重難點(diǎn)突破：專題08 函數(shù)（解析版）

專題08函數(shù)重點(diǎn)常量與變量的判斷，函數(shù)自變量取值范圍的確定，函數(shù)解析式及函數(shù)值的確定，函數(shù)的圖象及其畫法難點(diǎn)函數(shù)的定義的理解易錯(cuò)求自變量的取值范圍時(shí)，考慮不周出錯(cuò)一、常量和變量常量和變量不是絕對的，必須根據(jù)具體的變化過程進(jìn)行判斷．【例1】彈簧掛上物體后會(huì)伸長(在允許掛物重量范圍內(nèi))，測得一彈簧的長度y(cm)與所掛的物體的重量x(kg)間有下表的關(guān)系：下列說法不正確的是(

)x012345y1010.51111.51212.5A．彈簧不掛重物時(shí)的長度為10cmB．x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量C．物體質(zhì)量每增加1kg，彈簧長度y增加0.5cmD．所掛物體質(zhì)量為7kg時(shí)，彈簧長度為14cm【答案】D【解析】時(shí)，彈簧不掛重物時(shí)的長度為，則選項(xiàng)A正確y是隨x的變化而變化的x與y都是變量，且x是自變量，y是因變量，則選項(xiàng)B正確當(dāng)物體質(zhì)量每增加，彈簧長度y增加的長度為，則選項(xiàng)C正確設(shè)當(dāng)所掛物體質(zhì)量為時(shí)，彈簧長度為則解得，則選項(xiàng)D不正確故選：D．【例2】某型號的汽車在路面上的制動(dòng)距離s＝，其中變量是（

）A．s

v2 B．s C．v D．s

v【答案】D【解析】解：∵制動(dòng)距離S=，∴S隨著V的變化而變化，∴變量是S、V．故選：D．二、函數(shù)的定義判斷一個(gè)關(guān)系是不是函數(shù)關(guān)系的方法：第一要看是不是一個(gè)變化過程；第二要看在這個(gè)變化過程中是不是有兩個(gè)變量；第三要看其中一個(gè)變量每取一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量是否有唯一確定的值與它對應(yīng)．【例3】下列關(guān)于變量，的關(guān)系，其中不是的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：A、C、D當(dāng)x取值時(shí)，y有唯一的值對應(yīng)，故選B．【例4】給出下列式子：①；②；③；④；⑤．其中y是x的函數(shù)的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【解析】①，y是x的函數(shù)；②，y是x的函數(shù)；③中有x，y，z三個(gè)變量，因此不能說y是x的函數(shù)；④中當(dāng)x取任一正數(shù)值時(shí)，有兩個(gè)y值與之對應(yīng)，故y不是x的函數(shù)．⑤，y是x的函數(shù).故選B．三、自變量取值范圍的確定函數(shù)關(guān)系式中有分式、二次根式、零指數(shù)冪等情況綜合時(shí)，自變量的取值范圍一定要滿足每一種情況，不要出現(xiàn)遺漏．【例5】函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是（

）A．x≥－1 B．x≥－1且x≠3 C．x≠－1 D．x≠－1且x≠3【答案】B【解析】由題意得：且解得：且即自變量x的取值范圍為：x≥－1且x≠3故選：B．【例6】函數(shù)的自變量x的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意得，且，所以且．故選B．四、函數(shù)解析式及函數(shù)值（1）要正確理解函數(shù)與函數(shù)值：函數(shù)是一個(gè)關(guān)系式，是一種對應(yīng)關(guān)系，是對變量而言的；函數(shù)值是對具體數(shù)值而言的．（2）一個(gè)函數(shù)的函數(shù)值一般是隨著自變量的變化而變化的．（3）求函數(shù)值的方法：將自變量的取值代入函數(shù)解析式進(jìn)行運(yùn)算即可．【例7】根據(jù)如圖所示的程序計(jì)算函數(shù)y的值，若輸入x的值為4時(shí)，輸出的y的值為7，則輸入x的值為2時(shí)，輸出的y的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】A【解析】解：∵輸入x的值是4時(shí)，輸出的y的值為7，∴7=2×4+b，解得：b=-1，若輸入x的值是2，則輸出的y的值是：y=-1×2+3=1．故選：A．【例8】據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，安徽省2019年第二季度GDP總值約為7.9千億元人民幣，若我省后兩個(gè)季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（

）．A． B．C． D．【答案】D【解析】∵第二季度GDP總值約為7.9千億元人民幣，若我省后兩個(gè)季度GDP總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長的百分率為x，∴第三季度總產(chǎn)值為7.9(1+x)千億元，第四季度總產(chǎn)值為，∴y=7.9(1+x)+，∴，故選D．五、函數(shù)的圖象（1）函數(shù)圖象上的任意點(diǎn)（x，y）中的x，y滿足函數(shù)解析式．（2）滿足函數(shù)解析式的任意一對（x，y）的值，所對應(yīng)的點(diǎn)一定在函數(shù)的圖象上．（3）利用函數(shù)國象可以求方程的解、不等式的解集、方程組的解，還可以預(yù)測變量的變化趨勢．【例9】下列曲線不能表示y是x的函數(shù)的是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】A.對于一定范圍內(nèi)自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應(yīng)，y是x的函數(shù)，此選項(xiàng)正確；B.對于一定范圍內(nèi)自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應(yīng)，y是x的函數(shù)，此選項(xiàng)正確；C.A.對于一定范圍內(nèi)自變量x的任取值時(shí)，y都有1個(gè)或2個(gè)值與之相對應(yīng)，則y不是x的函數(shù)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.對于一定范圍內(nèi)自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應(yīng)，y是x的函數(shù)，此選項(xiàng)正確；【例10】下列曲線中能夠表示是的函數(shù)的有A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【解析】①②③的圖象都滿足對于的每一個(gè)取值，都有唯一確定的值與之對應(yīng)關(guān)系，故①②③的圖象是函數(shù)，④的圖象不滿足滿足對于的每一個(gè)取值，都有唯一確定的值與之對應(yīng)關(guān)系，故錯(cuò)誤；故選：A．一、單選題1．函數(shù)中x的取值范圍是（

）A．x≤2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＞2【答案】B【解析】由二次根式有意義的條件知：，解得，故的取值范圍為，故答案為：B．2．寒冷的冬天里我們在利用空調(diào)制熱調(diào)控室內(nèi)溫度的過程中，空調(diào)的每小時(shí)用電量隨開機(jī)設(shè)置溫度的高低而變化，這個(gè)問題中自變量是（

）A．每小時(shí)用電量 B．室內(nèi)溫度 C．設(shè)置溫度 D．用電時(shí)間【答案】C【解析】解：空調(diào)的每小時(shí)用電量隨開機(jī)設(shè)置溫度的高低而變化，這個(gè)問題中自變量是設(shè)置溫度，故選：C．3．下列各曲線表示的y與x的關(guān)系中，y是x的函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由函數(shù)定義可知：作垂直x軸的直線在左右平移的過程中看是否與函數(shù)圖象只會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)，若只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)，否則不是；其中選項(xiàng)A、C、D均可能會(huì)有2個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤，而選線B中只會(huì)有一個(gè)交點(diǎn)，故選：B．4．如圖1，在矩形MNPQ中，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)N出發(fā)，沿N→P→Q→M方向運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)M處停止．設(shè)點(diǎn)R運(yùn)動(dòng)的路程為x，圖中陰影部分△MNR的面積為y，如果y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示，則矩形PQMN的面積為（）A．16B．20C．36D．45【答案】B【解析】解：由圖2可知：當(dāng)x＝4時(shí)，點(diǎn)R與點(diǎn)P重合，PN＝4，當(dāng)x＝9時(shí)，點(diǎn)R與點(diǎn)Q重合，PQ＝5，所以矩形PQMN的面積為4×5＝20．故選：B．5．小明從家里出發(fā)騎單車去上學(xué)，行了一段時(shí)間后，想起今天考試須要帶2B鉛筆，于是趕緊折回到剛經(jīng)過的文具店，買到鉛筆后繼續(xù)趕往學(xué)校．以下是他所用的時(shí)間與離家距離的關(guān)系示意圖，根據(jù)圖中的信息，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．小明家到學(xué)校的路程是1800米B．小明在文具店停留了4分鐘C．本次上學(xué)途中，小明一共行了3400米D．若騎單車的速度大于300米/分就有安全隱患，在整個(gè)上學(xué)的途中，小明騎車有4分鐘的超速騎行，存在安全隱患【答案】D【解析】解：A、根據(jù)圖象，學(xué)校的縱坐標(biāo)為1800，小明家的縱坐標(biāo)為0，故小明家到學(xué)校的路程是1800米；故本選項(xiàng)不合題意；B、根據(jù)題意，小明在書店停留的時(shí)間為從8分到12分，故小明在書店停留了4分鐘；故本選項(xiàng)不合題意；C、一共行駛的總路程＝1400+（1400﹣600）+（1800﹣600）＝3400（米）；故本選項(xiàng)不合題意；D、由圖象可知：0～6分鐘時(shí)，平均速度＝＝233（米/分），6～8分鐘時(shí)，平均速度＝（米/分），12～16分鐘時(shí)，平均速度＝（米/分），所以，若騎單車的速度大于300米/分就有安全隱患，在整個(gè)上學(xué)的途中，小明騎車有2分鐘的超速騎行，存在安全隱患，故本選項(xiàng)符合題意；故選：D．6．點(diǎn)燃的蠟燭每分鐘燃燒的長度一定，長22cm的蠟燭，點(diǎn)燃10分鐘，變短了4cm，設(shè)點(diǎn)燃x分鐘后，還剩ycm，下列說法正確的有（）A．蠟燭每分鐘燃燒0.6cmB．y與x的關(guān)系式為y＝22﹣4xC．第23分鐘時(shí)，蠟燭還剩12.8cmD．第51分鐘時(shí)，蠟燭燃盡【答案】C【解析】解：A、燃燒10分鐘后變短了4cm，可得每分鐘燃燒0.4cm，故不正確，不合題意；B、點(diǎn)燃的蠟燭每分鐘燃燒的長度一定，長22cm的蠟燭，點(diǎn)燃10分鐘，變短了4cm，設(shè)點(diǎn)燃x分鐘后，還剩ycm，y與x的關(guān)系式為y＝22﹣0.4x，故不正確，不合題意；C、第23分鐘時(shí)，蠟燭還剩y＝22﹣0.4×23＝12.8cm，故正確，符合題意；D、第51分鐘時(shí)，蠟燭還剩y＝22﹣0.4×51＝1.6cm，故不正確，不合題意；故選：C．二、填空題7．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是_____．【答案】【解析】解：∵分母不能為0，∴，∴解得自變量x的取值范圍是，故答案為：．8．在中，，周長為12．設(shè)，，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為______．【答案】【解析】解：根據(jù)題意得：2x+y=12，故y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為y=-2x+12．故答案為：y=-2x+12．三、解答題9．周末，小峰騎共享單車到圖書館，他騎行一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)鑰匙沒在，于是原路返回．在等紅綠燈的路口處找到了鑰匙，便繼續(xù)前往圖書館．小峰離家路程與所用時(shí)間的關(guān)系示意圖如圖所示，請根據(jù)圖中提供的信息回答下列問題：(1)圖中自變量是______，因變量是______．(2)小峰等待紅綠燈花了______分鐘．一共行駛了______分鐘．(3)本次去圖書館的行程中，小峰一共騎行了多少米？小峰在騎行過程中最快的速度是多少？【答案】(1)離家的時(shí)間、離家路程；(2)2；14；(3)小峰一共騎行2700米；小峰在騎行過程中最快的速度是300米／分．【解析】(1)解：由圖可知，圖中自變量是離家的時(shí)間，因變量是離家路程，故答案為：離家的時(shí)間、離家路程；(2)解：由圖可知，小峰等待紅綠燈花了：10-8=2（分鐘），一共用了14分鐘，故答案為：2；14；(3)本次去圖書館的行程中，小峰一共騎行了：1200+（1200-600）+（1500-600）=1200+600+900=2700（米），在0-4時(shí)間段內(nèi)速度為：1200÷4=300（米／分），在4-8時(shí)間段內(nèi)速度為：（1200-600）÷（8-4）=600÷4=150（米／分），在8-10時(shí)間段內(nèi)速度為0米／分，在10-14時(shí)間段內(nèi)速度為：（1500-600）÷（14-10）=900÷4=225（米／分），∵300＞225＞150＞0，∴小峰在騎行過程上最快的速度是300米／分，答：小峰一共騎行2700米，小峰在騎行過程中最快的速度是300米／分．10．下圖是某地區(qū)一天的氣溫隨時(shí)間變化的圖象：(1)圖中的變量是什么？(2)氣溫在哪段時(shí)間是下降的？(3)最高氣溫和最低氣溫分別是多少攝氏度？【答案】(1)時(shí)間t小時(shí)與溫度T°C；(2)0≤t≤4或14≤t≤22時(shí)間內(nèi)(3)最高溫度8°C，最低溫度為-2°C【解析】(1)解：圖中的變量是時(shí)間t小時(shí)與溫度T°C；(2)解：在0≤t≤4或14≤t≤22時(shí)間內(nèi)溫度下降；(3)最高溫度8°C，最低溫度為-2°C一、單選題1．如圖是甲、乙兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)在某時(shí)段速度隨時(shí)間變化的圖象，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．乙點(diǎn)前4秒是勻速運(yùn)動(dòng)，4秒后速度不斷增加B．甲點(diǎn)比乙點(diǎn)早4秒將速度提升到32cm/sC．在4至8秒內(nèi)甲的速度都大于乙的速度D．甲、乙兩點(diǎn)到第3秒時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程相等【答案】D【解析】．根據(jù)圖象可得，乙前4秒的速度不變，為12米秒，故A正確，不合題意；B．從圖象可知，甲8秒時(shí)速度是32厘米/秒，乙12秒時(shí)速度是32厘米/秒，故B正確，不符合題意；C．在4至8秒內(nèi)甲的速度圖象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故C正確，不合題意．D．甲每秒增加的速度為：（米秒），（米秒），甲前3秒的運(yùn)動(dòng)路程為（米，乙前4秒的速度不變，為12米秒，則行駛的路程為米，所以甲、乙兩點(diǎn)到第3秒時(shí)運(yùn)動(dòng)的路程不相等，故D錯(cuò)誤，符合題意；故選：D．2．如圖1，點(diǎn)F從菱形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，△FBC的面積y（cm2）隨時(shí)間x（s）變化的關(guān)系圖象，則a的值為（）A． B．2 C． D．2【答案】C【解析】解：過點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，由圖象可知，點(diǎn)F由點(diǎn)A到點(diǎn)D用時(shí)為as．∴，∴，∴DE＝2．當(dāng)點(diǎn)F從D到B時(shí)，用時(shí)為s∴BD＝∴在中，．∴，∴在中，，即，解得：．故選：C．3．甲、乙兩人分別從筆直道路上的A、B兩地出發(fā)相向勻速而行，已知甲比乙先出發(fā)5分鐘，兩人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙繼續(xù)向A地前行，約定先到A地者停止運(yùn)動(dòng)就地休息．若甲、乙兩人相距的路程y（米）與甲行走的時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，有下列說法：①甲的速度是60米/分鐘；②乙的速度是90米/分鐘；③甲出發(fā)18分鐘時(shí)，兩人在C地相遇；④乙到達(dá)A地時(shí)，甲與A地相距460米，其中正確的說法有（）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【解析】解：由題意可得，甲的速度為：（米/分），故①正確，乙的速度為：（米/分），故②正確，甲、乙相遇時(shí)乙出發(fā)的時(shí)間為：（分鐘），此時(shí)甲出發(fā)：（分鐘），故③錯(cuò)誤，乙到達(dá)A地時(shí)，甲與A地相距的路程是：（米），故④正確，故選：C．4．一塊含45°角的直角三角板和一把直尺按如圖所示方式放置，直尺的一邊EF與直角三角板的斜邊AB位于同一直線上，DE＞AB．開始時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，直角三角板固定不動(dòng)，然后將直尺沿AB方向平移，直到點(diǎn)F與點(diǎn)B重合時(shí)停止．設(shè)直尺平移的距離AE的長為x，邊AC和BC被直尺覆蓋部分的總長度為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：根據(jù)直尺的平移可知，共分三個(gè)階段，分別如下圖所示：如圖①，設(shè)、與的交點(diǎn)分別為、，作，由此可得四邊形為矩形，則，，則為等腰直角三角形由勾股定理可得：即，如圖②，設(shè)與的交點(diǎn)分別為，與的交點(diǎn)為點(diǎn)，作，延長交于點(diǎn)，由此可得，四邊形為矩形，則，，則、為等腰直角三角形，則，所以，如圖③，由圖①可得，即y不隨x的變化，不變，故選：A．5．如圖所示各圖中反映了變量y是x的函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】解：根據(jù)函數(shù)的意義可知：對于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應(yīng)，只有D正確．故選：D．6．甲、乙兩人沿同一條筆直的公路相向而行，甲從地前往地，乙從地前往地．甲先出發(fā)3分鐘后乙才出發(fā)．當(dāng)甲行駛到6分鐘時(shí)發(fā)現(xiàn)重要物品忘帶，立刻以原速的掉頭返回地．拿到物品后以提速后的速度繼續(xù)前往地，二人相距的路程（米）與甲出發(fā)的時(shí)間（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示，下列說法不正確的是（

）A．乙的速度為 B．兩人第一次相遇的時(shí)間是分鐘C．點(diǎn)的坐標(biāo)為 D．甲最終達(dá)到地的時(shí)間是分鐘【答案】D【解析】由題意知：AB段表示甲先出發(fā)3分鐘內(nèi)兩人距離與甲出發(fā)時(shí)間的關(guān)系，則；BC段表示甲3分鐘~6分鐘內(nèi)兩人的距離與甲出發(fā)時(shí)間的關(guān)系，故；CD段兩人距離不變，表示兩人的速度相等，從而可得乙的速度為甲原來速度的；設(shè)甲原來的速度為，提速后的速度為，則乙的速度為甲行駛6分鐘后，乙行駛3分鐘，兩人相距2320米，于是兩人共行駛了4000?2320=1680（）則得方程：解得：則乙的速度為故A正確甲前3分鐘的路程為：3×160=480（），3分鐘時(shí)甲乙相距故點(diǎn)B的坐標(biāo)為故C正確設(shè)甲6分鐘后返回的時(shí)間為根據(jù)甲6分鐘的路程=甲返回取回物品的路程，得方程：解得：t=4∴即10后，甲乙均以速度相向而行，此時(shí)兩人相距：，兩人相遇的時(shí)間為：所以甲出發(fā)到兩人第一次相遇時(shí)間為：故B正確甲拿回物品后到達(dá)B地需要的時(shí)間為：，則甲最終達(dá)到B地所需的時(shí)間為：故D錯(cuò)誤故選：D二、填空題7．在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是_____．【答案】1≤x≤2【解析】解：由題意得，2﹣x≥0，x﹣1≥0，解得x≤2，x≥1，∴1≤x≤2．故答案為：1≤x≤2．8．甲、乙兩人在一條長400米的直線跑道上同起點(diǎn)、同終點(diǎn)、同方向勻速跑步，先到終點(diǎn)的人原地休息，已知甲先出發(fā)3秒，在跑步過程中，甲、乙兩人的距離y（米）與乙出發(fā)的時(shí)間t（秒）之間的關(guān)系如圖所示，有如下四個(gè)結(jié)論：①甲的速度是4米/秒；②甲從起點(diǎn)到終點(diǎn)共用80秒；③離開起點(diǎn)后，甲、乙兩人第一次相遇時(shí)，距離起點(diǎn)30米；④甲、乙兩人相距的最大距離為68米．上述所有正確結(jié)論的序號是_____．【答案】①④【解析】解：由圖可知：甲3秒跑了12米，∴甲的速度是4米/秒；故①正確；∴甲從起點(diǎn)到終點(diǎn)共用400÷4=100（秒），故②不正確；由圖知，乙用80秒跑400米，∴乙速度為5米/秒，∴乙追上甲用的時(shí)間為12÷（5-4）=12（秒），此時(shí)距出發(fā)點(diǎn)12×5=60（米），故③不正確；乙出發(fā)80秒時(shí)，甲跑的路程是12+80×4=332（米），此時(shí)甲、乙兩人相距距離最大，最大距離是400-332=68（米），故④正確；故答案為：①④．三、解答題9．某市為了節(jié)約用水，采用分段收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)、設(shè)居民每月應(yīng)交水費(fèi)y（元），用水量x（立方米）．用水量x（立方米）應(yīng)交水費(fèi)y（元）不超過10立方米每立方米4元超過10立方米超過的部分