資源，挖掘其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)模型元素，引導(dǎo)學(xué)生理解模型思想的應(yīng)用?；ヂ?lián)網(wǎng)蘊(yùn)藏著極其豐富的優(yōu)質(zhì)教學(xué)資源，無(wú)論是專(zhuān)業(yè)的教育平臺(tái)、權(quán)威的數(shù)學(xué)建模網(wǎng)站，還是教師社群分享，都能快速獲取到適合不同能力水平學(xué)生的模型觀(guān)念培養(yǎng)教學(xué)素材。學(xué)生們可以在教師的引導(dǎo)下，利用網(wǎng)絡(luò)資源深入學(xué)習(xí)和探究，接觸到更多元化的數(shù)學(xué)應(yīng)用場(chǎng)景，進(jìn)一步拓寬知識(shí)視野和思維空間，鍛煉思維能力和創(chuàng)新精神。教具的應(yīng)用在教學(xué)中有重要的實(shí)際意義，教師可以利用簡(jiǎn)易的耗材及身邊的廢舊物品自制教具和學(xué)具，如幾何圖形、概率實(shí)驗(yàn)裝置等，讓數(shù)學(xué)模型看得見(jiàn)、摸得著，讓學(xué)生在擺一擺、拼一拼、說(shuō)一說(shuō)的過(guò)程中觸類(lèi)旁通，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力和創(chuàng)新思維。新課標(biāo)中重點(diǎn)提出了“三會(huì)”，都是要建立數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系。教師要將數(shù)學(xué)模型觀(guān)念的培養(yǎng)與學(xué)生的生活實(shí)際相結(jié)合，設(shè)計(jì)貼近學(xué)生生活的問(wèn)題情境，讓學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的魅力和價(jià)值，增強(qiáng)學(xué)生的直觀(guān)感受和實(shí)踐能力。一是從學(xué)生的日常生活出發(fā)，選取與數(shù)學(xué)模型緊密相關(guān)的實(shí)例，如購(gòu)物打折、測(cè)量距離、計(jì)算利息等，通過(guò)這些實(shí)例讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。還可以利用多媒體教學(xué)工具，展示數(shù)學(xué)模型在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用場(chǎng)景，增強(qiáng)學(xué)生的直觀(guān)感受。比如，在學(xué)習(xí)相似三角形的概念時(shí)，學(xué)生可以利用幾何畫(huà)板等可視化工具，動(dòng)態(tài)地探索和構(gòu)建相似三角形的模型。二是讓學(xué)生在模擬情境中體驗(yàn)。教師在課堂中設(shè)計(jì)模擬情境，如超市購(gòu)物、旅行規(guī)劃、工程問(wèn)題等，讓學(xué)生扮演不同角色，加深數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與掌握，體驗(yàn)數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用過(guò)程。三是鼓勵(lì)學(xué)生走出課堂，深入校園乃至社區(qū)，進(jìn)行實(shí)地調(diào)查和研究，如測(cè)量校園面積、調(diào)查同學(xué)身高體重與生活習(xí)慣關(guān)系、繪制社區(qū)地圖等。讓學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中，掌握科學(xué)研究的基本方法，培養(yǎng)創(chuàng)新思維和批判性思維，為未來(lái)的學(xué)術(shù)研究和職業(yè)發(fā)展打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。教師可通過(guò)搭建有效的學(xué)習(xí)支架，明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，逐步引導(dǎo)與示范；提供學(xué)習(xí)資源和工具、設(shè)置挑戰(zhàn)性問(wèn)題等策略來(lái)促進(jìn)學(xué)生模型觀(guān)念的全面發(fā)展。比如，從小明騎自行車(chē)的簡(jiǎn)單“行程問(wèn)題”，可以拓展到“規(guī)劃出行路線(xiàn)”：小明要到某地參加一項(xiàng)活動(dòng)，他需要確保在活動(dòng)開(kāi)始前到達(dá)目的地。層次一：假如規(guī)劃小明是從家出發(fā)，先騎自行車(chē)到火車(chē)站，然后乘坐火車(chē)前往另一個(gè)城市，再乘坐出租車(chē)到活動(dòng)地點(diǎn)。如果限定小明乘坐的火車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間是上午10點(diǎn)出發(fā)，他最晚應(yīng)該在什么時(shí)間出發(fā)騎自行車(chē)，以確保他能按時(shí)參加活動(dòng)。層次二：限定小明在下午2點(diǎn)前到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)，鼓勵(lì)學(xué)生探索不同的出行組合方式。教師要指導(dǎo)學(xué)生使用手機(jī)中的App軟件，方便便捷的規(guī)劃出行路線(xiàn)。如，利用百度地圖查詢(xún)各種交通工具的路線(xiàn)、時(shí)長(zhǎng)和費(fèi)用，包括騎行、公交、出租車(chē)、地鐵、火車(chē)等。利用鐵路12306查詢(xún)火車(chē)班次、余票情況、發(fā)車(chē)時(shí)間、到達(dá)時(shí)間等。層次三：引導(dǎo)學(xué)生比較不同方案的時(shí)間成本、經(jīng)濟(jì)成本及舒適度，選擇最適合的方案。教師要引導(dǎo)學(xué)生思考如何在時(shí)間、費(fèi)用和舒適度之間找到最佳平衡點(diǎn)，教會(huì)學(xué)生根據(jù)天氣、個(gè)人體力狀況、活動(dòng)緊急程度等因素靈活調(diào)整出行方案，同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新思維。比如，考慮拼車(chē)、使用共享單車(chē)解決短途接駁等新型出行方式。通過(guò)這樣的層次遞進(jìn)教學(xué)，不僅幫助學(xué)生掌握了實(shí)用的出行規(guī)劃技能，還培養(yǎng)了他們管理時(shí)間、控制成本和綜合分析的能力。三、注重建構(gòu)過(guò)程，強(qiáng)化模型觀(guān)念用整體、聯(lián)系、發(fā)展的眼光注重建構(gòu)過(guò)程至關(guān)重要，因?yàn)樵谶@個(gè)過(guò)程中體現(xiàn)了從理解數(shù)學(xué)知識(shí)到建立數(shù)學(xué)模型的思維變化，引發(fā)學(xué)生深刻思考，強(qiáng)化模型觀(guān)念。在概念、定理及法則的教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生親身體驗(yàn)這些數(shù)學(xué)構(gòu)件從具體到抽象的演變過(guò)程，促使學(xué)生深入理解其內(nèi)在邏輯與核心要義，深刻把握其本質(zhì)特征。比如，講解平方差公式時(shí)，先用多項(xiàng)式相乘的法則計(jì)算，再引導(dǎo)觀(guān)察、分析、歸納相乘的兩個(gè)多項(xiàng)式有什么特點(diǎn)？積又有什么特點(diǎn)？積與原式之間有什么聯(lián)系？讓學(xué)生聚焦平方差公式模型的本質(zhì)，能充分喚醒并激發(fā)學(xué)生的模型意識(shí)，進(jìn)而在實(shí)踐中不斷深化對(duì)模型觀(guān)念的理解與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)模型觀(guān)念培養(yǎng)的有效落地。在課堂練習(xí)時(shí)，通過(guò)同類(lèi)演練、變式拓展等形式，引導(dǎo)學(xué)生從特殊到一般逐步去體會(huì)模型中的整體思想，理解模型中“不變”與“變”的本質(zhì)，體會(huì)模型的共性實(shí)質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生模型觀(guān)念，提升學(xué)生建模能力。學(xué)習(xí)完平方差公式后，師生可以共同完成練習(xí)：（a+b）（a-b）=a2-b2（-a-b）（a-b）=b2-a2（3x+2y）（3x-2y）=（3x）2-（2y）2=9x2-4y2（a+b+c）（a+b-c）=（a+b）2-c2=a2+2ab+b2-c2（a-b）（a+b）（a2+b2）（a4+b4）=a8-b8學(xué)生就會(huì)理解，這里的a和b，不管是具體的某個(gè)數(shù)，還是一個(gè)代數(shù)式，重點(diǎn)是是否符合公式特征，只有符合公式的特征才能用這個(gè)公式進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。如，當(dāng)學(xué)生遇到10.2×9.8時(shí)，能夠根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)聯(lián)想到平方差公式的模型，主動(dòng)選擇更簡(jiǎn)便的方法來(lái)解決問(wèn)題?？梢詮暮?jiǎn)單的例子開(kāi)始，逐漸增加難度和復(fù)雜性，直到學(xué)生能夠獨(dú)立建構(gòu)和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型。比如，在研究“游船的最短航行距離”中，研究從“兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短”“垂線(xiàn)段最短”到“將軍飲馬”，再到“一定兩動(dòng)點(diǎn)”下三段距離之和的最短問(wèn)題，進(jìn)而再解決“兩定點(diǎn)兩動(dòng)點(diǎn)”情況下三段距離之和最短問(wèn)題，等等，這樣“溫水煮青蛙”式的“進(jìn)位”，巧妙地引導(dǎo)學(xué)生從兩條線(xiàn)段和最小的問(wèn)題中體會(huì)思想、提煉方法、舉一反三，不知不覺(jué)中提高了學(xué)生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力。教師要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與實(shí)踐操作，通過(guò)親自動(dòng)手來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題。比如，學(xué)習(xí)全等三角形的證明時(shí)，全等三角形的幾何模型卻是多種多樣的，它們都有什么樣的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)呢？如何分類(lèi)整理出來(lái)呢？這就需要學(xué)生在操作的基礎(chǔ)上，分析思考、整理內(nèi)化，讓圖形有序、分門(mén)別類(lèi)地呈現(xiàn)出來(lái)。教師可以讓同學(xué)們通過(guò)平移、翻轉(zhuǎn)、旋轉(zhuǎn)、平移加翻轉(zhuǎn)、平移加旋轉(zhuǎn)等得出全等三角形的不同組合形態(tài)，再根據(jù)不同的組合形態(tài)抽象出不同的全等三角形幾何模型。四、基于項(xiàng)目學(xué)習(xí)，促進(jìn)模型應(yīng)用課堂上教師通過(guò)巧妙的設(shè)計(jì)完成“建?！边^(guò)程，而課后更要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)自覺(jué)地“用模”，來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題，真正內(nèi)化模型觀(guān)念。教師可以將與學(xué)生生活密切相關(guān)的問(wèn)題引入課堂，如購(gòu)物、旅行規(guī)劃、家庭預(yù)算等，讓學(xué)生在解決這些問(wèn)題的過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)模型的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。教師也可講解數(shù)學(xué)模型在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型的普適性和重要性。課后作業(yè)要精心設(shè)計(jì)，使學(xué)生在完成作業(yè)的過(guò)程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去數(shù)學(xué)地思考與表達(dá)，將學(xué)習(xí)的模型納入認(rèn)知系統(tǒng)，讓模型觀(guān)念生根，從而加強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。比如，學(xué)習(xí)了“一次函數(shù)的應(yīng)用——分段收費(fèi)問(wèn)題”后，教師可以布置學(xué)習(xí)任務(wù)——分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題的調(diào)查，讓學(xué)生們走進(jìn)生活，去探索分段計(jì)費(fèi)在生活中的廣泛應(yīng)用：（1）調(diào)查走訪(fǎng)，尋找生活中的分段計(jì)費(fèi)問(wèn)題；（2）任選其中一種問(wèn)題進(jìn)行重點(diǎn)調(diào)查（查閱資料或?qū)嵉乜疾欤?，弄清具體收費(fèi)要求；（3）構(gòu)建函數(shù)模型，結(jié)合數(shù)學(xué)題并解決。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生加深了對(duì)“分段計(jì)費(fèi)”模型的理解，學(xué)會(huì)了在實(shí)際背景的問(wèn)題中收集信息并分析問(wèn)題，建立需要的數(shù)學(xué)模型，選擇合適的方法求解，分析這個(gè)解的意義，并與實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行比較。如果解不合理則調(diào)整模型，直到實(shí)際問(wèn)題得到解決。跨學(xué)科和項(xiàng)目式學(xué)習(xí)是新教材的特色和亮點(diǎn)。教師要鼓勵(lì)學(xué)生參與項(xiàng)目式學(xué)習(xí)，通過(guò)小組合作、調(diào)查研究、數(shù)據(jù)收集與分析等方式，自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型并解決實(shí)際問(wèn)題，從而培養(yǎng)他們的探究精神和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)跨學(xué)科學(xué)習(xí)的綜合素養(yǎng)。如，學(xué)習(xí)完“軸對(duì)稱(chēng)”和“中心對(duì)稱(chēng)”后，教師可以布置“制作美麗的對(duì)稱(chēng)圖形”的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀(guān)察、折疊、思考、抽象、裁剪或繪制等一系列實(shí)踐活動(dòng)，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科知識(shí)，自主分析問(wèn)題、解決問(wèn)