2024秋高中數(shù)學(xué)第二章推理與證明2.2直接證明與間接證明2.2.2反證法達(dá)標(biāo)練習(xí)含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-其次章推理與證明2.2干脆證明與間接證明2.2.2反證法[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]一、選擇題1．實(shí)數(shù)a，b，c滿意a＋b＋c＝0，則正確的說(shuō)法是()A．a(chǎn)，b，c都是0B．a(chǎn)，b，c都不為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c不行能均為正數(shù)答案：D2．用反證法證明“a，b∈N，假如ab可被5整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被5整除”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是()A．a(chǎn)，b都能被5整除 B．a(chǎn)，b都不能被5整除C．a(chǎn)，b不都能被5整除 D．a(chǎn)能被5整除解析：由于反證法是否定命題的結(jié)論，故用反證法證明命題時(shí)，可以設(shè)其否定成立進(jìn)行推證．“a，b中至少有1個(gè)能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”．答案：B3．“實(shí)數(shù)a，b，c不全大于0”等價(jià)于()A．a(chǎn)，b，c均不大于0B．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)大于0C．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)大于0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不大于0解析：“不全大于零”即“至少有一個(gè)不大于0”，它包括“全不大于”．選項(xiàng)D正確．答案：D4．用反證法證明命題“若直線AB、CD是異面直線，則直線AC、BD也是異面直線”的過(guò)程歸納為以下三個(gè)步驟：①則A、B、C、D四點(diǎn)共面，所以AB、CD共面，這與AB、CD是異面直線沖突；②所以假設(shè)錯(cuò)誤，即直線AC、BD也是異面直線；③假設(shè)直線AC、BD是共面直線．則正確的序號(hào)依次為()A．①②③ B．③①②C．①③② D．②③①解析：結(jié)合反證法的證明步驟可知，其正確步驟為③①②.答案：B5．有下列敘述：①“a>b”的反面是“a<b”；②“x＝y(tǒng)”的反面是“x>y或x<y”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”；④“三角形最多有一個(gè)鈍角”的反面是“三角形沒(méi)有鈍角”．其中正確的敘述有()A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析：①錯(cuò)：應(yīng)為a≤b；②對(duì)；③錯(cuò)：應(yīng)為三角形的外心在三角形內(nèi)或在三角形的邊上；④錯(cuò)：應(yīng)為三角形可以有2個(gè)或2個(gè)以上的鈍角．答案：B二、填空題6．用反證法證明命題“假如a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是______________．解析：“大于”的否定為“小于或等于”．答案：eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)<eq\r(3,b)成立7．用反證法證明“一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角”有三個(gè)步驟：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°沖突，故假設(shè)錯(cuò)誤．②所以一個(gè)三角形不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)△ABC中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)∠A＝90°，∠B＝90°.上述步驟的正確依次為_(kāi)_______．(填序號(hào))答案：③①②8．有甲、乙、丙、丁四位歌手參與競(jìng)賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了四位歌手，甲說(shuō)：“是乙或丙獲獎(jiǎng)．”乙說(shuō)：“甲、丙都未獲獎(jiǎng)．”丙說(shuō)：“我獲獎(jiǎng)了．”丁說(shuō)：“是乙獲獎(jiǎng)．”四位歌手的話只有兩句是對(duì)的，則獲獎(jiǎng)的歌手是________．解析：若甲獲獎(jiǎng)，則甲、乙、丙、丁說(shuō)的話都是錯(cuò)的，同理可推知乙、丙、丁獲獎(jiǎng)的狀況，最終可知獲獎(jiǎng)的歌手是丙．答案：丙三、解答題9．(1)當(dāng)x>1時(shí)，求證：x2＋eq\f(1,x2)>x＋eq\f(1,x)；(2)已知x∈R，a＝x2－x＋1，b＝4－x，c＝x2－2x，試證明a，b，c中至少有一個(gè)不小于1.證明：(1)x2＋eq\f(1,x2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))＝eq\f(（x－1）2（x2＋x＋1）,x2)，因?yàn)閤>1，所以(x－1)2>0，x2>0，x2＋x＋1>0，所以x2＋eq\f(1,x2)>x＋eq\f(1,x).(2)假設(shè)a，b，c都小于1，即a<1，b<1，c<1，則有a＋b＋c<3，①而a＋b＋c＝2x2－4x＋5＝2(x－1)2＋3≥3，②①與②沖突，故a，b，c中至少有一個(gè)不小于1.10．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)．求證：f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．證明：假設(shè)f(x)＝0有整數(shù)根n，則an2＋bn＋c＝0，由f(0)為奇數(shù)，即c為奇數(shù)，f(1)為奇數(shù)，即a＋b＋c為奇數(shù)，所以a＋b為偶數(shù)，又an2＋bn＝－c為奇數(shù)，所以n與an＋b均為奇數(shù)，又a＋b為偶數(shù)，所以an－a為奇數(shù)，即(n－1)a為奇數(shù)，所以n－1為奇數(shù)，這與n為奇數(shù)沖突．所以f(x)＝0無(wú)整數(shù)根．B級(jí)實(shí)力提升1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，則下列三個(gè)數(shù)a＋eq\f(4,b)，b＋eq\f(9,c)，c＋eq\f(16,a)()A．都大于6 B．至少有一個(gè)不大于6C．都小于6 D．至少有一個(gè)不小于6解析：假設(shè)a＋eq\f(4,b)，b＋eq\f(9,c)，c＋eq\f(16,a)都小于6，則a＋eq\f(4,b)＋b＋eq\f(9,c)＋c＋eq\f(16,a)<18，利用基本不等式可得a＋eq\f(4,b)＋b＋eq\f(9,c)＋c＋eq\f(16,a)≥2eq\r(b·\f(4,b))＋2eq\r(a·\f(16,a))＋2eq\r(c·\f(9,c))＝4＋8＋6＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4，b＝2，c＝3時(shí)取等號(hào)．這與假設(shè)沖突，故假設(shè)不成立，故a＋eq\f(4,b)，b＋eq\f(9,c)，c＋eq\f(16,a)這三個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)不小于6.答案：D2．若下列兩個(gè)方程x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________．解析：若兩方程均無(wú)實(shí)根，則Δ1＝(a－1)2－4a2＝(3a－1)(－a－1)＜0，解得a＜－1或a＞eq\f(1,3).Δ2＝(2a)2＋8a＝4a(a＋2)＜0，解得－2＜a＜0，所以－2＜a＜－1.所以，若兩個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則有a≤－2或a≥－1.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\a\vs4\al(|)a≤－2或a≥－1))3．求證：不論x，y取何非零實(shí)數(shù)，等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)總不成立．證明：假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)x，y使得等式eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(1,x＋y)成立．于是有y(x＋y)＋x(x＋y)＝