高一數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）57三角函數(shù)的應(yīng)用（五大題型）

5．7三角函數(shù)的應(yīng)用目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識(shí)點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 3題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用 3題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用 8題型三：數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題 11題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用 17題型五：幾何中的三角函數(shù)模型 23

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一、函數(shù)中，，，的物理意義1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅就是．2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期．3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率．4、稱(chēng)為相位．5、時(shí)的相位稱(chēng)為初相．知識(shí)點(diǎn)二、三角函數(shù)模型的應(yīng)用三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫(huà)周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)其未來(lái)等方面都發(fā)揮著十分重要的作用．實(shí)際問(wèn)題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)，因此往往需要使用信息技術(shù)．知識(shí)點(diǎn)三、三角函數(shù)模型應(yīng)用的步驟（1）建模問(wèn)題步驟：審讀題意→建立三角函數(shù)式→根據(jù)題意求出某點(diǎn)的三角函數(shù)值→解決實(shí)際問(wèn)題．（2）建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵，先根據(jù)題意設(shè)出代表函數(shù)，再利用數(shù)據(jù)求出待定系數(shù)，然后寫(xiě)出具體的三角函數(shù)式．知識(shí)點(diǎn)四、三角函數(shù)應(yīng)用題的三種模式（1）給定呈周期變化規(guī)律的三角函數(shù)模型，根據(jù)所給模型，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，解決一些實(shí)際問(wèn)題．（2）給定呈周期變化的圖象，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)模型，再解決其他問(wèn)題．（3）整理一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的調(diào)查數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，通過(guò)擬合函數(shù)圖象，求出可以近似表示變化規(guī)律的函數(shù)模型，進(jìn)一步用函數(shù)模型來(lái)解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)五、三角函數(shù)模型應(yīng)用注意點(diǎn)（1）一般地，所求出的函數(shù)模型只能近似地刻畫(huà)實(shí)際情況，因此應(yīng)特別注意自變量的取值范圍．（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意從背景中提取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，并利用相關(guān)知識(shí)來(lái)理解．【典型例題】題型一：三角函數(shù)模型在物理學(xué)中的應(yīng)用【典例11】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）阻尼器是一種以提供阻力達(dá)到減震效果的專(zhuān)業(yè)工程裝置，我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱(chēng)為“鎮(zhèn)樓神器”，如圖（1）．由物理學(xué)知識(shí)可知，某阻尼器的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移y（單位：m）和時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系為，如圖（2）．若該阻尼器在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次到達(dá)位置（）的時(shí)間分別為，，（），且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為（

）A． B． C．1s D．【答案】D【解析】由題意得，，故函數(shù)的周期為，，可得，令，解得，故總時(shí)間為，綜上在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器離開(kāi)平衡位置的位移大于0.5m的總時(shí)間為.故選：D.【典例12】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，一個(gè)以為始邊，為終邊的單擺的角與時(shí)間（單位：s）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式，則當(dāng)時(shí)，角的大小及單擺頻率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，，由函數(shù)解析式易知單擺周期為，故單擺頻率為．故選：B.【方法技巧與總結(jié)】處理物理學(xué)問(wèn)題的策略（1）常涉及的物理學(xué)問(wèn)題有單擺、光波、電流、機(jī)械波等，其共同的特點(diǎn)是具有周期性．（2）明確物理概念的意義，此類(lèi)問(wèn)題往往涉及諸如頻率、振幅等概念，因此要熟知其意義并與對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)知識(shí)結(jié)合解題．【變式11】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖是一向右傳播的繩波在某一時(shí)刻繩子各點(diǎn)的位置圖，由乙點(diǎn)開(kāi)始經(jīng)過(guò)周期后，與圖中哪個(gè)點(diǎn)相同（

）A．甲 B．戊 C．丙 D．丁【答案】D【解析】因?yàn)樽钚≈岛妥畲笾抵g的橫坐標(biāo)相差12而乙在最低點(diǎn)，所以經(jīng)過(guò)12周期后，乙點(diǎn)與丁點(diǎn)相同故選：D.【變式12】（2024·高一·廣東廣州·期末）如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動(dòng)，它在秒時(shí)相對(duì)于平衡位置的高度厘米由關(guān)系式確定，其中，，.小球從最低點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)2秒后，第一次回到最低點(diǎn)，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．秒與秒時(shí)小球偏離于平衡位置的距離之比為2C．當(dāng)時(shí)，若小球有且只有三次到達(dá)最高點(diǎn)，則D．當(dāng)時(shí)，若時(shí)刻小球偏離于平衡位置的距離相同，則【答案】B【解析】由題可知小球運(yùn)動(dòng)的周期，又，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，即，，所以，則，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以秒與秒時(shí)小球偏離于平衡位置的距離之比為，故B正確；若，則，又當(dāng)時(shí)，小球有且只有三次到達(dá)最高點(diǎn)，所以，解得，即，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，令，，則，，滿(mǎn)足且時(shí)刻小球偏離于平衡位置的距離相同，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：B【變式13】（2024·高一·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）阻尼器是一種以提供運(yùn)動(dòng)的阻力，從而達(dá)到減振效果的專(zhuān)業(yè)工程裝置.我國(guó)第一高樓上海中心大廈的阻尼器減振裝置，被稱(chēng)為“鎮(zhèn)樓神器”.某阻尼器模型的運(yùn)動(dòng)過(guò)程可近似看為單擺運(yùn)動(dòng)，其離開(kāi)平衡位置的位移和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為，其中，若該阻尼器模型在擺動(dòng)過(guò)程中連續(xù)三次位移為的時(shí)間分別為，，，且，，則在一個(gè)周期內(nèi)阻尼器偏離平衡位置的位移的大小小于1.5cm的總時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意得，故函數(shù)的周期為，則，可得，位移的大小即，故令，得，，或,則，或者，故總時(shí)間為：，故選：C.【變式14】（2024·高一·湖南·課后作業(yè)）電流隨時(shí)間變化的函數(shù)的圖象如圖所示，則時(shí)的電流為．【答案】【解析】由函數(shù)的圖象可得，且，故，而，故，解得，故，故，故答案為：.【變式15】（2024·高一·上海嘉定·期中）如圖，彈簧掛著的小球做上下振動(dòng)，它在秒時(shí)相對(duì)于平衡位置（即靜止時(shí)的位置）的高度厘米滿(mǎn)足下列關(guān)系：，，則每秒鐘小球能振動(dòng)次.【答案】【解析】函數(shù)，的周期，故頻率為.所以每秒鐘小球能振動(dòng)次.故答案為：.題型二：三角函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用【典例21】（2024·高一·江蘇連云港·期中）如圖，為測(cè)量旗桿的高，在水平線(xiàn)上選取相距的兩點(diǎn)，用兩個(gè)垂直于水平面且高度均為的測(cè)量標(biāo)桿觀(guān)測(cè)旗桿的頂點(diǎn)，記處測(cè)量標(biāo)桿的上端點(diǎn)分別為，直線(xiàn)與水平線(xiàn)分別交于點(diǎn)，且測(cè)得的長(zhǎng)分別為，則旗桿的高為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可得，，所以，又，得到，又，所以，解得m，故選：A.【典例22】（2024·高二·安徽·學(xué)業(yè)考試）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，每一個(gè)聲音都是由純音合成的，純音的數(shù)學(xué)模型是三角函數(shù)，如音叉發(fā)出的純音振動(dòng)可表示為，其中表示時(shí)間，表示純音振動(dòng)時(shí)音叉的位移，表示純音振動(dòng)的頻率（對(duì)應(yīng)音高），表示純音振動(dòng)的振幅（對(duì)應(yīng)音強(qiáng)）．已知某音叉發(fā)出的純音振動(dòng)可表示為，則該純音振動(dòng)的頻率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】頻率為，故選：C【方法技巧與總結(jié)】解三角函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟【變式21】（2024·高一·江西景德鎮(zhèn)·期中）某市一年中的月平均氣溫與月份的關(guān)系可近似用函數(shù)來(lái)表示已知6月份的月平均氣溫為，12月份的月平均氣溫為，則10月份的月平均氣溫為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，且，解得，所以，?dāng)時(shí)，所以10月份的月平均氣溫為.故選：D【變式22】（2024·高一·北京昌平·期末）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐.一般早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋.下面是某港口在某季節(jié)某天的時(shí)間與水深值（單位：）的部分記錄表.時(shí)間0:003:006:009:0012:00水深值5.07.55.02.55.0據(jù)分析，這個(gè)港口的水深值與時(shí)間的關(guān)系可近似的用三角函數(shù)來(lái)描述.試估計(jì)13：00的水深值為（

）A．3.75 B．5.83 C．6.25 D．6.67【答案】C【解析】記時(shí)間為，水深值為，設(shè)時(shí)間與水深值的函數(shù)關(guān)系式為，由表中數(shù)據(jù)可知，，所以，，所以，又時(shí)，，所以，所以，即，所以，，即13:00的水深值大約為.故選：C【變式23】（2024·高一·江西宜春·期中）某賣(mài)場(chǎng)去年1至12月份銷(xiāo)售某款飲品的數(shù)量（單位：萬(wàn)件）與月份x近似滿(mǎn)足函數(shù)，已知在上單調(diào)，且對(duì)任意的，都有，若，則該賣(mài)場(chǎng)去年銷(xiāo)售該款飲品的月銷(xiāo)量不低于65萬(wàn)件的月份有（

）A．4個(gè) B．5個(gè) C．6個(gè) D．7個(gè)【答案】B【解析】由題意可得，，又在上單調(diào)，且對(duì)任意的，都有，所以，所以，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，即?個(gè)月，故選：B.題型三：數(shù)據(jù)擬合問(wèn)題【典例31】（2024·高二·貴州遵義·階段練習(xí)）彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng).下表給出了振子在完成一次全振動(dòng)的過(guò)程中的事件t與位移s之間的測(cè)量數(shù)據(jù)，那么能與這些數(shù)據(jù)擬合的振動(dòng)函數(shù)的解析式為（

）t0123456789101112s0.110.31.720.017.710.30.1A．， B．C． D．，【答案】D【解析】設(shè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析式為，其中由表格可知：振幅，周期，過(guò)點(diǎn)，由周期，且，可得，由過(guò)點(diǎn)，可得，即，則，可得，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解析式為.故選：D.【典例32】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生潮漲潮落，船只一般漲潮時(shí)進(jìn)港卸貨，落潮時(shí)出港航行，某船吃水深度（船底與水面距離）為米，安全間隙（船底與海底距離）為米，該船在開(kāi)始卸貨，吃水深度以米/小時(shí)的速度減少，該港口某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深如下表所示，若選擇（）擬合該港口水深與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，則該船必須停止卸貨駛離港口的時(shí)間大概控制在（

）（要考慮船只駛出港口需要一定時(shí)間）時(shí)刻0:003:006:009:0012:0015:0018:0021:0024:00水深（米）5.07.55.02.55.07.55.02.55.0A．至 B．至C．至 D．至【答案】C【解析】由題意得，函數(shù)的周期為，振幅，所以，又因?yàn)檫_(dá)到最大值，所以由，可得，所以，所以函數(shù)的表達(dá)式為，令，解得，所以在可安全離港，故選：C【方法技巧與總結(jié)】數(shù)據(jù)擬合的通法（1）處理的關(guān)鍵：數(shù)據(jù)擬合是一項(xiàng)重要的數(shù)據(jù)處理能力，解決該類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何把實(shí)際問(wèn)題三角函數(shù)模型化，而散點(diǎn)圖在這里起了關(guān)鍵作用．（2）一般方法：數(shù)據(jù)對(duì)→作散點(diǎn)圖→確定擬合函數(shù)→解決實(shí)際問(wèn)題．【變式31】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）某港口水深（米是時(shí)間（，單位：小時(shí)）的函數(shù)，下表是水深數(shù)據(jù)：（小時(shí)）03691215182124（米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根據(jù)上述數(shù)據(jù)描成的曲線(xiàn)如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線(xiàn)可近似地看成正弦函數(shù)的圖象.

(1)試根據(jù)數(shù)據(jù)表和曲線(xiàn)，求出的表達(dá)式；(2)一般情況下，船舶航行時(shí)船底與海底的距離不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度（船底與水面的距離）為7米，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間？（忽略離港所用的時(shí)間）【解析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，，，，，，函數(shù)的表達(dá)式為；（2）由題意，水深，即，，，，1，或；所以，該船在至或至能安全進(jìn)港，若欲于當(dāng)天安全離港，它在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過(guò)16小時(shí).【變式32】（2024·高一·湖北黃岡·階段練習(xí)）某市某日氣溫()是時(shí)間，單位：小時(shí)的函數(shù)，下面是該天不同時(shí)間的氣溫預(yù)報(bào)數(shù)據(jù)：（時(shí)）03691215182124()15.714.015.720.024.226.024.220.015.7根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線(xiàn)如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線(xiàn)可近似地看成函數(shù)的圖象．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試求函數(shù)的表達(dá)式(2)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)顯示，某種特殊商品在室外銷(xiāo)售可獲得3倍于室內(nèi)銷(xiāo)售的利潤(rùn)，但對(duì)室外溫度的要求是氣溫不能低于，根據(jù)（1）中所得模型，一個(gè)24小時(shí)營(yíng)業(yè)的商家想獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)在什么時(shí)間段（用區(qū)間表示）將該種商品放在室外銷(xiāo)售？(忽略商品搬運(yùn)時(shí)間及其他非主要因素)【解析】（1）由的圖象，可得，解得，又由，解得，所以，因?yàn)闀r(shí)，可得，即，解得，即，所以，又因?yàn)?，解得，所?（2）令，即，可得，解得，解得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，可得，所以一個(gè)小時(shí)營(yíng)業(yè)的商家想獲得最大利潤(rùn)，應(yīng)在時(shí)間段將該種商品放在室外銷(xiāo)售．【變式33】（2024·高一·福建莆田·期中）某企業(yè)一天中不同時(shí)刻的用電量（萬(wàn)千瓦時(shí)）關(guān)于時(shí)間（小時(shí)）的函數(shù)近似滿(mǎn)足（，，）．如圖是函數(shù)的部分圖象對(duì)應(yīng)凌晨0點(diǎn)）．(1)根據(jù)圖象，求，，，的值；(2)由于當(dāng)?shù)囟眷F霾嚴(yán)重，從環(huán)保的角度，既要控制火力發(fā)電廠(chǎng)的排放量，電力供應(yīng)有限，又要控制企業(yè)的排放量，于是需要對(duì)各企業(yè)實(shí)行分時(shí)拉閘限電措施．已知該企業(yè)某日前半日能分配到的供電量（萬(wàn)千瓦時(shí)）與時(shí)間（小時(shí)）的關(guān)系可用線(xiàn)性函數(shù)模型（）擬合．當(dāng)供電量小于該企業(yè)的用電量時(shí)，企業(yè)就必須停產(chǎn)．初步預(yù)計(jì)這一時(shí)刻處在中午11點(diǎn)到12點(diǎn)間，為保證該企業(yè)即可提前準(zhǔn)備應(yīng)對(duì)停產(chǎn)，又可盡量減少停產(chǎn)時(shí)間，請(qǐng)從這個(gè)初步預(yù)計(jì)的時(shí)間段開(kāi)始，用二分法將這一時(shí)刻所處的時(shí)間段精確到15分鐘．【解析】（1）由函數(shù)圖象知，∴，，，代入，得，則,又,綜上，,,,.（2）由（1）知,令，設(shè)，則為該企業(yè)的停產(chǎn)時(shí)間．當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，而（）為減函數(shù)，故在上是單調(diào)遞增函數(shù)．由，又，則，即11點(diǎn)到11點(diǎn)30分之間（大于15分鐘），又，則，即11點(diǎn)15分到1點(diǎn)30分之間（正好15分鐘），故估計(jì)在11點(diǎn)15分到11點(diǎn)30分之間的時(shí)間段停產(chǎn)．【變式34】（2024·高一·河北邢臺(tái)·期末）某地農(nóng)業(yè)檢測(cè)機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：該地區(qū)近幾年的活雞收購(gòu)價(jià)格（元/斤）每年四個(gè)季度會(huì)重復(fù)出現(xiàn)，但活雞養(yǎng)殖成本（元/斤）逐季遞增.下表是該地區(qū)今年四個(gè)季度的統(tǒng)計(jì)情況：季度第1季度第2季度第3季度第4季度收購(gòu)價(jià)格81086養(yǎng)殖成本34現(xiàn)打算從以下兩個(gè)函數(shù)模型：①；②中選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別來(lái)擬合今年活雞收購(gòu)價(jià)格與第季度之間的函數(shù)關(guān)系?養(yǎng)殖成本與第季度之間的函數(shù)關(guān)系（從今年第1季度為第1個(gè)季度開(kāi)始計(jì)算）.（數(shù)據(jù)參考：取.）(1)請(qǐng)你選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，分別求出這兩個(gè)函數(shù)模型的解析式.(2)若活雞的收購(gòu)價(jià)格高于養(yǎng)殖成本，則該地區(qū)活雞養(yǎng)殖戶(hù)盈利，若活雞的收購(gòu)價(jià)格低于養(yǎng)殖成本，則該地區(qū)活雞養(yǎng)殖戶(hù)虧損.按照你選定的函數(shù)模型，幫助該機(jī)構(gòu)估計(jì)一下，明年四個(gè)季度該地區(qū)活雞養(yǎng)殖戶(hù)是盈利還是虧損？【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)可知，收購(gòu)價(jià)格隨月份變化上下波動(dòng)，應(yīng)選擇模型①；由表中數(shù)據(jù)可知，收養(yǎng)殖成本隨月份緩慢上升，應(yīng)選擇模型②.對(duì)于模型①，由點(diǎn)及可得該函數(shù)周期為，則由，可得.又該函數(shù)最大值為10以及最小值為6可得，，解得.所以.將代入可得，所以，又，所以，所以模型①為.對(duì)于模型②，的圖象過(guò)點(diǎn)，.所以，解得.所以模型②為.（2）由（1）設(shè)，.若，則盈利，若，則虧損.當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則.這說(shuō)明明年四個(gè)季度的收購(gòu)價(jià)格都高于養(yǎng)殖成本，所以估計(jì)明年四個(gè)季度該地區(qū)活雞養(yǎng)殖戶(hù)都會(huì)盈利.【變式35】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）某“帆板”集訓(xùn)隊(duì)在一海濱區(qū)域進(jìn)行集訓(xùn)，該海濱區(qū)域的海浪高度y(米)隨著時(shí)間t(，單位：小時(shí))呈周期性變化，每天各時(shí)刻t的浪高數(shù)據(jù)的平均值如表：t/時(shí)03691215182124y/米1.01.41.00.61.01.40.90.61.0(1)從，，中選擇一個(gè)合適的函數(shù)模型，并求出該擬合模型的解析式；(2)如果確定在一天內(nèi)的7時(shí)至19時(shí)之間，當(dāng)浪高不低于0.8米時(shí)才進(jìn)行訓(xùn)練，試安排恰當(dāng)?shù)挠?xùn)練時(shí)間．【解析】（1）把表格中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)描出，如下，由所描點(diǎn)知：應(yīng)選擇，令，，，依題意，函數(shù)的最大值為，最小值為，周期為，則，，，于是，代入點(diǎn)，得，即，則，又，因此，所以該模型的解析式為：.（2）令，得，則，解得，而，當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則，因此或或，依題意，應(yīng)在白天11點(diǎn)到19點(diǎn)之間訓(xùn)練較恰當(dāng).題型四：三角函數(shù)在圓周中的應(yīng)用【典例41】（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，一個(gè)大風(fēng)車(chē)的半徑為旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)離地面2m，風(fēng)車(chē)翼片的一個(gè)端點(diǎn)從開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，則點(diǎn)離地面距離與時(shí)間之間的函數(shù)關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意可設(shè)，則．旋轉(zhuǎn)一周，．最大值與最小值分別為14，2，，解得．．故選：D．【典例42】（2024·高一·四川成都·期末）筒車(chē)亦稱(chēng)“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”，一種以水流作動(dòng)力，取水灌田的工具，如圖是某公園的筒車(chē)，假設(shè)在水流穩(wěn)定的情況下，筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針?lè)较騽蛩賵A周運(yùn)動(dòng)．現(xiàn)有一半徑為2米的筒車(chē)，在勻速轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，筒車(chē)上一盛水筒距離水面的高度（單位：米，記水筒在水面上方時(shí)高度為正值，在水面下方時(shí)高度為負(fù)值）與轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間（單位：秒）滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式，，且時(shí)，盛水筒位于水面上方米處，當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)到第秒時(shí)，盛水筒距離水面的高度為（

）米．A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意可得，即，又，所以，所以，則當(dāng)時(shí)，即當(dāng)筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)到第秒時(shí)，盛水筒距離水面的高度為米.故選：B【變式41】（2024·高一·廣東湛江·期末）如圖是摩天輪的示意圖，已知摩天輪半徑為40米，摩天輪中心到地面的距離為41米，每30分鐘按逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)1圈．若初始位置是從距地面21米時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，以摩天輪的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的水平直線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系．設(shè)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（單位：分鐘），且此時(shí)點(diǎn)距離地面的高度為（單位：米），則是關(guān)于的函數(shù)．當(dāng)時(shí)，（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意得，而是以為始邊，為終邊的角，由在內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角為，可知以為始邊，為終邊的角為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)距地面的高度為，故選：A.【變式42】（2024·高一·四川·期中）筒車(chē)亦稱(chēng)“水轉(zhuǎn)筒車(chē)”，是我國(guó)古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車(chē)發(fā)明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的歷史，明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書(shū)》中用圖畫(huà)描繪了筒車(chē)的工作原理（如圖）．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，一個(gè)半徑為的筒車(chē)按逆時(shí)針?lè)较蜃鲆蝗Φ膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，已知筒車(chē)的軸心O到水面的距離為，且該筒車(chē)均勻分布有8個(gè)盛水筒（視為質(zhì)點(diǎn)），以筒車(chē)上的某個(gè)盛水筒P剛浮出水面開(kāi)始計(jì)時(shí)，設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：），則下列說(shuō)法正確的是（

）

①時(shí)，盛水筒P到水面的距離為；②與時(shí)，盛水筒P到水面的距離相等；③經(jīng)過(guò)，盛水筒P共8次經(jīng)過(guò)筒車(chē)最高點(diǎn)；④記與盛水筒P相鄰的盛水筒為Q，則P，Q到水面的距離差的最大值為．A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④【答案】A【解析】依題意作圖如下：以水車(chē)的軸心為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系如圖，由題可知水車(chē)旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間為4min，當(dāng)剛露出水面時(shí)，與軸的夾角是，相鄰盛水桶之間的夾角是，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)了，旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)到水面的距離為，所以①正確；②當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)了周，即，此時(shí)的位置是點(diǎn)，與軸正半軸的夾角是，當(dāng)時(shí)，旋轉(zhuǎn)了，即點(diǎn)，與軸正半軸的夾角也是，點(diǎn)與點(diǎn)到水面的距離相等，所以②正確；③經(jīng)過(guò)，則水車(chē)轉(zhuǎn)過(guò)了個(gè)周期，所以盛水桶共9次經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；④設(shè)在的上方，與軸負(fù)方向的夾角為，，則與軸負(fù)方向的夾角為，相鄰兩筒到水面的距離差為：，其中，，當(dāng)時(shí)取最大值為，故④錯(cuò)誤；故選：A．【變式43】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，某大風(fēng)車(chē)的半徑為，按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng)，每旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點(diǎn)離地面.風(fēng)車(chē)圓周上一點(diǎn)從最低點(diǎn)開(kāi)始，運(yùn)動(dòng)后與地面的距離為.(1)求函數(shù)的關(guān)系式；(2)畫(huà)出函數(shù)的大致圖象.【解析】（1）如圖，以為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)為軸，建立平面直角坐標(biāo)系.過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)段，垂足為，連接.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.設(shè)，則，所以.又，即，所以，則.（2）函數(shù)的大致圖象如圖所示.【變式44】（2024·高三·山東濟(jì)寧·期中）摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機(jī)械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色，如圖，某摩天輪最高點(diǎn)距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤(pán)直徑為，均勻設(shè)置了依次標(biāo)號(hào)為1～48號(hào)的48個(gè)座艙．開(kāi)啟后摩天輪按照逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進(jìn)艙，開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)后距離地面的高度為，轉(zhuǎn)一周需要．

(1)求在轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，關(guān)于的函數(shù)解析式；(2)若甲、乙兩人分別坐在1號(hào)和9號(hào)座艙里，在運(yùn)行一周的過(guò)程中，求兩人距離地面的高度差（單位：）關(guān)于的函數(shù)解析式，并求為何值時(shí)高度差最大．（參考公式：，）【解析】（1）設(shè)，則，令時(shí)，則，，又，解得，所以，．（2）由題意得：1號(hào)與9號(hào)座艙的角度差為．不妨假設(shè)1號(hào)座艙出發(fā)早于9號(hào)座艙，時(shí)1號(hào)與9號(hào)的高度分別為，，則，，所以高度，由參考公式得，上式從而高度差為，；當(dāng)，即，時(shí)，解得，，又，所以或，此時(shí)高度差的最大值為．題型五：幾何中的三角函數(shù)模型【典例51】（2024·高一·云南大理·期末）《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形，若下圖中所示的角為α，且小正方形與大正方形面積之比為1∶5，則tanα的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)直角三角形較短的直角邊長(zhǎng)為x，由于，則較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為，所以小正方形的邊長(zhǎng)為，大正方形的邊長(zhǎng)為，因?yàn)樾≌叫闻c大正方形面積之比為1∶5，所以，所以，所以，由于，解得．【典例52】（2024·高一·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，圓的半徑為1，是圓上的定點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線(xiàn)，終邊為射線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為.將點(diǎn)到直線(xiàn)的距離表示成的函數(shù)，則在的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖：過(guò)作于，則由題意可得：，，在中，，所以，所以，其圖象即為選項(xiàng)B.故選：B.【變式51】（2024·高三·河北邢臺(tái)·期末）如圖，已知OAB是半徑為2千米的扇形，，C是弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為H，某地區(qū)欲建一個(gè)風(fēng)景區(qū)，該風(fēng)景區(qū)由△AOC和矩形ODEH組成，且，若風(fēng)景區(qū)的修建費(fèi)為100萬(wàn)元/平方千米，則該風(fēng)景區(qū)的修建最多需要（

）A．260萬(wàn)元 B．265萬(wàn)元C．255萬(wàn)元 D．250萬(wàn)元【答案】D【解析】設(shè)，，則，，所以矩形ODEH的面積，又，所以風(fēng)景區(qū)面積，當(dāng)時(shí)，有最大值，故最多需要萬(wàn)元的修建費(fèi)．故選：D．【變式52】（2024·高三·上海浦東新·期末）動(dòng)點(diǎn)在圓上繞坐標(biāo)原點(diǎn)作逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，旋轉(zhuǎn)一周的時(shí)間恰好是12秒，已知時(shí)間時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是，則動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于（單位：秒）的函數(shù)在下列哪個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，得，點(diǎn)每秒旋轉(zhuǎn)，所以秒旋轉(zhuǎn)，，則．令，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，故D符合，故選：D．【變式53】（2024·高一·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，圓的半徑為，是圓上的定點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，角的始邊為射線(xiàn)，終邊為射線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，將點(diǎn)到直線(xiàn)的距離表示為的函數(shù)，則在上的圖像大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖：過(guò)作于，則由題意可得：，，在中，，所以，∴.故選：B．【變式54】（2024·高一·廣東佛山·期末）如圖，在扇形中，半徑，圓心角，矩形內(nèi)接于該扇形，其中點(diǎn)分別在半徑和上，點(diǎn)在上，，記矩形的面積為S.(1)當(dāng)點(diǎn)分別為半徑和的中點(diǎn)時(shí)，求S的值；(2)設(shè)，當(dāng)為何值時(shí)，S取得最大值，并求此時(shí)S的最大值.【解析】（1）如圖，連接，則，所以，又因?yàn)榫匦蜛BCD，，所以，從而可得，所以，因?yàn)?，且，則為等邊三角形，即，又因?yàn)榫匦蜛BCD，，則，過(guò)點(diǎn)D作的垂線(xiàn)，垂足為E，設(shè)，則，，，在中，則，，可得，若點(diǎn)分別為半徑和的中點(diǎn)，則，即，且，則，則，可得，所以.（2）由（1）可得：，又因?yàn)椋瑒t，可知當(dāng)，即時(shí)，矩形面積S取到最大值為.【變式55】（2024·高一·遼寧大連·期中）校園里有個(gè)如圖的半徑為4，圓心角為的扇形花壇，P是圓弧上一點(diǎn)（不包括A，B），點(diǎn)M，N分別在半徑，上.為美化校園，分別在四邊形，