江蘇省南通市如皋市2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期1月期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第第頁(yè)2024~2025學(xué)年度第一學(xué)期八年級(jí)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁(yè)，滿分為150分，考試時(shí)間為100分鐘．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題紙一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、智學(xué)號(hào)用0.5毫米黑色字跡的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題紙指定的位置．3．答案必須按要求填涂、書(shū)寫(xiě)在答題紙上，在試卷、草稿紙上答題一律無(wú)效．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母代號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.地鐵作為一種高效、低碳、大容量的公共交通方式，已經(jīng)成為許多國(guó)家和地區(qū)城市化進(jìn)程中不可或缺的基礎(chǔ)設(shè)施．2023年12月27日，南通城市軌道交通2號(hào)線通車(chē)儀式在體育公園站舉行，標(biāo)志著南通地鐵邁入“雙線換乘時(shí)代”．下列地鐵標(biāo)志中，是軸對(duì)稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】此題考查了軸對(duì)稱圖形．一個(gè)圖形沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A．沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，符合題意；B．不能沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；C．不能沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；D．不能沿某條直線折疊后，直線兩邊的部分能夠完全重合，這個(gè)圖形不是軸對(duì)稱圖形，不符合題意；故選：A2.計(jì)算的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則求出即可．【詳解】解：a6÷a3=a6-3=a3．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了同底數(shù)冪的除法運(yùn)算，正確把握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3.在，，，中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，最簡(jiǎn)二次根式的必須滿足兩個(gè)條件：（1）被開(kāi)方數(shù)不含有開(kāi)的盡方的因數(shù)或因式，（2）被開(kāi)方數(shù)不含有分母．根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義判定即可．【詳解】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)符合題意；B、∵，∴不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；C、∵，∴不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；D、∵，∴不是最簡(jiǎn)二次根式，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：A．4.人體內(nèi)一種細(xì)胞的直徑約為微米，相當(dāng)于米，數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法表示絕對(duì)值小于1的數(shù)，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示形式是解題的關(guān)鍵．將一個(gè)數(shù)表示成的形式，其中，n為整數(shù)，當(dāng)絕對(duì)值小于1時(shí)，n為負(fù)整數(shù)，由第一個(gè)非零數(shù)字前零的個(gè)數(shù)決定；確定a、n的值成為解題的關(guān)鍵．據(jù)此求解即可．【詳解】解：．故選：C．5.如圖，，，，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到，由三角形內(nèi)角和定理即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，，∴，∴，故選：B6.下列由、、組成的三角形中，是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)，，滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和等于最長(zhǎng)邊的平方即可．【詳解】解：、，故線段、、組成的三角形不是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意；B、，故線段、、組成的三角形不是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意；C、，故線段、、組成的三角形是等邊三角形，不是直角三角形，本選項(xiàng)不符合題意；D、，故線段、、組成的三角形是直角三角形，本選項(xiàng)符合題意．故選：D．7.若且，則代數(shù)式的值等于（）A.-2 B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】運(yùn)用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，化簡(jiǎn)，再將，整體代入即可解題．【詳解】當(dāng)，時(shí)原式故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查整式的乘法，代數(shù)式求值，其中涉及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、整體代入法等知識(shí)，是常見(jiàn)基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．8.雨傘在開(kāi)合過(guò)程中某一時(shí)刻截面圖如圖所示，傘骨，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，是支架，且，在將傘打開(kāi)的過(guò)程中，總有，這里得到兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】此題考查了全等三角形的判定．證明，又由，，即可證明．【詳解】解：∵，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，∴，∵，，∴，故選：C9.如圖，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)均在格點(diǎn)上，是與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，則的長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面積．先通過(guò)勾股定理和逆定理證明出，再用等面積法求出，即可求出．【詳解】解：根據(jù)題意利用勾股定理計(jì)算出：，，∴是直角三角形，，，，解得：，∴，故選：B．10.如圖，，，交于點(diǎn)，是中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．在線段上，且，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)E，連接，，得到，利用平行線分線段得到，求出，證明四邊形是平行四邊形，得到，由此，當(dāng)F，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即線段的長(zhǎng)，證是等邊三角形，，利用勾股定理求出．【詳解】解：作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)M作交于點(diǎn)E，連接，，∵，，∴，∵，∴，∵，是中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴，當(dāng)F，M，E三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，即線段的長(zhǎng)，∵，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共8小題，第11~12題每小題3分，第13~18題每小題4分，共30分．不需寫(xiě)出解答過(guò)程，請(qǐng)把答案直接填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）11.若分式有意義，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】本題考查分式有意義的條件；理解分母不能等于0是解題的關(guān)鍵．分式有意義的條件是分母不等于0．據(jù)此進(jìn)行解答即可．【詳解】解：分式有意義，則，所以，故答案為：．12.計(jì)算：_____．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的意義即可求出答案．【詳解】∵，∴，故答案為1.【點(diǎn)睛】本題考查零指數(shù)冪的意義，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用零指數(shù)冪的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型．13.若等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為，則它的頂角度數(shù)為_(kāi)____________°．【答案】100【解析】【分析】本題主要考查了等腰三角形兩底角相等，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合等腰三角形兩底角相等，求出它的頂角度數(shù)即可．【詳解】解：∵等腰三角形的一個(gè)底角的度數(shù)為，∴它的頂角度數(shù)為：，故答案為：100．14.如圖，是的角平分線，，．過(guò)點(diǎn)作，垂足為，若，則的面積為_(kāi)_________．【答案】10【解析】【分析】此題考查角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算．詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)H，∵是的角平分線，，，∴，∴，故答案為：10．15.一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為，長(zhǎng)為，則該長(zhǎng)方形的寬為_(kāi)_________．【答案】##【解析】【分析】此題考查二次根式的除法的應(yīng)用，根據(jù)題意，用長(zhǎng)方形的面積除以長(zhǎng)即可得到寬．【詳解】解：一個(gè)長(zhǎng)方形的面積為，長(zhǎng)為，則該長(zhǎng)方形的寬為，故答案為．16.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲．在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明利用如圖1所示的5個(gè)連排正方形，分割后拼成如圖2所示的一個(gè)大正方形，就得到了“趙爽弦圖”．若圖1中的小正方形邊長(zhǎng)為1，則圖中的大正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】此題考查了正方形的面積和邊長(zhǎng)、求算術(shù)平方根等知識(shí)，根據(jù)題意得到大正方形的面積為，利用正方形的面積和算術(shù)平方根即可求出答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，大正方形的面積為，∴圖中的大正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：17.學(xué)校綠化養(yǎng)護(hù)原本采用漫灌的方式，噸水可用天．為了節(jié)約用水，現(xiàn)采用噴灌的方式，噸水可多用10天，則漫灌每天的用水量是噴灌每天用水量的__________倍．【答案】【解析】【分析】此題考查列代數(shù)式（分式），掌握基本的數(shù)量關(guān)系：水的總量天數(shù)每一天的用水量是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．首先求得漫灌方式每天的用水量為噸，噴灌方式每天的用水量為噸，用原來(lái)的減去現(xiàn)在的列出算式，進(jìn)一步計(jì)算得出答案即可．【詳解】解：漫灌方式每天的用水量為噸，噴灌方式每天的用水量為噸，根據(jù)題意，得．故答案為：18.對(duì)于結(jié)論“周長(zhǎng)一定的長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬相等時(shí)面積最大”，小明通過(guò)右側(cè)的圖形割補(bǔ)用特例進(jìn)行了說(shuō)明：如圖，將圖1中周長(zhǎng)為8的長(zhǎng)方形裁成長(zhǎng)方形（邊長(zhǎng)為2和）和長(zhǎng)方形，并拼成圖2．由面積相等得：，所以，當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)方形面積取得最大值為4．據(jù)此可得，代數(shù)式的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式與圖形面積．先將代數(shù)式化為，根據(jù)題中圖形面積的求法畫(huà)出相應(yīng)的圖形，求出的最大值，進(jìn)而求出的最大值．【詳解】解：依題意有，當(dāng)時(shí)，如圖，陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，∴，當(dāng)時(shí)，如圖，陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，∴，當(dāng)時(shí)，該長(zhǎng)方形為邊長(zhǎng)是6的正方形，邊長(zhǎng)是和長(zhǎng)方形的最大面積是36，的最大值為．故答案為：三、解答題（本大題共8小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19.計(jì)算和分解因式（1）計(jì)算：；（2）分解因式：．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，合并同類(lèi)二次根式，因式分解等知識(shí)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．（1）先把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，然后合并即可；（2）先提公因式，再利用平方差公式繼續(xù)分解即可．【小問(wèn)1詳解】解：；【小問(wèn)2詳解】解：．20.計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】此題考查了整式的混合運(yùn)算和分式的混合運(yùn)算，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）利用完全平方公式和平方差公式展開(kāi)，再合并同類(lèi)項(xiàng)即可；（2）先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式減法，再計(jì)算乘法即可．【小問(wèn)1詳解】解：小問(wèn)2詳解】21.如圖，的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）作出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形．【答案】（1），理由見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】本題主要考查了作軸對(duì)稱圖形，勾股定理．（1）根據(jù)，，，由坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式求出，，得出；（2）作出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)、、，然后順次連接即可．【小問(wèn)1詳解】解：，理由如下，∵，，，∴，，∴，故答案為：；【小問(wèn)2詳解】解：如圖，即為所求作的三角形；．22.如圖，點(diǎn)在同一條直線上，．（1）求證：；（2）若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）3【解析】【分析】此題考查平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，由此根據(jù)證明三角形全等；（2）根據(jù)三角形的全等的性質(zhì)得到，由此求出的長(zhǎng)．【小問(wèn)1詳解】證明：∵．∴∵∴；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴，即，∴．23.近期，如皋的早茶文化深受廣大人民的歡迎和喜愛(ài)，通過(guò)互聯(lián)網(wǎng)的傳播，吸引了不少外地游客前來(lái)品嘗．小嚴(yán)和小許商量一起來(lái)如皋體驗(yàn)，下面是兩人的聊天記錄．請(qǐng)根據(jù)他們的對(duì)話，分別求出小嚴(yán)和小許的速度．【答案】小許的速度為公里／小時(shí)，小嚴(yán)的速度為公里／小時(shí)．【解析】【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用．設(shè)小許的速度為公里／小時(shí)，則小嚴(yán)的速度為公里／小時(shí)，根據(jù)“小嚴(yán)晚15分鐘出發(fā)”列分式方程，求解即可．【詳解】解：設(shè)小許的速度為公里／小時(shí)，則小嚴(yán)的速度為公里／小時(shí)，根據(jù)題意得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，，答：小許的速度為公里／小時(shí)，小嚴(yán)的速度為公里／小時(shí)．24.在中，，，．（1）求的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)為上的一點(diǎn)，將沿直線翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處．請(qǐng)利用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出點(diǎn)（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡），并求出的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）圖見(jiàn)解析，．【解析】【分析】本題考查了尺規(guī)作圖－作角平分線，勾股定理與折疊問(wèn)題．（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，設(shè)，則，在中，利用勾股定理列式計(jì)算即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：∵，，，∴；小問(wèn)2詳解】解：如圖，點(diǎn)即為所求作，∵將沿直線翻折，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，∴，，∴，設(shè)，則，在中，，即，解得，∴．25.如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如圖2，點(diǎn)在上，是等邊三角形，交于點(diǎn)，連接，求證：；（3）在（2）的條件下，與的面積之比是，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積等知識(shí)．（1）根據(jù)全等三角形的定義得到，由平行線的性質(zhì)得到，即可證明是等邊三角形，則，即可得到結(jié)論；（2）是等邊三角形，是等邊三角形，則，即可得到，即可證明；（3）連接，證明，則，由與的面積之比是得到，則與的面積之比是，設(shè)的面積為，則的面積為，設(shè)的面積為，則的面積，得到的面積為，的面積為，則與的面積之比是，得到與的面積之比是，得到，即，，即可得到的值．【小問(wèn)1詳解】∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】∵是等邊三角形，是等邊三角形，∴，∴，∴；【小問(wèn)3詳解】連接，∵是等邊三角形，是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∵與的面積之比是，∴，∴與面積之比是，設(shè)的面積為，則的面積為