2024-2025學(xué)年上海高橋中學(xué)高三上學(xué)期數(shù)學(xué)月考試卷及答案（2024.11）（含答案）

參考答案一、填空題1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.已知函數(shù)，，若函數(shù)有6個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】【解析】作函數(shù)的圖象如下,是開(kāi)口向上的二次函數(shù)，其零點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為2個(gè)，

①若只有一個(gè)解，則函數(shù)最多只有4個(gè)零點(diǎn)，不合題意；

②若有兩個(gè)解，要使函數(shù)有6個(gè)零點(diǎn)，則需兩個(gè)零點(diǎn)滿足或，

(i)若為,則,此時(shí)無(wú)解;

(ii)若為,則需,即

綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為:12．已知，，…，是1，2，…，（，）滿足下列性質(zhì)的一個(gè)排列，性質(zhì)：排列，，…，中有且僅有一個(gè)，滿足性質(zhì)的數(shù)列，，…，一的個(gè)數(shù)________【答案】【解析】當(dāng)時(shí),所有的排列有:,,其中滿足僅存在一個(gè),使得的排列有:;同理可得：；歸納出.

證明:在的所有排列,..中,若，從個(gè)數(shù)1，中選個(gè)數(shù)從小到大排列為：,,其余的則按從小到大的順序排列在余下位置;滿足題意的排列個(gè)數(shù)為;

若,則滿足題意的排列個(gè)數(shù)為綜上故答案為:.二、選擇題13.D；14.A；15.D；16.D15.在中，已知，，點(diǎn)在線段上，且滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，的外接圓面積為（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為軸,過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則,又,

所以所在的直線為,設(shè),則所以當(dāng)時(shí),最小,此時(shí)點(diǎn),因?yàn)?所以,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,

設(shè)外接圓的半徑為,由正弦定理得,所以,所以.故選:.16.中國(guó)結(jié)是一種傳統(tǒng)的民間手工藝術(shù)，帶有濃厚的中華民族文化特色，它有著復(fù)雜奇妙的曲線．用數(shù)學(xué)的眼光思考可以還原成單純的二維線條，其中的“”形對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)曲線中的雙紐線．在平面上，把到兩個(gè)定點(diǎn)，距離之積等于的動(dòng)點(diǎn)軌跡稱為雙紐線，是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）．①曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線上滿足的有且只有一個(gè)；③動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離之和的最小值為；④若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】設(shè),則根據(jù)雙紐線的定義有

故,即曲線的軌跡方程為。

用替換方程中的,原方程不變，曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，故①正確;

若曲線上點(diǎn)滿足,則點(diǎn)在的垂直平分線，即軸上，故，

代入曲線方程得,解得,所以這樣的點(diǎn)僅有一個(gè),故②正確;，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，,故③正確;由題意知直線與曲線一定有公共點(diǎn),若直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn),將代入曲線方程中,方程無(wú)非零解，則，解得或，故④正確。故選：D.三、解答題17.（1）（2）18.（1）證明略（2）19.（1）2338.3平方米（2）（3）當(dāng)為時(shí)，停車場(chǎng)面積取得最大值20.給定橢圓，將圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為的圓稱為橢圓的“伴隨圓”，已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是，．（1）若橢圓上一動(dòng)點(diǎn)滿足，求橢圓的方程與離心率；（2）在（1）的條件下，過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，且截橢圓的“伴隨圓”所得弦長(zhǎng)為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）已知，，橢圓的“伴隨圓”上的點(diǎn)到過(guò)兩點(diǎn)，的直線的最短距離為，是否存在實(shí)數(shù)，，使得為．若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，理由見(jiàn)解析【解析】(1)依題意,,橢圓的方程為:,其"伴隨圓"的方程為:;

(2)設(shè)直線的方程為:,聯(lián)立,消去整理得:令

解得:,直線截橢圓的"伴隨圓"所得弦長(zhǎng)為,解得:,點(diǎn)的坐標(biāo)為:;

(3)結(jié)論：存在滿足題意。理由如下:

過(guò)兩點(diǎn)的直線的方程為:整理得：，),即圓心到直線的距離

當(dāng)時(shí),,但,故等式不能成立;

當(dāng)時(shí),

又解得:或(舍),

綜上所述,存在滿足題意.21.已知函數(shù)，直線是函數(shù)在處的切線．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）求證：直線不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示和的面積．是否存在點(diǎn)使得成立，若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域,,

當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.

(2)依題意,,切線的斜率為,

則切線的方程為,假設(shè)切線過(guò)原點(diǎn)，

將代入，得，即,

則,即,令,

求導(dǎo)得,則在上單調(diào)遞增，

于是，函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，即假設(shè)不成立，切線不過(guò).