2024-2025學年高考數(shù)學考點第十一章計數(shù)原理隨機變量及其分布11.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理理

PAGEPAGE5考點11.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理考點梳理考點梳理一般形式區(qū)分分類加法計數(shù)原理完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，都涉及完成一件事情的不同方法種數(shù)．它們的區(qū)分在于：分類加法計數(shù)原理與分類有關，各種方法相互獨立，用其中的任何一種方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理與分步有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了，這件事才算完成分步乘法計數(shù)原理完成一件事須要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法概念方法微思索1．在解題過程中如何判定是用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理？提示假如已知的每類方法中的每一種方法都能完成這件事，應當用分類加法計數(shù)原理；假如每類方法中的每一種方法只能完成事務的一部分，就用分步乘法計數(shù)原理．2．兩種原理解題策略有哪些？提示①明白要完成的事情是什么；②分清完成該事情是分類完成還是分步完成，“類”間相互獨立，“步”間相互聯(lián)系；③有無特別條件的限制；④檢驗是否有重復或遺漏．真題演練真題演練1．（2024?上海）《九章算術》中，稱底面為矩形而有一側棱垂直于底面的四棱錐為陽馬，設是正六棱柱的一條側棱，如圖，若陽馬以該正六棱柱的頂點為頂點、以為底面矩形的一邊，則這樣的陽馬的個數(shù)是（）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】D【解析】依據(jù)正六邊形的性質(zhì)，則，滿足題意，而，，，，，和一樣，有，當為底面矩形，有4個滿足題意，當為底面矩形，有4個滿足題意，故有故選D．2．（2024?上海）已知，，，0，1，2，，、，則的狀況有__________種．【答案】18【解析】當，0種，當，2種，當，4種；當，6種，當，4種；當，2種，當，0種，故共有：．故答案為：18．3．（2024?新課標Ⅰ）從2位女生，4位男生中選3人參與科技競賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有__________種．（用數(shù)字填寫答案）【答案】16【解析】方法一：干脆法，1女2男，有，2女1男，有依據(jù)分類計數(shù)原理可得，共有種，方法二，間接法：種，故答案為：16．4．（2024?上海）某校組隊參與辯論賽，從6名學生中選出4人分別擔當一、二、三、四辯，若其中學生甲必需參賽且不擔當四辯，則不同的支配方法種數(shù)為__________（結果用數(shù)值表示）【答案】180【解析】依據(jù)題意，分2步分析：①，學生甲必需參賽且不擔當四辯，則甲可以擔當一、二、三辯，有3種狀況，②，在剩下的5名學生中任選3人，支配到其他三個辯手的位置，有種狀況，則有種不同的支配方法種數(shù)；故答案為：180．強化訓練強化訓練1．（2024?金安區(qū)校級模擬）2024里約奧運會期間，小趙?？吹?個電視頻道中有2個頻道在轉播奧運競賽．若小趙這時打開電視，隨機打開其中一個頻道，若在轉播奧運競賽，則停止換臺，否則就進行換臺，那么，小趙所看到的第三個電視臺恰好在轉播奧運競賽的不同狀況有A．6種 B．24種 C．36種 D．42種【答案】B【解析】第一步從4個沒轉播的頻道選出2個共有種，在把2個報道的頻道選1個有種，依據(jù)分步計數(shù)原理小趙所看到的第三個電視臺恰好在轉播奧運競賽的不同狀況有種．故選．2．（2024?西湖區(qū)校級模擬）從集合，1，2，3，4，5，中任取兩個互不相等的數(shù)，，組成復數(shù)，其中虛數(shù)有A．36個 B．42個 C．30個 D．35個【答案】A【解析】，互不相等且為虛數(shù)，全部只能從，2，3，4，5，中選一個有6種，從剩余的6個選一個有6種，依據(jù)分步計數(shù)原理知虛數(shù)有（個．故選．3．（2024?漢陽區(qū)校級模擬）學校支配在周一至周四的藝術節(jié)上展演《雷雨》、《茶館》、《天籟》、《馬蹄聲碎》四部話劇，每天一部，受多種因素影響，話劇《雷雨》不能在周一、周四上演；《茶館》不能在周一、周三上演；《天籟》不能在周三、周四上演；《馬蹄聲碎》不能在周一、周四上演，則全部的可能狀況有種．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由題意，周一只能上演《天籟》，周四只能上演《茶館》，故周二上演《雷雨》，周三上演《馬蹄聲碎》；或者周二上演《馬蹄聲碎》，周三上演《雷雨》．故全部的可能狀況有2種，故選．4．（2024?沙坪壩區(qū)校級模擬）設集合，，，，，，，，2，3，4，5，，那么集合中滿足條件“”的元素的個數(shù)為A．35 B．50 C．60 D．180【答案】B【解析】集合，，，，，，，，2，3，4，5，，要滿足“”由題可得：中有2個，4個1，或3個，3個1，或4個，2個1，共三類狀況符合條件．所以中滿足條件“”的元素的個數(shù)為：；故選．5．（2024?安徽模擬）中國足球隊超級聯(lián)賽的積分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．某球隊打完3場競賽，則該球隊積分狀況共有幾種A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【解析】打完3場競賽，可能出現(xiàn)的輸贏狀況為：三勝，二勝一平，二勝一負，一勝二平，一勝二負，一勝一平一負；三平，二平一負，一平二負；三負；對應的積分依次為：9，7，6，5，3，4，3，2，1，0；共9種積分狀況．故選．6．（2024?吉林模擬）一只螞蟻從正四面體的頂點動身，沿著正四面體的棱爬行，每秒爬一條棱，每次爬行的方向是隨機的，則螞蟻第1秒后到點，第4秒后又回到點的不同爬行路途有A．6條 B．7條 C．8條 D．9條【答案】B【解析】依據(jù)已知，可作出右圖，由圖知，不同的爬行路途有7條，故選．7．（2024?青羊區(qū)校級模擬）由數(shù)字0，1，2，3組成的無重復數(shù)字的4位數(shù)中，比2024大的數(shù)的個數(shù)為A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【解析】依據(jù)題意，分2種狀況探討：①、當首位為3時，將剩下的三個數(shù)字全排列，支配在后面的三個數(shù)位，有種狀況，即有6個符合條件的4位數(shù)；②，當首位為2時，若百位為1或3時，將剩下的兩個數(shù)字全排列，支配在后面的兩個數(shù)位，有種狀況，即有4個符合條件的4位數(shù)；若首位為2，百位為0時，只有2031一個符合條件的4位數(shù)；綜上共有個符合條件的4位數(shù)；故選．8．（2024?大同模擬）中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的誕生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的祥瑞物各一個，三位同學依次選一個作為禮物，甲同學喜愛牛和馬，乙同學喜愛牛、狗和羊，丙同學哪個祥瑞物都喜愛，假如讓三位同學選取禮物都滿足，則選法有A．30種 B．50種 C．60種 D．90種【答案】B【解析】①甲同學選擇牛，乙有2種，丙有10種，選法有種，②甲同學選擇馬，乙有3種，丙有10種，選法有種，所以總共有種．故選．9．（2024?武侯區(qū)校級模擬）用數(shù)字0，1，2，3，4，5，6組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中個位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有個．A．324 B．216 C．180 D．384【答案】A【解析】由題意知本題須要分類來解：當個位、十位和百位上的數(shù)字為3個偶數(shù)的有：種；當個位、十位和百位上的數(shù)字為1個偶數(shù)2個奇數(shù)的有：種，依據(jù)分類計數(shù)原理得到共有個．故選．10．（2024?和平區(qū)校級二模）在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數(shù)字的四位數(shù)中，能被5整除的個數(shù)有A．512 B．192 C．240 D．108【答案】D【解析】能被5整除的四位數(shù)末位是0或5的數(shù)，因此分兩類第一類，末位為0時，其它三位從剩下的數(shù)中隨意排3個即可，有個，其次類，米位為5時，首位不能排0，則首位只能從1，3，4，5選1個，其次位和第三位從剩下的任選2個即可，有個，依據(jù)分類計數(shù)原理得可以組成個不同的能被5整除的四位數(shù)．故選．11．（2024?阿拉善盟一模）將4名實習老師安排到高一年級三個班實習，每班至少支配一名老師，則不同的安排方案有種．A．12 B．36 C．72 D．108【答案】B【解析】第一步從4名實習老師中選出2名組成一個復合元素，共有種，其次步把3個元素（包含一個復合元素）支配到三個班實習有種，依據(jù)分步計數(shù)原理不同的安排方案有種．故選．12．（2024?河南模擬）某省示范中學將6名老師安排至3所農(nóng)村學校支教，每所學校至少安排一名老師，其中甲必去校，乙、丙兩名老師不能安排在同一所學校的不同安排方法數(shù)為A．36 B．96 C．114 D．130【答案】D【解析】甲去校，再安排其他5個人，①假如都不去校，則安排方法有種；②假如5人分成1，1，3三組，則安排方法有種；③假如5人分成1，2，2三組，則安排方法有種；由加法原理可得不同安排方法有種．故選．13．（2024?西湖區(qū)校級模擬）已知某超市為顧客供應四種結賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡．若顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中的三種結賬方式，那么他們結賬方式的可能狀況有種A．19 B．26 C．7 D．12【答案】B【解析】顧客甲沒有銀聯(lián)卡，顧客乙只帶了現(xiàn)金，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，①當甲丙丁顧客都不選微信時，則甲有2種選擇，當甲選擇現(xiàn)金時，其余2人種，當甲選擇支付寶時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有，故有種，②當甲丙丁顧客都不選支付寶時，則甲有2種選擇，當甲選擇現(xiàn)金時，其余2人種，當甲選擇微信時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有，故有種，③當甲丙丁顧客都不選銀聯(lián)卡時，若有人運用現(xiàn)金，則種，若沒有人運用現(xiàn)金，則有種，故有種，依據(jù)分步計數(shù)原理可得共有種，故選．14．（2024?諸暨市模擬）假如某人有壹元、貳元、伍元、拾元、貳拾元、伍拾元、壹佰元的紙幣各兩張，要支付貳佰壹拾玖元的貨款（不找零），則有__________種不同的支付方式．【答案】6【解析】9元的支付有兩種狀況，或者，①當9元采納方式支付時，200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有種支付方式；②當9元采納方式支付時：200元的支付方式為，或者或者共3種方式，10元的支付只能用1張10元，此時共有種支付方式；所以總的支付方式共有種．故答案為：6．15．（2024?泰安二模）北京大興國際機場為級國際機場、大型國際樞紐機場、國家發(fā)展新動力源，于2024年9月25日正式通航．目前建有“三縱一橫”4條跑道，分別叫西一跑道、西二跑道、東一跑道、北一跑道，如圖所示；若有2架飛往不同目的地的飛機要從以上不同跑道同時起飛，且西一跑道、西二跑道至少有一道被選取，則共有__________種不同的支配方法．（用數(shù)字作答）．【答案】10【解析】①西一跑道、西二跑道均被選取，有種起飛方式；②西一跑道、西二跑道只有一道被選取，有種起飛方式；由分類計數(shù)原理可知，滿足條件的支配方法有種．故答案為：10．16．（2024?杜集區(qū)