2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章立體幾何初步1.2.2空間中的平行關(guān)系第1課時(shí)平行直線直線與平面平行學(xué)案新人教B版必修2

PAGEPAGE1第1課時(shí)平行直線、直線與平面平行1．了解直線與平面的三種位置關(guān)系．2．理解基本性質(zhì)4和等角定理．3．駕馭線線平行，線面平行的判定定理和性質(zhì)定理．1．平行直線(1)平行直線的定義及平行公理在平面幾何中，我們把在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線．過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行．(2)基本性質(zhì)4文字語言平行于同一條直線的兩條直線相互平行，這一性質(zhì)叫做空間平行線的傳遞性．符號(hào)語言?a∥b圖形語言(3)等角定理：假如一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．2．直線與平面的位置關(guān)系一條直線和一個(gè)平面的位置關(guān)系有且只有以下三種：位置關(guān)系直線a在平面α內(nèi)直線a與平面α相交直線a與平面α平行公共點(diǎn)有多數(shù)個(gè)公共點(diǎn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)符號(hào)表示a?αa∩α＝Aa∥α圖形表示3．直線與平面平行(1)直線和平面平行的定義假如一條直線和一個(gè)平面沒有公共點(diǎn)，那么，這條直線和這個(gè)平面平行．(2)直線與平面平行的判定與性質(zhì)定理定理判定定理性質(zhì)定理文字語言假如不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．簡(jiǎn)記為：線線平行，則線面平行．假如一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和兩平面的交線平行．簡(jiǎn)記為：線面平行，則線線平行符號(hào)語言a?α，b?α，a∥b?a∥α?a∥b圖形語言1．若一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊平行，則這兩個(gè)角()A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．大小關(guān)系不確定答案：C2．假如兩直線a∥b，且a∥平面α，則b與α的位置關(guān)系是()A．相交 B．b∥αC．b?α D．b∥α或b?α解析：選D．b?α能滿意a∥b，且a∥平面α；b∥α也能滿意a∥b，且a∥平面α．3．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH．證明：在△ABC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC．又EF?平面EFGH，AC?平面EFGH，所以AC∥平面EFGH．同理BD∥平面EFGH．4．符號(hào)語言“a?α”表示直線a與平面α有怎樣的位置關(guān)系？解：表示直線a不在平面α內(nèi)，即直線a與平面α相交或平行．基本性質(zhì)4的應(yīng)用如圖所示，已知E，F(xiàn)分別是空間四邊形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn)，G，H分別是邊CD與AD上靠近D的三等分點(diǎn)，求證：四邊形EFGH是梯形．【證明】在△ABC中，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC邊上的中點(diǎn)，所以EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)AC．又在△ACD中，G，H分別是CD，AD邊上的三等分點(diǎn)，eq\f(DH,DA)＝eq\f(DG,DC)＝eq\f(1,3)，所以GHeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,3)AC．所以EF∥GH且EF≠GH，即四邊形EFGH是梯形．eq\a\vs4\al()證明空間兩直線平行，可找尋第三條直線，使之與這兩條直線分別平行，利用基本性質(zhì)4可證．除此之外，我們還要熟識(shí)各種幾何圖形的定義和特征．已知異面直線a，b，有a?α，b?β且α∩β＝c，則直線c與a，b的關(guān)系是()A．c與a，b都相交B．c與a，b都不相交C．c至多與a，b中的一條相交D．c至少與a，b中的一條相交解析：選D．若c與a，b都不相交，因?yàn)閏與a在α內(nèi)，所以a∥c．又c與b都在β內(nèi)，所以b∥c．由基本性質(zhì)4，可知a∥b，與已知條件沖突．如圖，只有以下三種狀況．等角定理的應(yīng)用在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，M，N分別為AD，AB，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，求證：A1P∥CN，A1Q∥CM，且∠PA1Q＝∠MCN．【證明】取A1B1的中點(diǎn)K，連接BK，KM．易知四邊形MKBC為平行四邊形．所以CM∥BK．又因?yàn)锳1K∥BQ，且A1K＝BQ，所以四邊形A1KBQ為平行四邊形，所以A1Q∥BK，由公理4有A1Q∥CM，同理可證A1P∥CN，由于∠PA1Q與∠MCN對(duì)應(yīng)邊分別平行，且方向相反，所以∠PA1Q＝∠MCN．eq\a\vs4\al()證明兩角相等的方法(1)利用等角定理；(2)利用三角形全等或相像．[留意]在應(yīng)用等角定理時(shí)，應(yīng)留意說明這兩個(gè)角同為銳角、直角或鈍角．如圖，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點(diǎn)．求證：(1)四邊形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1．證明：(1)如圖，連接AC，在△ACD中，因?yàn)镸，N分別是CD，AD的中點(diǎn)，所以MN是△ACD的中位線，所以MN∥AC，MN＝eq\f(1,2)AC．由正方體的性質(zhì)得：AC∥A1C1，AC＝A1C1．所以MN∥A1C1，且MN＝eq\f(1,2)A1C1，即MN≠A1C1，所以四邊形MNA1C1是梯形．(2)由(1)可知MN∥A1C1．又因?yàn)镹D∥A1D1，所以∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ)．而∠DNM與∠D1A1C1均為銳角，所以∠DNM＝∠D1A1C1．線面平行的判定定理的應(yīng)用在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，E、F分別為AB、SC的中點(diǎn)．求證：EF∥平面SAD．【證明】如圖所示，作FG∥DC交SD于點(diǎn)G，連接AG，則G為SD的中點(diǎn)，F(xiàn)Geq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)CD．又CDeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AB，所以FGeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AE．故四邊形AEFG為平行四邊形，所以EF∥AG．又AG?平面SAD，EF?平面SAD，所以EF∥平面SAD．eq\a\vs4\al()要證明線面平行，最常用的方法就是將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，奇妙地作出協(xié)助線，構(gòu)造線線平行是解決此類問題的關(guān)鍵．如圖，已知空間四邊形ABCD，P、Q分別是△ABC和△BCD的重心．求證：PQ∥平面ACD．證明：取BC中點(diǎn)E，連接AE、DE．因?yàn)镻是△ABC的重心，所以AE∶PE＝3∶1，因?yàn)镼為△BCD的重心，所以DE∶QE＝3∶1，所以eq\f(AE,PE)＝eq\f(DE,QE)，所以在△AED中，PQ∥AD．又AD?平面ACD，PQ?平面ACD，所以PQ∥平面ACD．線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過點(diǎn)G和AP作平面，交平面BDM于GH．求證：AP∥GH．【證明】如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接MO．因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．又因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，所以AP∥OM．又因?yàn)锳P?平面BDM，OM?平面BDM，所以AP∥平面BDM．因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BDM＝GH，AP?平面PAHG，所以AP∥GH．eq\a\vs4\al()利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟(1)確定(或找尋)一條直線平行于一個(gè)平面；(2)確定(或找尋)過這條直線且與這個(gè)平面相交的平面；(3)確定交線；(4)由定理得出結(jié)論．如圖，已知AB與CD是異面直線，且AB∥平面α，CD∥平面α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝G，BC∩α＝H．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：因?yàn)锳B∥平面α，AB?平面ABC，平面ABC∩平面α＝EH，所以AB∥EH，因?yàn)锳B∥平面α，AB?平面ABD，平面ABD∩平面α＝FG，所以AB∥FG，所以EH∥FG，同理由CD∥平面α可證EF∥GH，所以四邊形EFGH是平行四邊形．1．基本性質(zhì)4的正確相識(shí)(1)本質(zhì)：表明白空間中線線平行的傳遞性．(2)作用：基本性質(zhì)4給出了空間兩條直線平行的一種證明方法．它是論證平行問題的主要依據(jù)之一，也是探討空間兩直線的位置關(guān)系、直線與平面位置關(guān)系的基礎(chǔ)．(3)應(yīng)用：“等角定理”的證明是基本性質(zhì)4的干脆應(yīng)用．(4)關(guān)鍵：找尋第三條直線分別與前兩條直線平行是應(yīng)用基本性質(zhì)4證明線線平行的關(guān)鍵．也就是說，要證空間中的兩直線平行，就要找一條與之平行的直線，利用傳遞性證明．2．用判定定理證明線面平行的步驟1．線面平行的判定定理在運(yùn)用時(shí)三個(gè)條件缺一不行：(1)直線a不在平面α內(nèi)，即a?α．(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α．(3)兩條直線a、b平行，即a∥b．特殊要留意不能忽視條件(1)．2．要留意線面平行關(guān)系不具有傳遞性，即假如a∥b，a∥α，那么b與α不肯定平行．事實(shí)上，此時(shí)有b?α和b∥α兩種狀況．1．假如兩條直線a和b沒有公共點(diǎn)，那a和b()A．共面 B．平行C．異面 D．平行或異面答案：D2．在空間中，下列說法正確的個(gè)數(shù)為()①有兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形；②四邊相等的四邊形是菱形；③平行于同始終線的兩直線平行；④有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．A．1 B．2C．3 D．4解析：選B．有兩組對(duì)邊相等的四邊形不肯定是平行四邊形，可能是空間四邊形，故①不對(duì)，同理，②也可能是空間四邊形，只有③④正確．3．過平面外一點(diǎn)可以作條直線與已知平面平行．答案：多數(shù)4．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為DD1的中點(diǎn)，則BD1與過A、C、E的平面的位置關(guān)系是．答案：平行[學(xué)生用書P93(單獨(dú)成冊(cè))])[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．假如直線a∥平面α，那么直線a與平面α內(nèi)的()A．一條直線不相交B．兩條相交直線不相交C．多數(shù)條直線不相交D．隨意一條直線都不相交解析：選D．依據(jù)直線和平面平行的定義，易知解除A、B，對(duì)于C，多數(shù)條直線可能是一組平行線．所以C也不正確，與平面α內(nèi)隨意一條直線都不相交，才能保證直線a與平面α平行，故D正確．2．已知△ABC、△DBC分別在平面α、β內(nèi)，E∈AB，F(xiàn)∈AC，M∈DB，N∈DC，且EF∥MN，則EF與BC的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交或平行C．平行或異面 D．平行或異面或相交解析：選A．如圖所示，因?yàn)镋F∥MN，所以EF∥平面BCD．又EF?平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以EF∥BC．3．對(duì)于直線m、n和平面α，下面命題中的真命題是()A．假如m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥αB．假如m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n與α相交C．假如m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．假如m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n解析：選C．假如m?α，n∥α，m、n共面，依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，則m∥n，故選項(xiàng)C正確．在選項(xiàng)A中，n與α可能相交，在選項(xiàng)B中，n與α可能平行．在選項(xiàng)D中，m與n可能相交．4．點(diǎn)E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則空間四邊形的六條棱中與平面EFGH平行的條數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C．由線面平行的判定定理可知：BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH．5．在三棱錐A-BCD中，AC⊥BD，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是()A．菱形 B．矩形C．梯形 D．正方形解析：選B．如圖，在△ABD中，點(diǎn)H，E分別為邊AD，AB的中點(diǎn)，所以HEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BD，同理GFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))eq\f(1,2)BD，所以HEeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))GF，所以四邊形EFGH為平行四邊形．又AC⊥BD，所以HG⊥HE，所以四邊形EFGH是矩形，故選B．6．已知兩條直線a，b，a∥平面α，b?α，則直線a與b的位置關(guān)系是．答案：平行或異面7．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是對(duì)角線A1D、B1D1的中點(diǎn)，則正方體6個(gè)表面中與直線EF平行的平面有．解析：如圖，連接A1C1，C1D，所以F為A1C1的中點(diǎn)，在△A1C1D中，EF為中位線，所以EF∥C1D，又EF?平面C1CDD1，所以EF∥平面C1CDD1．同理，EF∥平面A1B1BA．故與EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA．答案：平面C1CDD1和平面A1B1BA8．如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，則EF與A1C1的關(guān)系是．解析：連接AC(圖略)，則在△ABC中，AC∥EF，又在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AC∥A1C1，所以EF∥A1C1．答案：平行9．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝BB1，D為AB的中點(diǎn)．求證：BC1∥平面CA1D．證明：如圖所示，連接AC1交CA1于E，連接DE，E為AC1的中點(diǎn)，D是AB的中點(diǎn)，則DE∥BC1．又DE在平面CA1D內(nèi)，BC1不在平面CA1D內(nèi)，所以BC1∥平面CA1D．10．已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ．求證：PQ∥平面CBE．證明：如圖，作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，則PM∥QN，eq\f(PM,AB)＝eq\f(EP,EA)，eq\f(QN,CD)＝eq\f(BQ,BD)．因?yàn)镋A＝BD，AP＝DQ，所以EP＝BQ．又因?yàn)锳B＝CD，所以PMeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))QN，所以四邊形PMNQ是平行四邊形，所以PQ∥MN．又因?yàn)镻Q?平面CBE，MN?平面CBE，所以PQ∥平面CBE．[B實(shí)力提升]11．下列命題：①直線l平行于平面α內(nèi)的多數(shù)條直線，則l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，直線b?α，則a∥α；④若直線a∥b，直線b?α，那么直線a平行于平面α內(nèi)的多數(shù)條直線．其中，正確命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4解析：選A．①錯(cuò)誤，l可能在平面α內(nèi)．②錯(cuò)誤，直線a在平面α外有兩種狀況：a∥α或a與α相交．③錯(cuò)誤，直線a也可能在平面α內(nèi)．④正確，無