山東省淄博市2025屆高三上學期摸底質(zhì)量檢測（1月）數(shù)學試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁山東省淄博市2025屆高三上學期摸底質(zhì)量檢測數(shù)學試題（1月）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.若z+1i=z，則復(fù)數(shù)z的虛部是(

)A.?12 B.12 C.?2.已知向量a=?6,2，b=m,m+2，若a⊥A.10 B.3 C.4 D.3.已知集合A=e,log0.20.3,20.2，集合B=A.1 B.2 C.4 D.84.已知sinα?β=?23，tanαtanA.?23 B.?13 C.5.若圓柱、圓錐的底面半徑和高都與球的半徑相等，則圓柱、圓錐、球的體積之比為(

)A.1:2:3 B.2:1:3 C.3:1:2 D.3:1:46.已知函數(shù)fx=x2?ax+1,x≥1logaA.1,2 B.1,32 C.1,2 7.把函數(shù)y=fx的圖象向右平移23π個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，可以得到函數(shù)y=sin12A.0 B.1 C.2 D.38.設(shè)函數(shù)fx=ex+ax+b.若A.?1e B.1e C.e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.某校舉行了交通安全知識主題演講比賽，甲、乙兩位同學演講后，6位評委對甲、乙的演講分別進行打分(滿分10分)，得到如圖所示的折線統(tǒng)計圖，則(

)A.若去掉最高分和最低分，則甲得分的中位數(shù)大于乙得分的中位數(shù)

B.甲得分的極差大于乙得分的極差

C.甲得分的上四分位數(shù)小于乙得分的上四分位數(shù)

D.甲得分的方差大于乙得分的方差10.設(shè)公比為q的等比數(shù)列an前n項的積為Tn，則(

)A.若T8=81，則a3?a6=3

B.若T9>0，則必有a1>0

C.若a111.萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是由德國機械學家萊洛研究發(fā)現(xiàn)的一種曲邊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛．如圖所示，分別以正三角形ABC的頂點為圓心，以邊長2為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，則(

)

A.萊洛三角形的周長為2π

B.以此萊洛三角形為底面做一個側(cè)面與底面垂直且高為10的柱形幾何體，則該幾何體的體積為20π?203

C.點P為弧AB?上的一點，則PA?PB+PC的最小值為12?4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.x3?213.已知數(shù)列an中，a1=1，a2=13，214.已知三棱錐S?ABC的底面ABC是邊長為2的正三角形，點A在側(cè)面SBC上的射影H是?SBC的垂心，三棱錐S?ABC的體積為3，則三棱錐S?ABC的外接球半徑等于

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)在?ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a2，b2，c2(1)求證：?ABC為等邊三角形；(2)如圖，點D在邊BC的延長線上，且BC=2CD，AD=7，求sin16.(本小題12分)某地為弘揚我國傳統(tǒng)文化，舉辦知識競賽活動，每位參賽者從以下兩種方式中選擇一種參賽：①活動共設(shè)有3個問題，能正確回答問題者才能進入下一個問題，否則即被淘汰，3個問題都回答正確即獲得“智慧星”稱號；②活動需參賽者回答5個問題，至少正確回答4個即能獲得“智慧星”稱號；甲乙兩人參加此次競賽活動，甲選擇第一種方式，他能正確回答第一、二、三個問題的概率分別為34,2(1)求甲沒有獲得“智慧星”稱號的概率；(2)求乙獲得“智慧星”稱號的概率．(3)記事件M=“乙正確回答問題的個數(shù)比甲正確回答問題的個數(shù)多3個”，求事件M發(fā)生的概率．17.(本小題12分)如圖，三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=BC=2，AC=22，BB1=4，點M(1)證明：B1M⊥平面(2)求平面ACC1A118.(本小題12分)已知函數(shù)fx=alnx?xa<2，曲線y=f(1)求a；(2)若函數(shù)gx=f4x(i)求m和n的值；(ii)證明：gx>419.(本小題12分)已知數(shù)列an，從中選取第j1項、第j2項、…第jt項j1<j2<?<jt，若aj1<aj2<?<a(1)寫出數(shù)列2，8，4，7，5，9一個長度為3的遞增子列和一個長度為4的遞增子列；(2)已知數(shù)列an的長度為p的遞增子列的末項的最小值為x，長度為q的遞增子列的末項的最小值為y.若p<q，證明：x<y(3)設(shè)無窮數(shù)列an的各項均為正整數(shù)，且任意兩項均不相等．若an長度為s的遞增子列末項的最小值為2s?1，且長度為s末項為2s?1的遞增子列恰有2s?1(i)證明：1，2，3，4，5，6，7這7個數(shù)都在數(shù)列an(ii)寫出數(shù)列an通項公式(不證明)．

參考答案1.B

2.A

3.B

4.C

5.D

6.B

7.B

8.A

9.ABD

10.BC

11.ABD

12.?32

13.1404914.311815.解：(1)因為a2，b2，c2又因為B=π3，由余弦定理可得即a2+c所以?ABC為等邊三角形．(2)設(shè)BC=2CD=2x>0，則AB=2x,BD=3x，在?ABD中，由余弦定理可得AD即7=4x2+9x2由正弦定理ADsin∠B=

16.解：(1)設(shè)甲獲得“智慧星”稱號的事件為A，根據(jù)獨立事件的乘法公式，P(A)=3于是P(A即甲沒有獲得“智慧星”稱號的概率是34(2)設(shè)乙答對的問題數(shù)為X，則X～B(5,1由題意，乙獲得智慧星的概率為P(X=4)+P(X=5)=(3)由于乙最多5題，甲最多3題，當乙比甲多對3題時，甲可能答對0,1,2題當甲對0題，乙對3題時，P1當甲對1題，乙對4題時，P1當甲對2題，乙對5題時，P1故P(M)=

17.解：(1)連接BM，因為AB=BC=2，AC=22，則AB且點M，N分別為AC，AB的中點，則BN=MN=1,BM=2，則BM2+又因為AB⊥B1N可得B1M2且BM∩MN=M，BM,MN?平面ABC，所以B1M⊥平面(2)因為B1M⊥平面ABC，AB?平面ABC，則又因為AB⊥BC，MN//BC，則AB⊥MN，且B1M∩MN=M，B1M,MN?平面B1以B為坐標原點，BC,BA分別為x,y軸，平行于B1M的直線為則A0,2,0可得AC=設(shè)平面ACC1A1令x=7，則y=由AB⊥平面B1MN可知：平面B1則cosm所以平面ACC1A1與平面

18.解：(1)因為fx所以f′x=a所以f′1所以曲線y=f(x)在點1,?1處的切線方程為y+1=a?1設(shè)直線y+1=a?1x?1與曲線y=x因為函數(shù)y=x2+2x的導函數(shù)為所以2x0+2=a?1，y解得，x0=3，a=9，或x0又a<2，故a=1；(2)(i)因為gx=f所以gx所以函數(shù)y=g(x)的定義域為?∞,?4∪因為曲線y=g(x)關(guān)于直線x=n對稱，所以n=?2，所以函數(shù)y=gx?2關(guān)于y軸對稱，故函數(shù)y=g所以g?2?x=g所以t+mln所以t+mln所以4?2mln故m=2，(ii)由(i)，gx函數(shù)y=g(x)的定義域為?∞,?4∪曲線y=g(x)關(guān)于直線x=?2對稱，要證明gx只需證明當x>0時，x+2ln只需證明當x>0時，ln1+令t=4x，則只需證明當t>0時，ln1+t設(shè)?t=ln則?′t所以函數(shù)?t=ln所以?t所以當t>0時，ln1+t所以gx

19.解：(1)長度為3的遞增子列2,8,9或2,4,7或2,4,5或2,4,9或2,7,9或2,5,9或4,7,9或4,5,9(寫出一個即可)；長度為4的遞增子列2,4,7,9或2,4,5,9．(2)法一：設(shè)an的長度為q的一個遞增子列為aj1其中前p項恰好構(gòu)成長度為p的遞增子列，由p<q，得aj因為an的長度為p的遞增子列的末項最小值為x所以x≤ajp所以x<y．法二：設(shè)an的長度為q的一個遞增子列為aj1長度為p的一個遞增子列為aii假設(shè)x≥y，因為aj所以aj1,又ajp<這與x是子列末項的最小值矛盾，所以假設(shè)不成立，即x<y．(3)(i)當s=1時顯然成立．當s=2時，長度為2的遞增子列，末項最小值為3，且恰有2個這樣的子列，所以an中必含有子列1，3和2，3所以an中必含有子列2，1，3當s=3時，長度為3的遞增子列，末項最小值為5，且恰有4個這樣的子列，所以an中必含有子列2，1，4，3，5當s=4時，長度為4的遞增子列，末項最小值為7，且恰