2024屆山東濟(jì)寧某中學(xué)高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆山東濟(jì)寧一中高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：木題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若函數(shù)/（力=力。工一以2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.0,mB.C.（1,2）D.（2,e）

2.已知”=log,正，Z?=ln3,C=2《99,則。/,c的大小關(guān)系為（）

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.c>b>a

3.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為+.給出下

列四個(gè)結(jié)論：

①曲線C有四條對(duì)稱軸；

②曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為-；

4

③曲線C第一象限上任意一點(diǎn)作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為:；

X

7T

④四葉草面積小于一.

4

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①@B.①@C.①③④D.①②④

4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入〃=!，則輸出的〃的值為（）

2

/輸出〃/

5.已知［為拋物線/=4）?的準(zhǔn)線，拋物線上的點(diǎn)M到/的距離為d,點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,1）,貝！||照+"的最小值是

（）

A.V17B.4C.2D.1+V17

r2v2

6.已知斜率為-2的直線與雙曲線。：彳一3=1（〃〉0力〉0）交于A8兩點(diǎn)，若為線段A3中點(diǎn)且

kOM=-4（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線。的離心率為（）

A.75B.3C?D.

4

7.新聞出版業(yè)不斷推進(jìn)供給側(cè)結(jié)構(gòu)性改革，深入推動(dòng)優(yōu)化升級(jí)和融合發(fā)展，持續(xù)提高優(yōu)質(zhì)出口產(chǎn)品供給，實(shí)現(xiàn)了行業(yè)

的良性發(fā)展.下面是2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況，則下列說法錯(cuò)誤的是（）

我國新聞出版產(chǎn)業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收增長情況

□數(shù)字出版業(yè)營業(yè)收入《億元）

□新聞出版業(yè)營業(yè)收入《億元）

A.2012年至2016年我國新聞出版業(yè)和數(shù)字出版業(yè)營收均逐年增加

B.2016年我國數(shù)字出版業(yè)營收超過2012年我國數(shù)字出版業(yè)營收的2倍

C.2016年我國新聞出版業(yè)營收超過2012年我國新聞出版業(yè)營收的1.5倍

D.2016年我國數(shù)字出版營收占新聞出版營收的比例未超過三分之一

8.下列說法正確的是（）

A.命題7叫）<0,2/<sin/"的否定形式是“Vx>0,2x>sinA”

B.若平面夕，y,滿足。，九/?_Ly則

C.隨機(jī)變量J服從正態(tài)分布N（l,cr2）（<T>0）,若P（0<J<l）=0.4,則PC>0）=0.8

D.設(shè)工是實(shí)數(shù)，“工<0”是“,<1”的充分不必要條件

x

9.已知等式（1一天+/）3.（［-2%2）4=加+4/+。/2++q/l4成立，貝|］%+。4+..+%4=（）

A.0B.5C.7D.13

10.小明有3本作業(yè)本,小波有4本作業(yè)本.將這7本作業(yè)本混放在?起.小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作

業(yè)本的概率為（）

12,118

A.-B.-C.-D.—

77335

11.已知函數(shù)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且滿足/（x）=/（2—x）,當(dāng)xe［O,l］時(shí)，f（x）=x,則函數(shù)

r4-4

/"）=/（刈+一］在區(qū)間［-9,10］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）

l-2x

A.9B.10C.18D.20

12.下列函數(shù)中，值域?yàn)镽且為奇函數(shù)的是（）

A.y=x+2B.y=sinxC.y=x-x3D.y=2X

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知全集為R,集合4={^/一入=。},4={-1,0},則A|JB=.

14.如圖，在體積為v的圓柱aa中，以線段aa上的點(diǎn)。為項(xiàng)點(diǎn)，上下底面為底面的兩個(gè)圓錐的體積分別為匕，

V4-V

匕，則」Y上的值是______.

15.已知｛4｝是等比數(shù)列，且4>0,“24+2%%+%。6=25,貝ij%+%=，4的最大值為

16.下圖是一個(gè)算法的流程圖，則輸出的x的值為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖所示，四棱錐尸中，尸CJL底面4BC。，PC=CD=2,￡為4〃的中點(diǎn)，底面四邊形ABC。

滿足NAOC=N&CB=90。，AD=lfBC=1.

(I)求證：平面77犯_1_平面PAC；

(n)求直線PC與平面尸?！晁山堑恼抑担?/p>

(DI)求二面角D-PE-B的余弦值.

18.(12分)在銳角4AAe中，。力,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，m=(2b-c,cosC)f〃=(a,cosA),且加/〃.

(1)求角A的大小；

(2)求函數(shù)》=2sin23+cos(g-2B的值域.

ID7

19.(12分)已知函數(shù)/(x)=@sin才+cos22-,，(xGR).

222

（1）當(dāng)xw[O,幻時(shí)，求函數(shù)的值域;

（2）的角A3,C的對(duì)邊分別為。14且￡=6，/（C）=1,求A8邊上的高〃的最大值.

20.（12分）已知?jiǎng)訄A。經(jīng)過定點(diǎn)廠（（）M）,且與定直線/：），=一。相切（其中。為常數(shù)，且。＞0）.記動(dòng)圓圓心Q的

軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？

（2）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（0,-々），過點(diǎn)尸作曲線C的切線，切點(diǎn)為4,若過點(diǎn)P的直線/〃與曲線C交于N兩點(diǎn),

則是否存在直線如使得NAFM=NAFN?若存在,求出直線機(jī)斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

x=2\/3+al

21.（12分）在平面直角坐標(biāo)系X。）'中，直線/的的參數(shù)方程為（其中，為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極

y=4+底

點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為2,直線/經(jīng)過點(diǎn)A.曲線。的極坐標(biāo)方程為

koJ

psin?6=4cos6.

（1）求直線/的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）過點(diǎn)P（G,0）作直線/的垂線交曲線。于DE兩點(diǎn)（。在式軸上方），求卷一，R的值.

cinx

22.（10分）已知函數(shù)f（x）=:-,0。＜兀.

X

（1）求函數(shù)/0）在x=W處的切線方程；

2

（2）當(dāng)0＜加＜乃時(shí)，證明：/“）＜〃加工+色對(duì)任意xw（0,4）恒成立.

x

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、A

【解析】

試題分析：由題意得了'(x)=lnx+l-2o￥=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以廣(x)=--2。=0必有解，則。>0,

X

且f'i—>0,/.0<^7<—.

2

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值點(diǎn)

【方法點(diǎn)睛】函數(shù)極值問題的常見類型及解題策略

(1)知圖判斷函數(shù)極值的情況.先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào).

(2)已知函數(shù)求極值.求F(X)—一>求方程r(x)=0的根一一>列表檢驗(yàn)r(x)在r(x)=o的根的附近兩側(cè)的符

號(hào)一一>下結(jié)論.

(3)已知極值求參數(shù).若函數(shù)f(X)在點(diǎn)(XO,yo)處取得極值，則r(X0)=0,且在該點(diǎn)左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)值符號(hào)

相反.

2、A

【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，借助特殊值即可比較大小.

【詳解】

因?yàn)閘ogs6<log36=g，

所以。<—.

2

因?yàn)?〉已，

所以Z?=ln3>lne=1,

因?yàn)?>-0.99>—1,y=2、為增函數(shù)，

所以1<C=24"<1

2

所以匕>。>。，

故選：4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性比較大小，屬于中檔題.

3、C

【解析】

①利用X，),之間的代換判斷出對(duì)稱軸的條數(shù)；②利用基本不等式求解出到原點(diǎn)的距離最大值；③將面積轉(zhuǎn)化為乂)'的

關(guān)系式，然后根據(jù)基本不等式求解出最大值：④根據(jù)乂)'滿足的不等式判斷出四葉草與對(duì)應(yīng)圓的關(guān)系，從而判斷出面

積是否小于

4

【詳解】

①：當(dāng)X變?yōu)?工時(shí)，(/+)，2丫=/),2不變，所以四葉草圖象關(guān)于),軸對(duì)稱；

當(dāng))'變?yōu)橐欢r(shí)，卜2+9)3=/),2不變，所以四葉草圖象關(guān)于X軸對(duì)稱；

當(dāng)》變?yōu)閤時(shí)，(x2+y2)3=x2),2不變，所以四葉草圖象關(guān)于y=x軸對(duì)稱；

當(dāng)變?yōu)橐还r(shí)，(f+)/丫=%2,2不變，所以四葉草圖象關(guān)于丁=一了軸對(duì)稱；

綜上可知：有四條對(duì)稱軸，故正確；

/22、2

②：因?yàn)?f+y2)3=12),2,所以(/+力3=/),2?土上匕，

所以/+曠2工1,所以J，+y2工"取等號(hào)時(shí)￡=k=),

42o

所以最大距離為!，故錯(cuò)誤；

2

③：設(shè)任意一點(diǎn)尸(x,y),所以圍成的矩形面積為沖，

因?yàn)槿?)尸)3=戈2,2,所以fy2=(爐+),2)3之(2%?,所以孫

歷I

取等號(hào)時(shí)工=>=在，所以圍成矩形面積的最大值為A，故正確；

48

④：由②可知/+)，2《!，所以四葉草包含在圓/+),2=1的內(nèi)部，

44

因?yàn)閳A的面積為：S=「=R,所以四葉草的面積小于三，故正確.

444

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查曲線與方程的綜合運(yùn)用，其中涉及到曲線的對(duì)稱性分析以及基本不等式的運(yùn)用，難度較難.分析方程所表示曲

線的對(duì)稱性，可通過替換方程中x，)去分析證明.

4、C

【解析】

由程序語言依次計(jì)算，直到。時(shí)輸出即可

【詳解】

程序的運(yùn)行過程為

\_25

n12

222

53_￡

a21

222

m2

bln-0In2ln-

222

當(dāng)〃=2時(shí)，l>ln2；〃=*時(shí)，—<In—,此時(shí)輸出〃=—.

2222

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題

5、B

【解析】

設(shè)拋物線焦點(diǎn)為尸，由題意利用拋物線的定義可得，當(dāng)P，M，F(xiàn)共線時(shí)，+d取得最小值，由此求得答案.

【詳解】

解：拋物線焦點(diǎn)尸(0,1),準(zhǔn)線>=-1,

過M作MN_L/交/于點(diǎn)N,連接月必

由拋物線定義|MN|=|MF|=d,

:.\MP\-^d=\MP\+\MF\>\PF\=y/^=4,

當(dāng)且僅當(dāng)RM.F三點(diǎn)共線時(shí)，取“=”號(hào)，

???|函+1的最小值為4?

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

6、B

【解析】

設(shè)A（x，y）B（X2，y2），代入雙曲線方程相減可得到直線A8的斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而得到。，〃的等式，求

出離心率.

【詳解】

—一二1

設(shè)4X,片）,8。2，%），貝I卜"，"，，

4->=i

[a~方

兩式相減得a十七與一由一（y+?）L乃）=。,

a-b-

._y\-y_b\x^x）_b2x_b2（1}/I2

■■kI------2----------27—0--,~~-_2?—=8..,.e=J1+—b=3

%一々。-（）'I+為）a~V47crVT

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考杳求雙曲線的離心率，解題方法是點(diǎn)差法，即出現(xiàn)雙曲線的弦中點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)弦兩端點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程

相減后得出弦所在直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

7、C

【解析】

通過圖表所給數(shù)據(jù)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證.

【詳解】

根據(jù)圖示數(shù)據(jù)可知選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B：1935.5x2=3871<5720.9,正確;對(duì)于選項(xiàng)C：16635.3xl.5>23595.8,

故C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：23595.8x1^7865>5720.9,正確.選C.

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查柱狀圖是識(shí)別和數(shù)據(jù)分析，題目較為簡單.

8、D

【解析】

由特稱命題的否定是全稱命題可判斷選項(xiàng)A；久/可能相交，可判斷B選項(xiàng)；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可判斷選項(xiàng)C；

1或工>1,利用集合間的包含關(guān)系可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】

命題，咱/WO,2%Wsinx?！钡姆穸ㄐ问绞恰癡xKO,2x>sinx"，故A錯(cuò)誤；aLyt

2,則名/可能相交，故B錯(cuò)誤；若P（0<Jvl）=0.4,則Rl<4<2）=0.4,所以

1-04-041

<0）=--—-=0.1,故尸（4>0）=0.9,所以C錯(cuò)誤；由一<1,得x<0或方>1,

2x

故,“<0”是“1<1”的充分不必要條件，。正確.

x

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考有命題的真假判斷，涉及到特稱命題的否定、面面相關(guān)的命題、正態(tài)分布、充分條件與必要條件等，是一道容

易題.

9、D

【解析】

根據(jù)等式和特征和所求代數(shù)式的值的特征用特殊值法進(jìn)行求解即可.

【詳解】

由（1—X+AT），,（1-2廠）4=&+Cl^X+d-yX~+…+可知：

令x=0,得1=g=>《）=1;

令1=1,得1=%+4+/++44n《）+q+〃2+…+。14=1（1）；

令X=-1,得27=%—。］+電+（—。3）++。［4=《）-4+〃2+（一。3）++。海=27⑵,

（2）+⑴得，2（%+。2+。4+…+%4）=28=>。0+。2+。4+?一+。14=14,而4=1,所以

%+。4+…+。14=13?

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了特殊值代入法，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

10、A

【解析】

利用P=”■計(jì)算即可，其中明表示事件A所包含的基本事件個(gè)數(shù)，〃為基本事件總數(shù).

n

【詳解】

從7本作業(yè)本中任取兩本共有C；種不同的結(jié)果，其中，小明取到的均是自己的作業(yè)本有C；種不同結(jié)果，

C1

由古典概型的概率計(jì)算公式，小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為T=-.

C；7

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型的概率計(jì)算問題，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.

11、B

【解析】

r-f-4

由已知可得函數(shù)/(X)的周期與對(duì)稱軸，函數(shù)尸(x)=/(x)+一］在區(qū)間［-910］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(X)

\-2x

r4-4

與g(x)=—一丁圖象在［-9,10］上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)/(X)與g(X)的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

1-2x

【詳解】

Y+4r4-4*

函數(shù)尸(x)=f(x)+—］在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)f(X)與g(X)=---圖象在［—9,10］上交

l-2x1-2x

點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

由f(工)=f(2-x),得函數(shù)/(x)圖象關(guān)于x=l對(duì)稱，

V/(x)為偶函數(shù)，取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=/(x),得函數(shù)周期為2.

又丁當(dāng)x￡［0,1］時(shí)，f(x)=x,且f(x)為偶函數(shù)，，當(dāng)-1,0］時(shí)，f(x)=-x,

,、x+4x+419

g(x)=------=-----=—+-----,

\-2x2x-124x-2

作出函數(shù)/(X)與g(X)的圖象如圖：

由圖可知，兩函數(shù)圖象共10個(gè)交點(diǎn)，

x+4

即函數(shù)F(x)=f(x)+—^在區(qū)間［-9,10］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.

l-2x

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.

12、C

【解析】

依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.

【詳解】

A.），=3+2,值域?yàn)镽,非奇非偶函數(shù)，排除；

B.y=sinxt值域?yàn)椴?5，奇函數(shù)，排除；

c.>=A-X3,值域?yàn)镽,奇函數(shù)，滿足；

x

D.y=2t值域?yàn)椋?,+e）,非奇非倡函數(shù)，排除；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了函數(shù)的值域和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、{-1.0,1）

【解析】

先化簡集合A,再求AUB得解.

【詳解】

由題得A={0,l},

所以AUB={?l,0,l}.

故答案為卜1,0,1}

【點(diǎn)睛】

本題主要考查集合的化簡和并集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.

1

14、-

3

【解析】

根據(jù)圓柱口。2的體積為丫，以及圓錐的體積公式，計(jì)算即得.

【詳解】

1111y+yI

由題得，匕+匕=s0tOO,4--S6OO2=-SqOR=-V，得一^=王

W-*??_*

故答案為：I

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓錐體的體積，是基礎(chǔ)題.

5

15、5-

2

【解析】

a2aA++=25=>。；+2%%+。；=25=>(%+死尸=25,ciH>0/.%+%=5

.?./=〃3。54(幺詈)2=勺=。44］，即知的最大值為g

16、1

【解析】

利用流程圖，逐次進(jìn)行運(yùn)算，直到退出循環(huán)，得到輸出值.

【詳解】

第一次：x=4,j=ll,

第二次：x=5,y=32.

第三次：x=l,j=14,此時(shí)14>10xl+3,輸出x,故輸出x的值為L

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查程序框圖的識(shí)別，“還原現(xiàn)場”是求解這類問題的良方，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)證明見解析(n)(ni)-生叵.

317

【解析】

(I)由題知如圖以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線C。、CB、CP分別為X、y、Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算

DEAC=()>證明OE_LAC，從而拉E_L平面RIG即可得證；

(II)求解平面以旭的一個(gè)法向量〃，計(jì)算c?！皫證P)，即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值；

(DI)求解平面尸距的一個(gè)法向量加，計(jì)算cos(〃?,〃)，即可得二面角O?PER的余弦值.

【詳解】

(I)PCJ■底面ABCD,DEA.PC,

如圖以點(diǎn)。為原點(diǎn)，直線8、CB、CP分別為％、Az軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),0(2,0,0),4(0,3,0),尸(0,0,2),A(2,l,0),石(1,2,0),

/.D^=(-l,2,0),AC=(-2-l,0),：.DEAC=0f

.?.￡)EJ_AC,又"rC4=C,..QE_L平面ZMC,

￡>Eu平面PDEt平面平面PAC；

(II)設(shè)〃=(X，X，zJ為平面POE的一個(gè)法向量，

又依=(1,2,-2bOE=(-1,2,0),CP=(0,0,2),

n-DE——x,+2y,=0,/、

則1%，取1=1,得〃=(2,1,2)

[〃尸E=x+2y—24=0')

/t「段n-CP2

cos(n,CP)=rr\—

\/4cp3f

2

二.直線PC與平面PDE所成角的正弦值§；

(W)設(shè)〃2=(占，％/2)為平面PBE的一個(gè)法向量,

又依=(0,3,-2),石8=(-1,1,()),

m-PB=3%-2z,=03、

則[小=S+取)"2,得，〃=(2,2,3),

/\〃?m45/17

/.cos(見f1/=—

'/n-tn17'

二?二面角D-PE-B的余弦值-生叵

17

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面與平面的垂直，直線與平面所成角的計(jì)算，二面角大小的求解，考查了空間向量在立體幾何中的

應(yīng)用，考查了學(xué)生的空間想象能力與運(yùn)算求解能力.

18、(1)A=—；(2)—,2

312」

【解析】

(1)由向量平行的坐標(biāo)表示、正弦定理邊化角和兩角和差正弦公式可化簡求得cos4,進(jìn)而得到4；

(2)利月兩角和差余弦公式、二倍角和輔助角公式化簡函數(shù)為y=l+sin(23q｝根據(jù)8的范圍可確定28-看的

范圍，結(jié)合正弦函數(shù)圖象可確定所求函數(shù)的值域.

【詳解】

(1)?.m//n,/.(2Z?-c)cosA-6ZCOSC=0,

由正弦定理得：(2sin5-sinC)cosA-sinAcosC=0,

即2sinBcos4-sin(A+C)=2sin4cos4-sinB=0,

v^e|0,^I，.,.sinBwO,/.cos>4=—,

I2

又/.A=(.

7T7171

(2)在銳角中，A=一,一<B<一.

362

y=2sin2B+cos--2/?1=l-cos2/?+—cos2B+—sin2Z?=14--sin2/?--cos2B=l+sinf2^-—.

U)2222I6)

71八71乃cc45乃1.(cn)3

—<B<—：.—<2B——<——,.*.-<sin2B--<1,<y<2,

62f6662I6j2

.?.函數(shù))，=2sin28+cos(5-28)的值域?yàn)?2.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角恒等變換、解三角形和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問題；涉及到共線向量的坐標(biāo)表示、利用三角恒等變換

公式化簡求值、正弦定理邊化角的應(yīng)用、正弦型函數(shù)值域的求解等知識(shí).

【解析】

(1)由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論.

(2)由題意利用余弦定理、三角形的面積公式、基本不等式求得。力的最大值，可得邊上的高〃的最大值.

【詳解】

ginx+coH-L且inx+匕任」

解：(1)???函數(shù)/")==sinx+斗

222222I6j

71171.71

當(dāng)X曰0,4］時(shí)，x+—G——,sinx+-G

666」I6J2

_71

(2)"叱中,c=5/3,/(C)=1=sinCH—c

\6)

由余弦定理可得髭=3=可+/一2ab?cosC=a2-ab..ah，當(dāng)且僅當(dāng)。=〃時(shí)，取等號(hào),

即ab的最大值為3.

再根據(jù)S/sc=J?百/=?sinp故當(dāng)取得最大值3時(shí),3

/;取得最大值為大.

4JJ2

【點(diǎn)睛】

本題考查降塞公式、兩角和的正弦公式，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，余弦定理，三角形面積公式，所用公式較多，選用恰

當(dāng)?shù)墓绞墙忸}關(guān)鍵，本題屬于中檔題.

2

20、(1)x=4ayf拋物線；(2)存在，(Y),-l)U(l,y).

【解析】

(D設(shè)Q(x,y),易得jY+(y—〃)2=|y+d，化簡即得；

(2)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得4(2〃,。)，要使NAEW=NAF7V,只需益洶+勺入,=。.

聯(lián)立直線機(jī)與拋物線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可解決.

【詳解】

(1)設(shè)Q(x,y),由題意，得口+㈠―4力+小化簡得工2=4少,

所以動(dòng)圓圓心Q的軌跡方程為/=4砂，

它是以「為焦點(diǎn)，以直線/為準(zhǔn)線的拋物線.

(2)不妨設(shè)Ar,—(r>0).

因?yàn)?，一工，所以y，=f

4a2a

從而直線小的斜率為4〃+"=1，解得，=2〃，即4(2〃,。),

t-02a

又尸(0,4),所以A/7/x軸.

要使NAEW=NAF7V,只需勺用+攵卬二。.

設(shè)直線辦的方程為)，=依一%代入d=4”并整理，

得X?-4akx+4a2=0?

首先，A=16tr(F-l)>0,解得人<一1或2>1.

其次，設(shè)M(x，x),N(X2，%)，

2

則％+七=4ak,x)x2=4a.

%+G==+0/(…)+W「〃)

不

9-2a)+%(AX2-2a)24Z(x1+x2)

---乙K

中2「

故存在直線加，使得NAEM=NA網(wǎng)V,

此時(shí)直線m的斜率的取值范圍為(YO,-1)U(1,田).

【點(diǎn)睛】

本題考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及拋物線中的存在性問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道中檔題.

21、(1)丫=瓜—2,/=4x；(2)-

?2

【解析】

X=QCOS。

(1)利用代入法消去參數(shù)可得到直線/的普通方程,利用公式■.八可得到曲線。的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)直線力E

y=psint/

x—y3t,

2

的參數(shù)方程為a為參數(shù)),

i

-V=2Z

代入)3=4X得/+86/一16百=0,根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義，利用韋達(dá)定理可得結(jié)果.

【詳解】

X=2石+3,

(1)由題意得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(6』)，將點(diǎn)A代入，得，

y=4++t.

則直線/的普通方程為)，=百工-2.

由4cos6得夕2sin?夕=4pcos。,即y2=4